Să existe un sistem tehnic cu stări discrete în care procesele aleatoare Markov apar în timp continuu. Să presupunem că toate intensitățile fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta permanent, adică toate fluxurile de evenimente sunt cele mai simple (Poisson staționar).

Să formulăm următoarea problemă: ce se va întâmpla cu sistemul pe măsură ce t ® ¥ tinde? Dacă funcțiile P i (t) tind la orice limită, atunci le vom numi limitarea probabilităţilor stărilor.

Următoarea propoziție generală poate fi dovedită.

Dacă numărul de stări ale sistemului este finit și din fiecare stare într-un număr finit de pași se poate trece la oricare alta (sistem închis, Fig. 2.8a), atunci probabilitățile limită ale stărilor există și nu depind de fie timpul, fie starea inițială a sistemului.

În acest caz, desigur, condiția rămâne:

Orez. 2.7.8 a) – graficul unui sistem închis

Orez. 2.7.8 b) – graficul unui sistem în buclă deschisă

Astfel, la t ® ¥ un anumit limitează modul staționar, care constă în faptul că sistemul își schimbă aleatoriu stările, dar probabilitatea fiecăreia dintre ele nu mai depinde de timp: fiecare dintre stări se realizează cu o probabilitate constantă Pi.

În acest caz, probabilitatea limită P i reprezintă timpul relativ mediu al șederii sistemului într-o stare i-a dată, adică. după ce sistemul trece la o stare de funcționare constantă, acesta va fi în starea Si pentru un timp proporțional cu Pi.

De exemplu, dacă sistemul are stări S 0 , S 1 , S 2 și probabilitățile limită sunt 0,4, 0,1, 0,5, atunci după trecerea la starea staționară, 40% din timp sistemul va fi în starea S 0, 10% – în starea S 1 și 50% – în starea S 2.

Pentru a calcula probabilitățile limită în sistemul de ecuații diferențiale al lui Kolmogorov, este necesar să se stabilească laturile din stânga ecuațiilor egale cu zero (ca derivate ale constantelor, deoarece acum probabilitățile stărilor nu depind de timp). Apoi sistemul original de ecuații diferențiale este transformat într-un sistem de ecuații algebrice liniare, a cărui soluție, împreună cu (2.85), face posibilă determinarea probabilităților limită Pi.

Graficul etichetat al sistemului cu buclă închisă are următoarea formă.

Orez. 2.7.9. Graficul sistemului în buclă închisă etichetat.

Sistemul de ecuații diferențiale al lui Kolmogorov:

Sistemul liniar corespunzător de ecuații algebrice este:

Soluția acestui sistem va fi valorile probabilităților limită.

„Accidentele nu sunt întâmplătoare”... Pare ceva ce a spus un filozof, dar, de fapt, studierea aleatoriei este destinul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este tratată de teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și definițiile de bază ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Ce este teoria probabilității?

Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.

Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă aruncați o monedă în sus, aceasta poate ateriza în cap sau coadă. În timp ce moneda este în aer, ambele probabilități sunt posibile. Adică, probabilitatea unor posibile consecințe este de 1:1. Dacă se extrage una dintr-un pachet de 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că aici nu este nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repeți o anumită acțiune de multe ori, poți identifica un anumit tipar și, pe baza acestuia, poți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în sens clasic studiază posibilitatea apariției unuia dintre evenimentele posibile într-o valoare numerică.

Din paginile istoriei

Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.

Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Au studiat mult timp jocurile de noroc și au văzut anumite modele, despre care au decis să spună publicului.

Aceeași tehnică a fost inventată de Christiaan Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.

Lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și ale lui Poisson au, de asemenea, o importanță nu mică. Ei au făcut teoria probabilității mai mult ca o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au primit forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evenimente

Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Există trei tipuri de evenimente:

• De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
• Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla sub nicio formă (moneda va rămâne în aer).
• Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu se vor întâmpla. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci există factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, forța aruncării etc.

Toate evenimentele din exemple sunt indicate cu majuscule latine, cu excepția lui P, care are un rol diferit. De exemplu:

• A = „studenții au venit la prelegere”.
• Ā = „elevii nu au venit la curs.”

În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei scrise în cuvinte.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate variantele căderii inițiale sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de posibile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat un rezultat. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.

Evenimentele pot fi, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu se exclud reciproc. De exemplu:

• A = „studentul a venit la curs”.
• B = „studentul a venit la curs”.

Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează apariția celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția altuia. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.

Acțiuni asupra evenimentelor

Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate în consecință, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.

Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A sau B, fie două, pot avea loc simultan. Dacă sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă fie A sau B;

Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.

Acum putem da mai multe exemple pentru a ne aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.

