Многоугольник из треугольников. Многоугольники и их свойства. Нахождение числа сторон вписанного правильного треугольника

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Определение 1

Многоугольник

— это фигура, составленная из отрезков

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Определение 2

Многоугольником называется простая замкнутая .

Точки

называются вершинами многоугольника , отрезки

— сторонами многоугольника .

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

диагонали.

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

§ 1 Понятие треугольника

В этом уроке Вы познакомитесь с такими фигурами как треугольник и многоугольник.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получится треугольник. Треугольник имеет три вершины и три стороны.

Перед вами треугольник АВС, он имеет три вершины (точку А, точку В и точку С) и три стороны (АВ, АС и СВ).

Кстати, эти же стороны можно называть и по-другому:

АВ=ВА, АС=СА, СВ=ВС.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. На рисунке вы видите угол А, угол В, угол С.

Таким образом, треугольник - это геометрическая фигура, образованнаятремя отрезками, которые соединяют три, не лежащие на одной прямой, точки.

§ 2 Понятие многоугольника и его виды

Кроме треугольников, существуют четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее. Одним словом их можно назвать многоугольники.

На рисунке Вы видите четырехугольник DMKE.

Точки D, M, K и E являются вершинами четырехугольника.

Отрезки DM, MK, KE, ED являются сторонами данного четырехугольника. Так же, как и в случае с треугольником, стороны четырехугольника образуют в вершинах четыре угла, как Вы догадались, отсюда и название - четырехугольник. У данного четырехугольника вы видите на рисунке угол D, угол M, угол K и угол E.

А какие четырехугольники Вам уже известны?

Квадрат и прямоугольник! Каждый из них имеет по четыре угла и четыре стороны.

Еще один вид многоугольников - пятиугольник.

Точки O, P, X, Y, Т являются вершинами пятиугольника, а отрезки TO, OP, PX, XY, YT являются сторонами данного пятиугольника. У пятиугольника соответственно пять углов и пять сторон.

Как Вы считаете, сколько углов и сколько сторон у шестиугольника? Правильно, шесть! Рассуждая аналогичным образом, можно сказать, сколько сторон, вершин или углов имеет тот или иной многоугольник. И можно сделать вывод, что треугольник — это тоже многоугольник, у которого имеется ровно три угла, три стороны и три вершины.

Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с такими понятиями как треугольник и многоугольник. Узнали, что треугольник имеет 3 вершины, 3 стороны и 3 угла, четырехугольник - 4 вершины, 4 стороны и 4 угла, пятиугольник - соответственно 5 сторон, 5 вершин,5 углов и так далее.

Список использованной литературы:

Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Разделы: Математика

Предмет, возраст учащихся: геометрия, 9 класс

Цель урока: исследование видов многоугольников.

Обучающая задача:актуализировать, расширить и обобщить знания учащихся о многоугольниках; сформировать представление о “составных частях” многоугольника; провести исследование количества составных элементов правильных многоугольников (от треугольника до n – угольника);

Развивающая задача: развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности, умение работать в парах и группах; развивать исследовательскую и познавательную деятельность;

Воспитательная задача: воспитывать самостоятельность, активность, ответственность за порученное дело, упорство в достижении поставленной цели.

Ход урока: на доске написана цитата

“Природа говорит языком математики, буквы этого языка … математические фигуры”. Г.Галлилей

В начале урока класс делится на рабочие группы (в нашем случае деление на группы по 4 человека в каждой – количество участников группы равно количеству групп вопросов).

1.Стадия вызова-

Цели:

а) актуализация знаний учащихся по теме;

б) пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности.

Прием: Игра “Верите ли вы в то, что…”, организация работы с текстом.

Формы работы: фронтальная, групповая.

“Верите ли вы в то, что ….”

1. … слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”?

2. … треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди множества различных геометрических фигур на плоскости?

3. … квадрат – это правильный восьмиугольник (четыре стороны + четыре угла)?

Сегодня на уроке речь пойдет о многоугольниках. Мы узнаем, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной, которая в свою очередь бывает простой, замкнутой. Поговорим о том, что многоугольники бывают плоскими, правильными, выпуклыми. Один из плоских многоугольников – треугольник, с которым вы давно и хорошо знакомы (можно продемонстрировать учащимся плакаты с изображением многоугольников, ломаной, показать их различные виды, также можно воспользоваться и ТСО).

2. Стадия осмысления

Цель: получение новой информации, ее осмысление, отбор.

Прием: зигзаг.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

Каждому из группы выдается текст по теме урока, причем текст составлен таким образом, что он включает в себя как информацию уже известную учащимся, так и информацию абсолютно новую. Вместе с текстом учащиеся получают вопросы, ответы на которые необходимо в этом тексте найти.

Многоугольники. Виды многоугольников.

Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Помимо уже известных нам видов треугольников, разделяемых по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и углам (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный) треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди множества различных геометрических фигур на плоскости.

Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”. Но для характеристики фигуры этого не достаточно.

Ломаной А 1 А 2 …А n называется фигура, которая состоит из точек А 1, А 2, …А n и соединяющих их отрезков А 1 А 2 , А 2 А 3 ,…. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. (рис.1)

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4).

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.5).

Подставьте в слове “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 3. Вы получите треугольник. Или 5. Тогда - пятиугольник. Заметим, что, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника.

Многоугольник разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю (рис.6).

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Две вершины многоугольника являющиеся концами одной стороны называются соседними. Вершины, не являющиеся концами одной стороны – несоседние.

Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Хотя наименьшее число сторон многоугольника – 3. Но треугольники, соединяясь, друг с другом, могут образовывать другие фигуры, которые в свою очередь также являются многоугольниками.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Докажем теорему (о сумме углов выпуклого n – угольника): Сумма углов выпуклого n – угольника равна 180 0 *(n - 2).

Доказательство. В случае n=3 теорема справедлива. Пусть А 1 А 2 …А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n – 2 треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180 0 , а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А 1 А 2 …А n равна 180 0 * (n - 2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Равносторонние треугольники также являются правильными. Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Из правильных восьмиугольников паркет сложить нельзя. Дело в том, что у них каждый угол равен 135 0 .И если какая – нибудь точка является вершиной двух таких восьмиугольников, то на их долю придется 270 0 , и третьему восьмиугольнику там поместиться негде: 360 0 - 270 0 =90 0 .Но для квадрата этого достаточно. Поэтому можно сложить паркет из правильных восьмиугольников и квадратов.

Правильными бывают и звезды. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда. А если повернуть квадрат вокруг центра на 45 0 , то получится правильная восьмиугольная звезда.

1 группа

Что называется ломаной? Объясните, что такое вершины и звенья ломаной.

Какая ломаная называется простой?

Какая ломаная называется замкнутой?

Что называется многоугольником? Что называется вершинами многоугольника? Что называется сторонами многоугольника?

2 группа

Какой многоугольник называется плоским? Приведите примеры многоугольников.

Что такое n – угольник?

Объясните, какие вершины многоугольника – соседние, а какие нет.

Что такое диагональ многоугольника?

3 группа

Какой многоугольник называется выпуклым?

Объясните, какие углы многоугольника внешние, а какие внутренние?

Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

4 группа

Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? Докажите.

Учащиеся работают с текстом, ищут ответы на поставленные вопросы, после чего формируются экспертные группы, работа в которых идет по одним и тем же вопросам: учащиеся выделяют главное, составляют опорный конспект, представляют информацию одной из графических форм. По окончании работы учащиеся возвращаются в свои рабочие группы.

3.Стадия рефлексии-

а) оценка своих знаний, вызов к следующему шагу познания;

б) осмысление и присвоение полученной информации.

Прием: исследовательская работа.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

В рабочих группах оказываются специалисты по ответам на каждый из разделов предложенных вопросов.

Вернувшись в рабочую группу, эксперт знакомит других членов группы с ответами на свои вопросы. В группе происходит обмен информацией всех участников рабочей группы. Таким образом, в каждой рабочей группе, благодаря работе экспертов, складывается общее представление по изучаемой теме.

Исследовательская работа учащихся – заполнение таблицы.

Правильные многоугольники	Чертеж	Кол-во сторон	Кол-во вершин	Сумма всех внутр.углов	Градусная мера внутр. угла	Градусная мера внешн.угла	Количество диагоналей
А)треугольник
Б) четырех-угольник
В)пятиуольник
Г) шестиугольник
Д) n-угольник

Решение интересных задач по теме урока.

В четырехугольнике, проведите прямую так, чтобы она разделила его на три треугольника.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135 0 ?
В некотором многоугольнике все внутренние углы равны между собой. Может ли сумма внутренних углов этого многоугольника равняться: 360 0 , 380 0 ?

Подведение итогов урока. Запись домашнего задания.

Виды многоугольников:

Четырехугольники

Четырехугольники , соответственно, состоят из 4-х сторон и углов.

Стороны и углы, расположенные напротив друг друга, называются противоположными .

Диагонали делят выпуклые четырехугольники на треугольники (см. на рисунке).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° (по формуле: (4-2)*180°).

Параллелограммы

Параллелограмм - это выпуклый четырехугольник с противоположными параллельными сторонами (на рис. под номером 1).

Противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны.

А диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Трапеции

Трапеция - это тоже четырехугольник, и в трапеции параллельны только две стороны, которые называются основаниями . Другие стороны - это боковые стороны .

Трапеция на рисунке под номером 2 и 7.

