Ceea ce se numește unghiul liniar al unui unghi diedru. Rezumatul lecției de matematică „Unghiul diedric”.Protecția informațiilor personale

$\blacktriangleright$ Unghiul diedric este un unghi format din două semiplane și o dreaptă $a$, care este limita lor comună.

$\blacktriangleright$ Pentru a găsi unghiul dintre planele $\xi$ și $\pi$ , trebuie să găsiți unghiul liniar (și picant sau Drept) unghi diedru format din planele $\xi$ si $\pi$ :

Pasul 1: fie $\xi\cap\pi=a$ (linia de intersecție a planurilor). În planul $\xi$ marchem un punct arbitrar $F$ și desenăm $FA\perp a$ ;

Pasul 2: efectuați $FG\perp \pi$ ;

Pasul 3: conform TTP ($FG$ – perpendicular, $FA$ – oblic, $AG$ – proiecție) avem: $AG\perp a$ ;

Pasul 4: Unghiul $\angle FAG$ se numește unghiul liniar al unghiului diedru format din planele $\xi$ și $\pi$ .

Rețineți că triunghiul $AG$ este dreptunghic.
De asemenea, rețineți că planul $AFG$ construit în acest fel este perpendicular pe ambele plane $\xi$ și $\pi$ . Prin urmare, putem spune altfel: unghiul dintre planuri$\xi$ și $\pi$ este unghiul dintre două drepte care se intersectează $c\in \xi$ și $b\in\pi$ formând un plan perpendicular pe și $\xi\ ) și \(\pi$ .

Sarcina 1 #2875

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Având în vedere o piramidă patruunghiulară, toate marginile căreia sunt egale, iar baza este un pătrat. Găsiți $6\cos \alpha$ , unde $\alpha$ este unghiul dintre fețele sale laterale adiacente.

Fie $SABCD$ o piramidă dată ($S$ este un vârf) ale cărei muchii sunt egale cu $a$ . În consecință, toate fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale egale. Să găsim unghiul dintre fețele $SAD$ și $SCD$ .

Să facem $CH\perp SD$ . Deoarece $\triunghi SAD=\triunghi SCD$, atunci $AH$ va fi și înălțimea lui $\triunghi SAD$ . Prin urmare, prin definiție, $\angle AHC=\alpha$ este unghiul liniar al unghiului diedric dintre fețele $SAD$ și $SCD$ .
Deoarece baza este un pătrat, atunci $AC=a\sqrt2$ . Rețineți, de asemenea, că $CH=AH$ este înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $a$, prin urmare, $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Apoi, după teorema cosinusului din $\triunghiul AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Raspuns: -2

Sarcina 2 #2876

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Planele $\pi_1$ și $\pi_2$ se intersectează la un unghi al cărui cosinus este egal cu $0,2$. Planele $\pi_2$ și $\pi_3$ se intersectează în unghi drept, iar linia de intersecție a planurilor $\pi_1$ și $\pi_2$ este paralelă cu linia de intersecție a avioane $\pi_2$ și $\ pi_3$ . Aflați sinusul unghiului dintre planele $\pi_1$ și $\pi_3$ .

Fie linia de intersecție a lui $\pi_1$ și $\pi_2$ o dreaptă $a$, linia de intersecție a lui $\pi_2$ și $\pi_3$ să fie o dreaptă linia $b$, iar linia de intersecție $\pi_3$ și $\pi_1$ – linie dreaptă $c$ . Deoarece $a\parallel b$ , atunci $c\parallel a\parallel b$ (conform teoremei din secțiunea referinței teoretice „Geometrie în spațiu” $\rightarrow$ „Introducere în stereometrie, paralelism").

Să marchem punctele $A\in a, B\in b$ astfel încât $AB\perp a, AB\perp b$ (acest lucru este posibil deoarece $a\parallel b$ ). Să marchem $C\in c$ astfel încât $BC\perp c$ , prin urmare, $BC\perp b$ . Apoi $AC\perp c$ și $AC\perp a$ .
Într-adevăr, deoarece $AB\perp b, BC\perp b$ , atunci $b$ este perpendicular pe planul $ABC$ . Deoarece $c\parallel a\parallel b$, atunci dreptele $a$ și $c$ sunt, de asemenea, perpendiculare pe planul $ABC$ și, prin urmare, pe orice dreaptă din acest plan, în special , linia \ (AC\) .