Exercitiul 1: Compania participă la un concurs pentru a primi contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:

• A = „firma va primi primul contract”.
• A 1 = „firma nu va primi primul contract”.
• B = „firma va primi un al doilea contract”.
• B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
• C = „firma va primi un al treilea contract”.
• C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.

Folosind acțiuni pe evenimente, vom încerca să exprimăm următoarele situații:

• K = „compania va primi toate contractele”.

În formă matematică, ecuația va avea următoarea formă: K = ABC.

• M = „compania nu va primi un singur contract.”

M = A 1 B 1 C 1.

Să complicăm sarcina: H = „compania va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi compania (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga gamă de evenimente posibile:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci primește al doilea. Alte evenimente posibile au fost înregistrate folosind metoda adecvată. Simbolul υ în disciplină denotă conjunctivul „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți nota și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să faceți acest lucru singur.

De fapt, probabilitatea

Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este conceptul central. Există 3 definiții ale probabilității:

• clasic;
• statistic;
• geometric.

Fiecare își are locul în studiul probabilității. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa 9) folosesc în principal definiția clasică, care sună astfel:

• Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.

Formula arată astfel: P(A)=m/n.

A este de fapt un eveniment. Dacă apare un caz opus lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .

m este numărul de cazuri favorabile posibile.

n - toate evenimentele care se pot întâmpla.

De exemplu, A = „trageți o carte din culoarea inimii”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:

P(A)=9/36=0,25.

Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.

Spre matematica superioara

Acum a devenit puțin cunoscut ce este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor care se întâlnesc în programa școlară. Cu toate acestea, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care este predată în universități. Cel mai adesea ele operează cu definiții geometrice și statistice ale teoriei și formule complexe.

Teoria probabilității este foarte interesantă. Este mai bine să începeți să studiați formule și exemple (matematică superioară) mici - cu definiția statistică (sau frecvență) a probabilității.

Abordarea statistică nu o contrazice pe cea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:

Dacă formula clasică este calculată pentru predicție, atunci cea statistică este calculată în funcție de rezultatele experimentului. Să luăm, de exemplu, o mică sarcină.

Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?

A = „aspectul unui produs de calitate”.

Wn (A)=97/100=0,97

Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100, obținem 97, aceasta este cantitatea de bunuri de calitate.

Un pic despre combinatorie

O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută în m moduri diferite, iar o alegere B poate fi făcută în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B poate fi făcută prin înmulțire.

De exemplu, există 5 drumuri care duc de la orașul A la orașul B. Există 4 căi de la orașul B la orașul C. În câte moduri poți ajunge din orașul A în orașul C?

Este simplu: 5x4=20, adică în douăzeci de moduri diferite poți ajunge de la punctul A la punctul C.

Să complicăm sarcina. Câte moduri există de a așeza cărți în solitaire? Există 36 de cărți în pachet - acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” câte o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.

Adică 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, așa că poate fi desemnat pur și simplu 36!. Semn "!" lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită împreună.

În combinatorică există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.

O mulțime ordonată de elemente ale unei mulțimi se numește aranjament. Plasările pot fi repetate, adică un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n sunt toate elementele, m sunt elemente care participă la plasare. Formula de plasare fără repetare va arăta astfel:

A n m =n!/(n-m)!

Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. La matematică arată astfel: P n = n!

Combinațiile de n elemente ale lui m sunt acele compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula lui Bernoulli

În teoria probabilității, ca și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au dus-o la un nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în încercările anterioare sau ulterioare.

Ecuația lui Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este constantă pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să apară exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.

Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. Unitatea este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care denotă posibilitatea ca un eveniment să nu se producă.

Acum știți formula lui Bernoulli (teoria probabilității). Vom lua în considerare mai jos exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel).

Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?

Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.

A = „vizitatorul va face o achiziție”.

În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (deoarece sunt 6 clienți în magazin). Numărul m va varia de la 0 (nici un singur client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Drept urmare, obținem soluția:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu probabilitatea 0,2621.

Cum altfel se folosește formula lui Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.

După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au mers C și r. Raportat la p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C = 1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea ca doi vizitatori să cumpere bunuri.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula lui Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă în acest sens.

formula lui Poisson

Ecuația lui Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare cu probabilitate scăzută.

Formula de baza:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ).

În acest caz λ = n x p. Iată o formulă simplă Poisson (teoria probabilității). Vom lua în considerare exemple de rezolvare a problemelor mai jos.

Sarcina 3: Fabrica a produs 100.000 de piese. Apariția unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?