Как и в треугольнике:

Если боковые стороны равны, то трапеция - равнобедренная ;

Если один из углов прямой, то трапеция - прямоугольная.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

Ромб

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Помимо свойств параллелограмма, ромбы имеют своё особое свойство - диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам .

На рисунке ромб под номером 5.

Прямоугольники

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого каждый угол прямой (см. на рис. под номером 8).

Помимо свойств параллелограмма, прямоугольники имеют своё особое свойство - диагонали прямоугольника равны .

Квадраты

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (№4).

Обладает свойствами прямоугольника и ромба (так как все стороны равны).

Тема: «Многоугольники.Виды многоугольников»

9 класс

ШЛ №20

Учитель: Харитонович Т.И. Цель урока: исследование видов многоугольников.

Обучающая задача: актуализировать, расширить и обобщить знания учащихся о многоугольниках; сформировать представление о “составных частях” многоугольника; провести исследование количества составных элементов правильных многоугольников (от треугольника до n – угольника);

Оборудование: интерактивная доска (презентация)

Ход урока

Показ презентации: «Многоугольники»

“Природа говорит языком математики, буквы этого языка … математические фигуры”. Г.Галлилей

В начале урока класс делится на рабочие группы (в нашем случае деление на3 группы)

1.Стадия вызова-

а) актуализация знаний учащихся по теме;

б) пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности.

Прием: Игра “Верите ли вы в то, что…”, организация работы с текстом.

Формы работы: фронтальная, групповая.

“Верите ли вы в то, что ….”

1. … слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”?

2. … треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди ножества различных геометрических фигур на плоскости?

3. … квадрат – это правильный восьмиугольник (четыре стороны + четыре угла)?

2. Стадия осмысления

Цель: получение новой информации, ее осмысление, отбор.

Прием: зигзаг.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

Многоугольники. Виды многоугольников.

Ломаной А1А2…Аn называется фигура, которая состоит из точек А1,А2,…Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3,…. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. (РИС.1)

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4)

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника.

Многоугольник разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю (рис.6).

Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей ПОЛУПЛОСКОСТИ

Докажем теорему (о сумме углов выпуклого n – угольника): Сумма углов выпуклого n – угольника равна 1800*(n - 2).

Доказательство. В случае n=3 теорема справедлива. Пусть А1А2…А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n – 2 треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 1800, а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А1А2…А n равна 1800* (n - 2). Теорема доказана.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Равносторонние треугольники также являются правильными. Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Из правильных восьмиугольников паркет сложить нельзя. Дело в том, что у них каждый угол равен 1350.И если какая – нибудь точка является вершиной двух таких восьмиугольников, то на их долю придется 2700 , и третьему восьмиугольнику там поместиться негде: 3600 - 2700 =900 .Но для квадрата этого достаточно. Поэтому можно сложить паркет из правильных восьмиугольников и квадратов.

Правильными бывают и звезды. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда. А если повернуть квадрат вокруг центра на 450 , то получится правильная восьмиугольная звезда.

Что называется ломаной? Объясните, что такое вершины и звенья ломаной.

Какая ломаная называется простой?

Какая ломаная называется замкнутой?

Какой многоугольник называется плоским? Приведите примеры многоугольников.

Что такое n – угольник?

Объясните, какие вершины многоугольника – соседние, а какие нет.

Что такое диагональ многоугольника?

Какой многоугольник называется выпуклым?

Объясните, какие углы многоугольника внешние, а какие внутренние?

Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? Докажите.

3.Стадия рефлексии-

а) оценка своих знаний, вызов к следующему шагу познания;

б) осмысление и присвоение полученной информации.

Прием: исследовательская работа.

Формы работы: индивидуальная->парная->групповая.

В рабочих группах оказываются специалисты по ответам на каждый из разделов предложенных вопросов.

Исследовательская работа учащихся – заполнение таблицы.

Правильные многоугольники Чертеж Кол-во сторон Кол-во вершин Сумма всех внутр.углов Градусная мера внутр. угла Градусная мера внешн.угла Количество диагоналей

А)треугольник

Б) четырехугольник

В)пятиуГольник

Г) шестиугольник

Д) n-угольник

Решение интересных задач по теме урока.

1)Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 1350?

2)В некотором многоугольнике все внутренние углы равны между собой. Может ли сумма внутренних углов этого многоугольника равняться: 3600, 3800?

3)Можно ли построить пятиугольник с углами 100,103,110,110,116 градусов?

Подведение итогов урока.

Запись домашнего задания: СТР66-72 №15,17 И ЗАДАЧА:в ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ, ПРОВЕДИТЕ ПРЯМУЮ ТАК, ЧТОБЫ ОНА РАЗДЕЛИЛА ЕГО НА ТРИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Рефлексия в виде тестов (на интерактивной доске)