Rezultă că $\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)$, $\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)$. Se dovedește că $\triunghiul ABC$ este dreptunghiular, ceea ce înseamnă \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Răspuns: 0,2

Sarcina 3 #2877

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Date drepte $a, b, c$ care se intersectează într-un punct, iar unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu $60^\circ$ . Aflați $\cos^(-1)\alpha$ , unde $\alpha$ este unghiul dintre planul format din drepte $a$ și $c$ și planul format din drepte $ b\ ) și \(c$ . Dați răspunsul în grade.

Fie ca liniile să se intersecteze în punctul $O$ . Deoarece unghiul dintre oricare dintre ele este egal cu $60^\circ$, atunci toate cele trei drepte nu pot fi situate în același plan. Să marchem punctul $A$ pe linia $a$ și să desenăm $AB\perp b$ și $AC\perp c$ . Apoi $\triunghi AOB=\triunghi AOC$ dreptunghiular de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit. Prin urmare, $OB=OC$ și $AB=AC$ .
Să facem $AH\perp (BOC)$ . Apoi, după teorema despre trei perpendiculare $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Din moment ce $AB=AC$ , atunci $\triunghi AHB=\triunghi AHC$ dreptunghiular de-a lungul ipotenuzei și catetei. Prin urmare, $HB=HC$ . Aceasta înseamnă că $OH$ este bisectoarea unghiului $BOC$ (deoarece punctul $H$ este echidistant de laturile unghiului).

Rețineți că în acest fel am construit și unghiul liniar al unghiului diedru format din planul format din dreptele $a$ și $c$ și planul format din dreptele $b$ și $c). $ . Acesta este unghiul $ACH$ .

Să găsim acest unghi. Deoarece am ales punctul $A$ în mod arbitrar, să-l alegem astfel încât $OA=2$ . Apoi, în dreptunghiular $\triunghi AOC$: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Deoarece $OH$ este o bisectoare, atunci $\angle HOC=30^\circ$, prin urmare, într-un dreptunghiular $\triunghi HOC$: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Apoi din dreptunghiul $\triunghiul ACH$: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Raspuns: 3

Sarcina 4 #2910

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Planele $\pi_1$ și $\pi_2$ se intersectează de-a lungul dreptei $l$ pe care se află punctele $M$ și $N$. Segmentele $MA$ și $MB$ sunt perpendiculare pe dreapta $l$ și se află în planurile $\pi_1$ și respectiv $\pi_2$ și $MN = 15). $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Găsiți $3\cos\alpha$ , unde $\alpha$ este unghiul dintre planele $\pi_1$ și $\pi_2$ .

Triunghiul $AMN$ este dreptunghic, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, de unde \ Triunghiul $BMN$ este dreptunghic, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, din care \Se scrie teorema cosinusului pentru triunghiul $AMB$: \ Apoi \ Deoarece unghiul $\alpha$ dintre plane este un unghi ascuțit și $\angle AMB$ sa dovedit a fi obtuz, atunci $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Apoi \

Răspuns: 1,25

Sarcina 5 #2911

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ este un paralelipiped, $ABCD$ este un pătrat cu latura $a$, punctul $M$ este baza perpendicularei coborâte din punctul $A_1$ în plan \ ((ABCD)\) , în plus, $M$ este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului $ABCD$ . Se știe că $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Aflați unghiul dintre planele $(ABCD)$ și $(AA_1B_1B)$ . Dați răspunsul în grade.

Să construim $MN$ perpendicular pe $AB$ așa cum se arată în figură.