După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu sunt diferite de alte sarcini din disciplină, înlocuim datele necesare în formula dată:

A = „o piesă selectată aleatoriu va fi defectă”.

p = 0,0001 (conform condițiilor sarcinii).

n = 100000 (număr de piese).

m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele in formula si obtinem:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. De fapt, poate fi găsită prin formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.

Teorema lui De Moivre-Laplace

Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de teste poate fi găsită prin Formula lui Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Pentru a vă aminti mai bine formula lui Laplace (teoria probabilității), mai jos sunt exemple de probleme pentru a vă ajuta.

Mai întâi, să găsim X m, să înlocuim datele (toate sunt enumerate mai sus) în formulă și să obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ(0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele în formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Astfel, probabilitatea ca fluturașul să funcționeze exact de 267 de ori este de 0,03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a problemelor cu ajutorul cărora vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza împrejurărilor care i-ar putea fi asociate. Formula de bază este următoarea:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A și B sunt evenimente determinate.

P(A|B) este o probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.

P (B|A) - probabilitatea condiționată a evenimentului B.

Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de soluții la probleme cu care sunt mai jos.

Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, ponderea telefoanelor care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Trebuie să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.

A = „telefon ales aleatoriu”.

B 1 - telefonul pe care l-a produs prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).

Ca rezultat obținem:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - astfel am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.

Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea de produse defecte în companii:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Acum să înlocuim datele în formula Bayes și să obținem:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce a fost scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Este dificil pentru o persoană obișnuită să răspundă; este mai bine să întrebi pe cineva care a folosit-o să câștige jackpot-ul de mai multe ori.

Construiți un grafic de stare al următorului proces aleatoriu: sistemul este format din două automate de vânzare de bilete, fiecare dintre acestea putând fi fie ocupată, fie liberă la un moment dat.

Soluţie:

Sistemul poate fi în patru stări, deoarece fiecare distribuitor de bilete are două stări (ocupat sau liber). Fie S 0 - ambele dispozitive sunt ocupate; S 1 - 1 este ocupat, al 2-lea este liber; S 2 - 1 este liber, 2 este ocupat; S 3 - ambele dispozitive sunt gratuite. Să construim un grafic de stare, marcând toate stările posibile pe el cu cercuri și notând posibilele tranziții de la stare la stare cu săgeți. Constatăm că trecerea de la S 0 la S 3 este posibilă fie prin S 1, fie prin S 2, fie direct, așa cum se arată în Figura 4.

Figura 4 - Graficul de stare al automatelor de vânzare a biletelor

Găsiți probabilitățile limită pentru sistemul S, al cărui grafic este prezentat în figură.

Soluţie:

În teoria proceselor aleatorii, se dovedește că dacă numărul de stări ale unui sistem este finit și din fiecare dintre ele este posibil (într-un număr finit de pași) să se treacă la orice altă stare, atunci există probabilități limitative. Ele pot fi găsite din ecuațiile lui Kolmogorov prin alcătuirea unui sistem bazat pe un grafic de stare etichetat dat, conform următoarei reguli:

În partea stângă a ecuației se află probabilitatea maximă a unei stări date p i , înmulțit cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor care conduc dintr-o stare dată, iar în dreapta - suma produselor intensităților tuturor fluxurilor care intră într-o stare dată și probabilitățile acelor stări din care ies aceste stări.

În plus, trebuie să ținem cont de faptul că suma tuturor probabilităților unui sistem finit dat este egală cu unu. Să creăm ecuații pentru stările S 1 și S 2 (ecuația pentru starea S 0 este „în plus”):

Răspuns: Sistemul este aproximativ 66,67% din timp în starea S 0, 25% în starea S 1 și 8,33% din timp în starea S 2.

Găsiți producția brută pentru o economie diversificată echilibrată în modelul Leontief, dacă sunt date matricea costurilor directe A și vectorul consumului final Y:

Soluţie:

Pentru o economie diversificată echilibrată, este valabilă următoarea relație:

Să exprimăm producția brută prin consumul final și matricea costurilor:

Găsiți matricea inversă (E - A):

Să găsim producția brută:

Răspuns: Producția brută este egală cu (811,3; 660,4).

* Folosit la rezolvarea problemelor

Să existe un sistem fizic S cu stări discrete:

S 1 ,S 2 ,...,S n ,

în care are loc un proces aleator Markov cu timp continuu (un lanț Markov continuu). Graficul de stare este prezentat în Fig. 23.

Să presupunem că toate intensitățile fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta sunt constante:

cu alte cuvinte, toate fluxurile de evenimente sunt cele mai simple fluxuri (staționare, Poisson).

Scriind sistemul Kolmogorov de ecuații diferențiale pentru probabilitățile stărilor și integrând aceste ecuații în condiții inițiale date, obținem probabilitățile stărilor în funcție de timp, adică n funcții:

p 1 (t), p 2 (t),...,p n (t),

pentru orice t dând în total unul: .

Să ne punem acum următoarea întrebare: ce se va întâmpla cu sistemul S la t®¥? Funcțiile p 1 (t), p 2 (t),...,p n (t) vor tinde către anumite limite? Aceste limite, dacă există, se numesc probabilități de stare marginale (sau „finale”).

Următoarea propoziție generală poate fi dovedită. Dacă numărul de stări ale sistemului S este finit și se poate trece de la fiecare stare (într-un anumit număr de pași) una la alta, atunci probabilitățile limită ale stărilor există și nu depind de starea inițială a sistemului .

În fig. Figura 24 prezintă un grafic de stări care satisface condiția enunțată: din orice stare sistemul se poate muta mai devreme sau mai târziu în oricare alta. Dimpotrivă, pentru un sistem al cărui grafic de stare este prezentat în Fig. 25, condiția nu este îndeplinită. Este evident că dacă starea inițială a unui astfel de sistem este S 1, atunci, de exemplu, starea S 6 la t®¥ poate fi atinsă, dar dacă starea inițială este S 2, nu se poate.

Să presupunem că condiția enunțată este îndeplinită și că există probabilități limită:

(i = 1, 2,..., n). (6,1)

Vom nota probabilitățile limitatoare cu aceleași litere p 1, p 2, ... p n ca și probabilitățile stărilor în sine, adică de data aceasta ridicăm nu mărimi variabile (funcții ale timpului), ci numere constante.

Evident, probabilitățile limitative ale statului, precum și cele prelimitatoare, ar trebui să se adună la unu:

Astfel, la t®¥ în sistem S se stabilește un anumit regim staționar limitativ: constă în faptul că sistemul își schimbă aleator stările, dar probabilitatea fiecăreia dintre ele nu mai depinde de timp: fiecare dintre stări se produce cu o anumită probabilitate constantă. Care este sensul acestei probabilități? Nu este nimic mai mult decât timpul relativ mediu în care sistemul rămâne într-o stare dată. De exemplu, dacă sistemul S trei stări posibile: S 1, S 2 și S 3, iar probabilitățile lor limită sunt 0,2, 0,3 și 0,5, asta înseamnă că după trecerea la starea de echilibru sistemul Sîn medie, două zecimi din timp vor fi în starea S 1, trei zecimi vor fi în starea S 2 și jumătate din timp va fi în starea S 3. Apare întrebarea: cum se calculează probabilitățile limită ale stărilor p 1, p 2, ... p n?

Se pare că pentru a face acest lucru, în sistemul de ecuații Kolmogorov care descriu probabilitățile stărilor, trebuie să setați toate părțile din stânga (derivate) egale cu zero.

Într-adevăr, în modul limită (în mod constant), toate probabilitățile de stare sunt constante, ceea ce înseamnă că derivatele lor sunt egale cu zero.

Dacă toate părțile din stânga ale ecuațiilor Kolmogorov pentru probabilitățile de stare sunt setate la zerouri diferite, atunci sistemul de ecuații diferențiale se va transforma într-un sistem de ecuații algebrice liniare. Împreună cu condiția

(așa-numita „condiție de normalizare”) aceste ecuații fac posibilă calcularea tuturor probabilităților limită

р 1, р 2, … р n

Exemplul 1. Sistemul fizic S are posibile stări: S l, S 2, S 3, S 4, al căror grafic marcat este dat în Fig. 26 (fiecare săgeată are o valoare numerică a intensității corespunzătoare). Calculați probabilitățile limită ale stărilor: p 1, p 2, p 3, p 4.

Soluţie. Scriem ecuațiile Kolmogorov pentru probabilitățile stărilor:

(6.3)

Setând laturile din stânga egale cu zero, obținem un sistem de ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor:

(6.4)

Ecuațiile (6.4) sunt așa-numitele ecuații omogene (fără termen liber). După cum se știe din algebră, aceste ecuații determină mărimile p 1, p 2, p 3, p 4 numai până la un factor constant. Din fericire, avem o condiție de normalizare:

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1, (6.5)

care, împreună cu ecuațiile (64), face posibilă găsirea tuturor probabilităților necunoscute.

Într-adevăr, să exprimăm din (6.4) toate probabilitățile necunoscute printr-una dintre ele, de exemplu, prin p 1. Din prima ecuație:

p 3 = 5p 1

Înlocuind în a doua ecuație, obținem:

p 2 = 2 p 1 + 2 p 3 = 12 p 1.

A patra ecuație dă:

p 4 = 1/2p 2 = 6 p 1 .