Deoarece $ABCD$ este un pătrat cu latura $a$ și $MN\perp AB$ și $BC\perp AB$ , atunci $MN\parallel BC$ . Deoarece $M$ este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, atunci $M$ este mijlocul lui $AC$, prin urmare, $MN$ este linia de mijloc și $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ este proiecția lui $A_1N$ pe planul $(ABCD)$, iar $MN$ este perpendicular pe $AB$, apoi, după teorema a trei perpendiculare, \ (A_1N\) este perpendicular pe $AB $ iar unghiul dintre planele $(ABCD)$ și $(AA_1B_1B)$ este $\angle A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Raspuns: 60

Sarcina 6 #1854

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Într-un pătrat $ABCD$ : $O$ – punctul de intersecție al diagonalelor; $S$ – nu se află în planul pătratului, $SO \perp ABC$ . Aflați unghiul dintre planele $ASD$ și $ABC$ dacă $SO = 5$ și $AB = 10$ .

Triunghiuri dreptunghiulare $\triunghi SAO$ și $\triunghi SDO$ sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , deoarece $O$ – punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, $SO$ – latura comună) $\Rightarrow$ $AS = SD$ $\Rightarrow$ $\triangle ASD\ ) – isoscel. Punctul \(K$ este mijlocul lui $AD$, atunci $SK$ este înălțimea în triunghi $\triunghiul ASD$, iar $OK$ este înălțimea în triunghi $ AOD$ $\Rightarrow$ plan $SOK$ este perpendicular pe planurile $ASD$ și $ABC$ $\Rightarrow$ $\angle SKO$ – unghi liniar egal cu unghiul dorit unghi diedru.

În $\triunghi SKO$: $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Rightarrow$ $\triangle SOK$ – triunghi dreptunghic isoscel $\Rightarrow$ $\angle SKO = 45^\circ$ .

Raspuns: 45

Sarcina 7 #1855

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Într-un pătrat $ABCD$ : $O$ – punctul de intersecție al diagonalelor; $S$ – nu se află în planul pătratului, $SO \perp ABC$ . Aflați unghiul dintre planele $ASD$ și $BSC$ dacă $SO = 5$ și $AB = 10$ .

Triunghiuri dreptunghiulare $\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ și $\triangle SOC$ sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele ($SO \perp ABC). $ $\Săgeată la dreapta$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, deoarece $O$ – punctul de intersecție al diagonalelor pătratului, $SO$ – latura comună) $\Rightarrow$ $AS = DS = BS = CS$ $\Rightarrow$ $ \triunghiul ASD$ și $\triunghiul BSC$ sunt isoscele. Punctul $K$ este mijlocul lui $AD$, atunci $SK$ este înălțimea în triunghi $\triunghiul ASD$, iar $OK$ este înălțimea în triunghi $ AOD$ $\ Săgeată la dreapta$ planul $SOK$ este perpendicular pe planul $ASD$ . Punctul $L$ este mijlocul lui $BC$, atunci $SL$ este înălțimea în triunghi $\triunghiul BSC$, iar $OL$ este înălțimea în triunghi $ BOC$ $\ Săgeată la dreapta$ planul $SOL$ (alias planul $SOK$) este perpendicular pe planul $BSC$ . Astfel, obținem că $\angle KSL$ este un unghi liniar egal cu unghiul diedric dorit.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Rightarrow$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – înălțimi în triunghiuri isoscele egale, care pot fi găsite folosind teorema lui Pitagora: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Se poate observa că $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Rightarrow$ pentru un triunghi $\triangle KSL$ teorema inversă a lui Pitagora este valabilă $\Rightarrow$ $\triangle KSL$ – triunghi dreptunghic $\Rightarrow$ $\angle KSL = 90 ^\ circ$ .

Raspuns: 90

Pregătirea elevilor pentru a susține examenul de stat unificat la matematică, de regulă, începe cu repetarea formulelor de bază, inclusiv a celor care vă permit să determinați unghiul dintre planuri. În ciuda faptului că această secțiune de geometrie este acoperită suficient de detaliat în programa școlară, mulți absolvenți trebuie să repete materialul de bază. Înțelegând cum să găsească unghiul dintre avioane, elevii de liceu vor putea calcula rapid răspunsul corect atunci când rezolvă o problemă și vor conta pe primirea unor scoruri decente la rezultatele promovării examenului unificat de stat.