Înlocuind toate aceste expresii în loc de р 2 , р 3 , р 4 în condiția de normalizare (6.5), obținem

p 1 + 12p 1 + 5 p 1 + 6 p 1 = 1.

24 p 1 = 1, p 1 = 1/24, p 2 = 12p 1 = 1/2.

p 3 = 5p 1 = 5/24. p 4 = 6 p 1 = 1/4.

Astfel, se obțin probabilitățile limită ale stărilor, ele sunt egale;

p 1 = 1/24, p 2 = 1/2, p 3 = 5/24, p 4 = 1/4 (6.6)

Aceasta înseamnă că în stare limită, de echilibru, sistemul S va petrece în medie o douăzeci și patru din timp în starea S 1, jumătate din timp în starea S 2, cinci douăzeci și patru din timp în starea S 3 și un sfert din timp în starea S 4.

Rețineți că atunci când am rezolvat această problemă, nu am folosit deloc una dintre ecuațiile (6.4) - a treia. Este ușor de observat că este o consecință a celorlalte trei: adunând toate cele patru ecuații, obținem zero identic. Cu succes egal, atunci când rezolvăm sistemul, am putea renunța la oricare dintre cele patru ecuații (6.4).

Metoda pe care am folosit-o pentru alcătuirea ecuațiilor algebrice pentru limitarea probabilităților stărilor s-a rezumat la următoarele: mai întâi scrieți ecuații diferențiale, apoi puneți părțile din stânga în ele egale cu zero. Cu toate acestea, puteți scrie ecuații algebrice pentru limitarea probabilităților direct. fără a trece prin stadiul diferenţial. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul 2. Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 27. Scrieți ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor.

Soluţie. Fără a scrie ecuații diferențiale, scriem direct părțile din dreapta corespunzătoare și le echivalăm cu zero; pentru a nu face față termenilor negativi, îi transferăm imediat în altă parte, schimbând semnul:

(6.7)

Pentru a scrie imediat astfel de ecuații în viitor, este util să ne amintim următoarea regulă mnemonică: „ceea ce intră, iese”, adică pentru fiecare stare, suma termenilor corespunzători săgeților de intrare este egală cu suma termenilor corespunzători celor care ies; fiecare termen este egal cu intensitatea fluxului de evenimente care mișcă sistemul de-a lungul unei săgeți date, înmulțită cu probabilitatea stării din care iese săgeata.

În cele ce urmează, în toate cazurile vom folosi tocmai această modalitate scurtă de scriere a ecuațiilor pentru limitarea probabilităților.

Exemplul 3. Scrieți ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor sistemului S, al cărui grafic de stare este prezentat în Fig. 28. Rezolvați aceste ecuații.

Soluţie. Scriem ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor;

starea de normalizare;

p 1 + p 2 + p 3 = 1. (6.9)

Folosind primele două ecuații (6.8), exprimăm p 2 și p 3 prin p 1:

Să le substituim în condiția de normalizare (6.9):

,

Unde .

; .

Să luăm în considerare o descriere matematică a unui proces Markov cu stări discrete și timp continuu folosind exemplul unui proces aleatoriu din problema 1, al cărui grafic este prezentat în Fig. 1. Presupunem că toate tranzițiile sistemului din starea S iîn S j apar sub influenţa unor simple fluxuri de evenimente cu intensităţi l ij (eu, j=0,1,2,3); Astfel, trecerea sistemului de la starea S 0 la S 1 se va produce sub influența fluxului de defecțiuni al primului nod, iar tranziția inversă de la starea S 1 la S 0 se va produce sub influența fluxului de „ finalizarea reparațiilor” primului nod etc.
Graficul stărilor sistemului cu intensitățile marcate la săgeți va fi apel marcat (vezi orez. 1). Sistemul S luat în considerare are patru stări posibile: S 0 , S 1 , S 2 , S 3 .
Probabilitatea stării i numită probabilitate p i (t) ce momentan t sistemul va fi într-o stare Si. Evident, pentru orice moment t suma probabilităților tuturor stărilor este egală cu unu:
. (8)
Luați în considerare sistemul în acest moment tși, stabilind un interval mic D t, să găsim probabilitatea p 0 (t+Dt) că sistemul în acest moment t+Dt va fi în starea S 0 . Acest lucru se realizează în moduri diferite.
1. Sistem în momentul de față t cu probabilitate p0(t) a fost în starea S 0 și în timpul D t nu a iesit din ea.
Scoateți sistemul din această stare (cm. graficul din fig. 1) poate fi un debit total cel mai simplu cu intensitate (l 01 +l 02), i.e. în conformitate cu (15.7), cu o probabilitate aproximativ egală cu (l 01 +l 02)D t. Iar probabilitatea ca sistemul să nu părăsească starea S 0 este egală cu . Probabilitatea ca sistemul să fie în starea S 0, conform primei metode (adică, că a fost în starea S 0 și nu îl va părăsi la timp Dt), este egală conform teoremei înmulțirii probabilităților:
p 0 (t)· .
2. Sistem în momentul de față t cu probabilităţi p 1 (t) ( sau p2(t)) a fost în starea S 1 sau S 2 și în timpul D t a trecut la starea S 0 .
Intensitatea debitului l 10 (sau l 20 - cm. orez. 1) sistemul va intra în starea S 0 cu o probabilitate aproximativ egală cu l 10 D t(sau l 20 D t). Probabilitatea ca sistemul să fie în starea S 0 conform acestei metode, este egal cu р 1 (t)× l 10 D t(sau p 2 (t)× l 20 D t).
Aplicând teorema de adunare a probabilității, obținem
p 0 (t+Δt)=p 1 λ 10 Δt+p 2 (t) λ 20 Δt+p 0 (t),
Unde
,
Trecerea la limita la D t®0 (egalitățile aproximative asociate cu aplicarea formulei (7) se vor transforma în exacte), obținem în partea stângă a ecuației derivata p’ 0 ( t) (să-l notăm p’ 0 pentru simplitate):
p′ 0 = λ 10 p 1 +λ 20 p 2 +(λ 10 +λ 20) p 0 ,
Am obținut o ecuație diferențială de ordinul întâi, i.e. o ecuație care conține atât funcția necunoscută în sine, cât și derivata ei de ordinul întâi.
Raționând în mod similar pentru alte stări ale sistemului S, putem obține un sistem de ecuații diferențiale Kolmogorov pentru probabilitățile stărilor:
(9)
Să formulăm o regulă pentru alcătuirea ecuațiilor Kolmogorov. Pe partea stângă a fiecăruia dintre ele se află derivata probabilității stării i-a. În partea dreaptă este suma produselor probabilităților tuturor stărilor (de la care săgețile merg într-o stare dată) cu intensitatea fluxurilor corespunzătoare de evenimente, minus intensitatea totală a tuturor fluxurilor care scot sistemul dintr-o stare. stare dată, înmulțită cu probabilitatea unei date (i-a stare).
În sistemul (9) există o ecuație independentă mai puțin decât numărul total de ecuații. Prin urmare, pentru a rezolva sistemul este necesar să adăugați ecuația (8).
Particularitatea rezolvării ecuațiilor diferențiale în general este că este necesar să se stabilească așa-numitele condiții inițiale, i.e. în acest caz, probabilitatea stărilor sistemului la momentul inițial t= 0. Deci, de exemplu, este firesc să rezolvăm sistemul de ecuații (9) cu condiția ca la momentul inițial ambele noduri să fie operaționale și sistemul să fie în starea S 0, adică. în condiţii iniţiale p 0 (0)=1, p 1 (0)=p 2 (0)=p 3 (0)=0.
Ecuațiile lui Kolmogorov fac posibilă găsirea tuturor probabilităților stărilor ca functiile timpului. De un interes deosebit sunt probabilitățile de sistem p i ( t) V modul staționar extrem, acestea. ca t→∞, care sunt numite extrem(sau final) probabilități de stare.
În teoria proceselor aleatorii se dovedeşte că dacă numărul de stări ale sistemului este finit și din fiecare dintre ele este posibil (într-un număr finit de pași) să se treacă la orice altă stare, atunci există probabilități limitative.
Probabilitatea marginală a stării S i are un sens clar: arată timpul relativ mediu în care sistemul rămâne în această stare. De exemplu, dacă probabilitatea marginală a stării este S 0, i.e. p 0 = 0,5, aceasta înseamnă că, în medie, jumătate din timp sistemul este în starea S 0 .
Deoarece probabilitățile limită sunt constante, înlocuind derivatele lor din ecuațiile Kolmogorov cu valori zero, obținem un sistem de ecuații algebrice liniare care descriu regimul staționar. Pentru un sistem S cu un grafic de stare prezentat în Fig. 1, un astfel de sistem de ecuații are forma:
(10)
Sistemul (10) poate fi compilat direct din graficul de stare marcat, dacă ne ghidăm după regula conform căreia în partea stângă a ecuațiilor este probabilitatea maximă a unei stări date p i înmulțită cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor care conduc dintr-o stare dată, iar în dreapta- suma produselor intensităților tuturor fluxurilor care intră în starea i-a și probabilitățile acelor stări din care provin aceste fluxuri.