Nuanțe principale

Pentru a vă asigura că întrebarea despre cum să găsiți un unghi diedric nu provoacă dificultăți, vă recomandăm să urmați un algoritm de soluție care vă va ajuta să faceți față sarcinilor de examinare unificată de stat.

Mai întâi trebuie să determinați linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planurile.

Apoi trebuie să selectați un punct pe această linie și să desenați două perpendiculare pe acesta.

Următorul pas este găsirea funcției trigonometrice a unghiului diedric format de perpendiculare. Cel mai convenabil mod de a face acest lucru este cu ajutorul triunghiului rezultat, din care unghiul face parte.

Răspunsul va fi valoarea unghiului sau a funcției sale trigonometrice.

Pregătirea pentru examenul cu Shkolkovo este cheia succesului tău

În timpul orelor în ajunul promovării Examenului de stat unificat, mulți școlari se confruntă cu problema găsirii definițiilor și formulelor care să le permită să calculeze unghiul dintre 2 planuri. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână exact când este necesar. Și pentru a găsi formulele și exemplele necesare pentru aplicarea lor corectă, inclusiv pentru găsirea online a unghiului dintre avioane pe Internet, uneori trebuie să petreceți mult timp.

Portalul matematic Shkolkovo oferă o nouă abordare a pregătirii pentru examenul de stat. Cursurile de pe site-ul nostru web îi vor ajuta pe studenți să identifice cele mai dificile secțiuni pentru ei înșiși și să umple golurile în cunoștințe.

Am pregătit și am prezentat clar tot materialul necesar. Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Informații teoretice”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă sugerăm și practicarea exercițiilor adecvate. O selecție largă de sarcini de diferite grade de complexitate, de exemplu, pe, este prezentată în secțiunea „Catalog”. Toate sarcinile conțin un algoritm detaliat pentru găsirea răspunsului corect. Lista de exerciții de pe site este completată și actualizată în mod constant.

În timp ce exersează rezolvarea problemelor care necesită găsirea unghiului dintre două planuri, elevii au posibilitatea de a salva orice sarcină online ca „Preferate”. Datorită acestui lucru, ei vor putea să revină la acesta de numărul necesar de ori și să discute progresul soluției sale cu un profesor sau un tutore.

Conceptul de unghi diedru

Pentru a introduce conceptul de unghi diedru, să ne amintim mai întâi una dintre axiomele stereometriei.

Orice plan poate fi împărțit în două semiplane ale liniei $a$ aflate în acest plan. În acest caz, punctele situate în același semiplan sunt pe o parte a dreptei $a$, iar punctele situate în semiplanuri diferite sunt pe părțile opuse ale dreptei $a$ (Fig. 1).

Poza 1.

Principiul construirii unui unghi diedru se bazează pe această axiomă.

Definiția 1

Cifra este numită unghi diedru, dacă este format dintr-o dreaptă și două semiplane ale acestei drepte care nu aparțin aceluiași plan.

În acest caz, se numesc semiplanurile unghiului diedru margini, iar linia dreaptă care separă semiplanurile este marginea diedrului(Fig. 1).

Figura 2. Unghiul diedric

Măsura gradului de unghi diedru

Definiția 2

Să alegem un punct arbitrar $A$ pe margine. Unghiul dintre două drepte situate în semiplane diferite, perpendicular pe o muchie și care se intersectează în punctul $A$ se numește unghi diedru liniar(Fig. 3).

Figura 3.

Evident, fiecare unghi diedru are un număr infinit de unghiuri liniare.

Teorema 1

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele.

Dovada.

Să considerăm două unghiuri liniare $AOB$ și $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figura 4.

Deoarece razele $OA$ și $(OA)_1$ se află în același semiplan $\alpha $ și sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt codirecționale. Deoarece razele $OB$ și $(OB)_1$ se află în același semiplan $\beta $ și sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt codirecționale. Prin urmare

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Datorită arbitrarului alegerii unghiurilor liniare. Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele.

Teorema a fost demonstrată.

Definiția 3

Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului liniar al unui unghi diedru.