Sarcina 2. Găsiți probabilitățile limită pentru sistemul S din problema 1, al cărui grafic de stare este prezentat în Fig. 1, cu l 01 =1, l 02 =2, l 10 =2, l 13 =2, l 20 =3, l 23 =1, l 31 =3, l 32 =2.
Soluţie . Sistemul de ecuații algebrice care descrie regimul staționar pentru un sistem dat are forma (10) sau
3p 0 =2p 1 +3p 2 (11)
4p 1 =p 0 +3p 3
4p 2 =2p 0 +2p 3
p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1
(Aici, în loc de o ecuație „în plus” a sistemului (10), am notat condiția de normalizare (8)).
Avand rezolvat sistemul (11), se obtine p 0 =0,40, p 1 =0,20, p 2 =0,27, p 3 =0,13, i.e. în modul de limitare, staționar, sistemul S în medie 40% din timp va fi în starea S 0 (ambele noduri sunt operaționale), 20% - în starea S 1 (primul nod este reparat, al doilea este funcționează), 27% - în starea S 2 (al doilea nod este reparat, primul funcționează) și 13% din timp - în starea S 3 (ambele unități sunt reparate).

Sarcina 3. Aflați venitul net mediu din funcționarea în regim staționar al sistemului S în condițiile problemelor 1 și 2, dacă se știe că pe unitatea de timp funcționarea corectă a primului și celui de-al doilea nod aduce venituri de 10 și 6 unități monetare, respectiv, iar repararea acestora necesită costuri de, respectiv, 4 și 2 den Evaluați eficiența economică a CMO a posibilității existente de înjumătățire a timpului mediu de reparație pentru fiecare dintre cele două unități, dacă în același timp este necesară dublarea costului reparației fiecărei unități (pe unitate de timp).
Soluţie. Din problema 2 rezultă că, în medie, primul nod funcționează corect pentru o fracțiune de timp egală cu p 0 +p 3 =0,40+0,27=0,67, iar al doilea nod - p 0 +p 1 =0,40+0, 20=0,60. În același timp, primul nod este în reparație în medie o fracțiune de timp egală cu p 1 +p 3 =0,20+0,13=0,33, iar al doilea nod - p 2 +p 3 =0,27+0,13 =0,40. Prin urmare, venitul net mediu pe unitatea de timp din operarea sistemului, i.e. diferenţa dintre venituri şi costuri este egală cu
D=0,67 ×10+0,60×6-0,33 ×4-0,40×2=8,18 unități monetare.
O reducere la jumătate a timpului mediu de reparație pentru fiecare nod în conformitate cu (6) va însemna o dublare a intensității fluxului de „finalizări de reparație” pentru fiecare nod, de exemplu. acum l 10 =4, l 20 =6, l 31 =6, l 32 =4 și sistemul de ecuații algebrice liniare (10), care descrie modul staționar al sistemului împreună cu condiția de normalizare (8) va lua forma :
3p 0 =4p 1 +6p 2
6p 1 =p 0 +6p 3
7p 2 =2p 0 +4p 3
p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1
După ce am rezolvat sistemul, obținem p 0 =0,60, p 1 =0,15, p 2 =0,20, p 3 =0,05.
Considerând că p 0 +p 2 =0.60+0.20=0.80, p 0 +p 1 =0.60+0.15=0.75, p 1 +p 3 =0.15+0 .05=0.20, p 2 +p 3 =0.20+0.05= 0,25, iar costurile pentru repararea primei și a doua unități sunt acum de 8, respectiv 4 zile. unități, calculăm venitul net mediu pe unitatea de timp: D 1 =0,80 ×10+0,75×6-0,20 ×8-0,25×4=9,9 unități monetare.
Deoarece D 1 este mai mare decât D (cu aproximativ 20%), fezabilitatea economică a accelerarii reparațiilor unităților este evidentă.

Exemplu. Un dispozitiv tehnic poate fi în una dintre cele trei stări S 0, S 1, S 2. Intensitatea fluxurilor care transferă dispozitivul din stare este specificată în tabel.

Este necesar să construiți un grafic de stare etichetat, să scrieți sistemul de ecuații Kolmogorov, să găsiți probabilitățile finale și să analizați soluțiile rezultate.
Graficul de stare etichetat arată astfel:

p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

2p 0 -3p 1 = 0
2p 0 +2p 1 -3p 2 =0
p 0 + p 1 + p 2 = 1
Să rezolvăm SLAE folosind metoda Gaussiană.
Concluzie: Cu un timp de funcționare suficient de lung, un dispozitiv tehnic se va afla în starea S 0 cu probabilitate p 0 = 0,36, cu probabilitate p 1 = 0,24 în starea S 1 și cu probabilitate p 2 = 0,4 în starea S 2.