Exemple de probleme

Exemplul 1

Să fie date două plane neperpendiculare $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul dreptei $m$. Punctul $A$ aparține planului $\beta$. $AB$ este perpendicular pe dreapta $m$. $AC$ este perpendicular pe planul $\alpha $ (punctul $C$ aparține lui $\alpha $). Demonstrați că unghiul $ABC$ este un unghi liniar al unui unghi diedru.

Dovada.

Să facem o imagine în funcție de condițiile problemei (Fig. 5).

Figura 5.

Pentru a o demonstra, amintiți-vă următoarea teoremă

Teorema 2: O dreaptă care trece prin baza uneia înclinate este perpendiculară pe aceasta, perpendiculară pe proiecția ei.

Deoarece $AC$ este perpendicular pe planul $\alpha $, atunci punctul $C$ este proiecția punctului $A$ pe planul $\alpha $. Prin urmare, $BC$ este o proiecție a oblicului $AB$. După teorema 2, $BC$ este perpendicular pe marginea unghiului diedric.

Apoi, unghiul $ABC$ satisface toate cerințele pentru definirea unui unghi diedru liniar.

Exemplul 2

Unghiul diedrul este $30^\circ$. Pe una dintre fețe se află un punct $A$, care se află la o distanță de $4$ cm de cealaltă față.Aflați distanța de la punctul $A$ până la marginea unghiului diedru.

Soluţie.

Să ne uităm la Figura 5.

După condiție, avem $AC=4\cm$.

Prin definiția gradului de măsură a unui unghi diedru, avem că unghiul $ABC$ este egal cu $30^\circ$.

Triunghiul $ABC$ este un triunghi dreptunghic. Prin definiția sinusului unui unghi ascuțit

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Această lecție este destinată studiului independent al subiectului „Unghiul diedric”. În această lecție, elevii se vor familiariza cu una dintre cele mai importante forme geometrice, unghiul diedru. Tot în lecție vom învăța cum să determinăm unghiul liniar al figurii geometrice în cauză și care este unghiul diedric la baza figurii.

Să repetăm ce este un unghi pe un plan și cum este măsurat.

Orez. 1. Avion

Să considerăm planul α (Fig. 1). Din punct de vedere DESPRE emană două raze - OBȘi OA.

Definiție. O figură formată din două raze care emană dintr-un punct se numește unghi.

Unghiul se măsoară în grade și radiani.

Să ne amintim ce este un radian.

Orez. 2. Radian

Dacă avem un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza, atunci un astfel de unghi central se numește unghi de 1 radian. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relația dintre radiani și grade.

bucuros.

Înțelegem, mă bucur. (). Apoi,

Definiție. Unghi diedru o figură formată dintr-o linie dreaptă se numește Ași două semiplane cu o limită comună A, neaparținând aceluiași plan.

Orez. 3. Semiplanuri

Să considerăm două semiplane α și β (Fig. 3). Frontiera lor comună este A. Această figură se numește unghi diedru.

Terminologie

Semiplanele α și β sunt fețele unui unghi diedru.

Drept A este o muchie a unui unghi diedru.

Pe o margine comună A unghi diedru, alegeți un punct arbitrar DESPRE(Fig. 4). În semiplanul α din punct DESPRE reface perpendiculara OA la o linie dreaptă A. Din acelasi punct DESPREîn al doilea semiplan β construim o perpendiculară OB până la margine A. Am un unghi AOB, care se numește unghiul liniar al unghiului diedru.

Orez. 4. Măsurarea unghiului diedric

Să demonstrăm egalitatea tuturor unghiurilor liniare pentru un unghi diedric dat.

Să avem un unghi diedru (Fig. 5). Să alegem un punct DESPREși punct O 1 pe o linie dreaptă A. Să construim un unghi liniar corespunzător punctului DESPRE, adică desenăm două perpendiculare OAȘi OBîn planurile α şi respectiv β până la margine A. Obținem unghiul AOB- unghiul liniar al unghiului diedru.

Orez. 5. Ilustrarea dovezii

Din punct de vedere O 1 să desenăm două perpendiculare OA 1Și OB 1 până la margine Aîn planele α și respectiv β și obținem al doilea unghi liniar A 1 O 1 B 1.

Raze O 1 A 1Și OA codirecționale, deoarece se află în același semiplan și sunt paralele între ele ca două perpendiculare pe aceeași dreaptă A.

La fel, razele Aproximativ 1 în 1Și OB sunt co-dirijate, ceea ce înseamnă ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 ca unghiuri cu laturile codirectionale, ceea ce trebuia demonstrat.

Planul unghiului liniar este perpendicular pe marginea unghiului diedric.

Dovedi: A ⊥ AOB.

Orez. 6. Ilustrarea dovezii

Dovada:

OA ⊥ A prin constructie, OB ⊥ A prin construcție (Fig. 6).

Găsim că linia A perpendicular pe două drepte care se intersectează OAȘi OB din avion AOB, ceea ce înseamnă că este drept A perpendicular pe plan OAV, ceea ce trebuia dovedit.

Un unghi diedru se măsoară prin unghiul său liniar. Aceasta înseamnă că câte grade radiani sunt conținute într-un unghi liniar, același număr de grade radiani sunt conținute în unghiul său diedru. În conformitate cu aceasta, se disting următoarele tipuri de unghiuri diedrice.

Acut (Fig. 6)

Un unghi diedru este ascuțit dacă unghiul său liniar este ascuțit, adică. .

Drept (Fig. 7)

Un unghi diedru este drept atunci când unghiul său liniar este de 90° - Obtuz (Fig. 8)

Un unghi diedru este obtuz când unghiul său liniar este obtuz, adică. .

Orez. 7. Unghi drept

Orez. 8. Unghi obtuz

Exemple de construire a unghiurilor liniare în figuri reale

ABCD- tetraedru.

1. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AB.

Orez. 9. Ilustrație pentru problema

Constructie:

Vorbim despre un unghi diedru format dintr-o muchie ABși margini ABDȘi ABC(Fig. 9).

Să facem o directă DN perpendicular pe plan ABC, N- baza perpendicularei. Să desenăm un înclinat DM perpendicular pe o linie dreaptă AB,M- baza inclinata. Prin teorema a trei perpendiculare concluzionăm că proiecția unui oblic NM tot perpendicular pe linie AB.

Adică din punct de vedere M se refac două perpendiculare pe margine AB pe doua laturi ABDȘi ABC. Am obținut unghiul liniar DMN.

observa asta AB, o muchie a unui unghi diedru, perpendicular pe planul unghiului liniar, adică planul DMN. Problema este rezolvată.

cometariu. Unghiul diedric poate fi notat astfel: DABC, Unde

AB- marginea și punctele DȘi CU stați pe diferite laturi ale unghiului.

2. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AC.

Să desenăm o perpendiculară DN la avion ABCşi înclinat DN perpendicular pe o linie dreaptă AC. Folosind teorema celor trei perpendiculare, aflăm că НN- proiecție oblică DN la avion ABC, tot perpendicular pe linie AC.DNH- unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie AC.

Într-un tetraedru DABC toate marginile sunt egale. Punct M- mijlocul coastei AC. Demonstrați că unghiul DMV- unghi diedru liniar TUD, adică un unghi diedru cu muchie AC. Una dintre fețele sale este ACD, al doilea - DIA(Fig. 10).

Orez. 10. Ilustrație pentru problema

Soluţie:

Triunghi ADC- echilateral, DM- mediană și, prin urmare, înălțimea. Mijloace, DM ⊥ AC. La fel, triunghiul AÎNC- echilateral, ÎNM- mediană și, prin urmare, înălțimea. Mijloace, VM ⊥ AC.

Astfel, din punct de vedere M coaste AC unghi diedru restaurat două perpendiculare DMȘi VM la această muchie în feţele unghiului diedru.

Deci, ∠ DMÎN este unghiul liniar al unghiului diedru, care este ceea ce trebuia demonstrat.

Deci am definit unghiul diedru, unghiul liniar al unghiului diedru.

În lecția următoare ne vom uita la perpendicularitatea dreptelor și a planurilor, apoi vom învăța ce este un unghi diedru la baza figurilor.