Exemplu.
Un dispozitiv tehnic poate fi în una dintre cele trei stări S 0, S 1, S 2. Intensitatea fluxurilor care transferă dispozitivele dintr-o stare în a doua este cunoscută λ 01 =2, λ 10 =4, λ 21 =2, λ 12 =3, λ 20 =4.
Este necesar să construiți un grafic de stare etichetat, să scrieți sistemul de ecuații Kolmogorov, să găsiți probabilitățile finale și să analizați soluțiile rezultate.
Graficul de stare etichetat arată astfel:

Folosind graficul, scriem sistemul de ecuații Kolmogorov în formă generală:

În loc de intensitatea fluxului λ ij, notăm valorile lor specifice și obținem sistemul dorit:

Pentru a afla probabilitățile finale ale stărilor, în ecuațiile Kolmogorov renunțăm la prima ecuație, iar folosind restul compunem un sistem de ecuații algebrice:
2p 0 -7p 1 +2p 2 =0
3p 1 -6p 2 =0
p 0 +p 1 +p 2 =1
Împărțim prima ecuație la 2 și a doua la 3 și obținem sistemul
p 0 -7p 1 +2p 2 =0
3p 1 -6p 2 =0
p 0 +p 1 +p 2 =1
Scădeți prima din a treia ecuație
p 0 -3,5p 1 +p 2 =0
p 1 -2p 2 =0
4,5p 1 =1
De aici obținem p 1 = 0,22, p 2 = 0,11 și p 0 = 0,67.
Concluzie: Cu un timp de funcționare suficient de lung, un dispozitiv tehnic se va afla în starea S 0 cu probabilitate p 0 = 0,67, cu probabilitate p 1 = 0,22 în starea S 1 și cu probabilitate p 2 = 0,11 în starea S 2.

Procesul morții și al reproducerii

În teoria coadă, o clasă specială de procese aleatorii - așa-numitele proces de moarte și reproducere. Denumirea acestui proces este asociată cu o serie de probleme biologice, unde este un model matematic de modificări ale numărului de populații biologice.
Graficul de stare al procesului de moarte și reproducere are forma prezentată în Fig. 4.

Orez. 4
Se consideră mulțimea ordonată de stări ale sistemului S 0, S 1, S 2, …, S k. Tranzițiile pot fi efectuate din orice stat numai către state cu numere adiacente, adică Din starea S k, tranzițiile sunt posibile doar fie la starea S k-1, fie la starea S k+1. (La analizarea mărimii populației, se consideră că starea S k corespunde mărimii populației egale cu k, iar trecerea sistemului din starea S k la starea S k+1 are loc la nașterea unui membru al populația, iar trecerea la starea S k-1 are loc la moartea unui membru al populației).
Să presupunem că toate fluxurile de evenimente care mișcă sistemul de-a lungul săgeților graficului sunt cele mai simple cu intensitățile corespunzătoare l k, k+1 sau l k+1, k .
Conform graficului prezentat în Fig. 4, vom alcătui și rezolva ecuații algebrice pentru probabilitățile limită ale stărilor (existența acestora decurge din posibilitatea trecerii de la fiecare stare una la alta și din caracterul finit al numărului de stări).
În conformitate cu regula de alcătuire a unor astfel de ecuații (vezi 13), obținem: pentru starea S 0
λ 01 p 0 = λ 10 p 1 (12)
pentru starea S 1 – (l 12 +l 10)p 1 =l 01 p 0 +l 21 p 2, care, ținând cont de (12), se reduce la forma
λ 12 p 1 = λ 21 p 2 (13)
În mod similar, prin scrierea ecuațiilor pentru probabilitățile limită ale altor stări, putem obține următorul sistem de ecuații:
(14)
la care se adaugă condiţia de normalizare
p 0 +p 1 +p 2 +...+p n =1 (15)
Rezolvarea sistemului (14), (15), se poate obține (16)
(17)
Este ușor de observat că în formulele (17) pentru p 1, p 2, …, p n coeficienții pentru p 0 există termeni după unu în formula (16). Număratorii acestor coeficienți reprezintă produsul tuturor intensităților de la săgețile care conduc de la stânga la dreapta la o stare dată S k (k=1, 2, ..., n), iar numitorii sunt produsul tuturor intensităților la săgeţi care duc de la dreapta la stânga la starea S k .

Sarcina 4. Procesul morții și al reproducerii este reprezentat printr-un grafic (Fig. 5). Aflați probabilitățile limită ale stărilor.

Orez. 5

Soluţie. Folosind formula (16) găsim

conform (17) – i.e. într-un mod constant, staționar, în medie 70,6% din timp, sistemul va fi în starea S 0, 17,6% în starea S 1 și 11,8% în starea S 2.