Lista de referințe pe tema „Unghiul diedric”, „Unghiul diedric la baza figurilor geometrice”

Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru instituțiile de învățământ general / Sharygin I. F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
Geometrie. Clasa a X-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Temă pe tema „Unghiul diedric”, determinarea unghiului diedric la baza figurilor

Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 2, 3 p. 67.

Ce este unghiul diedric liniar? Cum se construiește?

ABCD- tetraedru. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchie:

A) ÎND b) DCU.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - cub Construiți unghiul liniar al unghiului diedric A 1 ABC cu coastă AB. Determinați măsura gradului acestuia.

Unghi diedru. Unghi diedru liniar. Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane care nu aparțin aceluiași plan și au o limită comună - dreapta a. Semiplanurile care formează un unghi diedru se numesc fețele sale, iar limita comună a acestor semiplanuri se numește muchia unghiului diedru. Unghiul liniar al unui unghi diedru este un unghi ale cărui laturi sunt razele de-a lungul cărora fețele unghiului diedru sunt intersectate de un plan perpendicular pe marginea unghiului diedru. Fiecare unghi diedru are orice număr de unghiuri liniare: prin fiecare punct al unei muchii se poate trasa un plan perpendicular pe această muchie; Razele de-a lungul cărora acest plan intersectează fețele unui unghi diedru formează unghiuri liniare.

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele. Să demonstrăm că dacă unghiurile diedrice formate de planul bazei piramidei KABC și planurile fețelor sale laterale sunt egale, atunci baza perpendicularei trase din vârful K este centrul cercului înscris în triunghiul ABC.

Dovada. În primul rând, să construim unghiuri liniare cu unghiuri diedrice egale. Prin definiție, planul unui unghi liniar trebuie să fie perpendicular pe marginea unghiului diedru. Prin urmare, muchia unui unghi diedru trebuie să fie perpendiculară pe laturile unghiului liniar. Dacă KO este perpendicular pe planul bazei, atunci putem desena SAU perpendiculară AC, SAU perpendiculară SV, OQ perpendiculară AB și apoi să conectăm punctele P, Q, R CU punctul K. Astfel, vom construi o proiecție a RK, QK înclinată. , RK astfel încât muchiile AC, NE, AB să fie perpendiculare pe aceste proiecții. În consecință, aceste muchii sunt perpendiculare pe cele înclinate în sine. Și, prin urmare, planurile triunghiurilor ROK, QOK, ROK sunt perpendiculare pe muchiile corespunzătoare ale unghiului diedric și formează acele unghiuri liniare egale care sunt menționate în condiție. Triunghiurile dreptunghiulare ROK, QOK, ROK sunt congruente (deoarece au un catet comun OK și unghiurile opuse acestui catete sunt egale). Prin urmare, OR = OR = OQ. Dacă desenăm un cerc cu centrul O și raza OP, atunci laturile triunghiului ABC sunt perpendiculare pe razele OP, OR și OQ și, prin urmare, sunt tangente la acest cerc.

Perpendicularitatea planurilor. Planurile alfa și beta se numesc perpendiculare dacă unghiul liniar al unuia dintre unghiurile diedrice formate la intersecția lor este egal cu 90." Semne de perpendicularitate a două plane Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o linie perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.

Figura prezintă un paralelipiped dreptunghiular. Bazele sale sunt dreptunghiuri ABCD și A1B1C1D1. Și nervurile laterale AA1 BB1, CC1, DD1 sunt perpendiculare pe baze. Rezultă că AA1 este perpendicular pe AB, adică fața laterală este un dreptunghi. Astfel, putem justifica proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular: Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt unghiuri drepte. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt unghiuri drepte.

Teoremă Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale. Să ne întoarcem din nou la figură și să demonstrăm că AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Deoarece muchia CC1 este perpendiculară pe baza ABCD, unghiul ACC1 este drept. Din triunghiul dreptunghic ACC1, folosind teorema lui Pitagora, obținem AC12 = AC2 + CC12. Dar AC este o diagonală a dreptunghiului ABCD, deci AC2 = AB2 + AD2. În plus, CC1 = AA1. Prin urmare AC12= AB2+AD2+AA12 Teorema este demonstrată.