2). Затем строим график линейной функции y = -3x + 6 у х y = -3x + 6
Функции, графики которых параллельны оси абсцисс 2-ой случай: K=0 В этом случае функция принимает вид у=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x
Если k больше нуля, то прямые расположены в первой и третьей четвертях. Чем больше коэффициент, тем ближе прямая прижимается к оси Оу, а чем меньше коэффициент, тем прямая ближе к оси Ох. То есть, чем больше угловой коэффициент, тем больше угол между прямой и осью абсцисс.
5 У = 2х +6 У = 2х - 5 х у Две прямые параллельны, если у них одинаковый угол наклона, а он зависит от углового коэффициента k 0 Две прямые параллельны, если у них одинаковый угловой коэффициент.
Выводы 1.Функция вида у = kх + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. Графиком линейной является прямая. 2.Функцию вида y= kx называют прямой пропорциональностью, и её график проходит через начало координат. 3.График функции у = b параллелен оси абсцисс и проходит через точку с координатами (0; b). 4.Коэффициент k называется угловым коэффициентом. От него зависит угол наклона прямой к оси Ох. 5.Если у двух различных прямых равны угловые коэффициенты, то графики этих функций будут параллельны, если их угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .
Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.
b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .
k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.
Урок 1 .
Функция у=кх и ее график.
Учитель математики школы № 92
Павловская Нина Михайловна
- систематизировать и развивать у учащихся знания
по теме функция, область определения функции,
график функции;
- ввести понятие прямой пропорциональности;
- сформировать умение строить и читать график
функции, заданной формулой у = кх;
- научиться определять:
- положение графика на координатной плоскости,
- принадлежность данной точки графику;
- научиться по графику задавать формулой прямую
пропорциональность;
- способствовать развитию познавательного интереса
учащихся
- побуждать учеников к само-, взаимоконтролю,
вызывать у них потребность в обосновании своих
высказываний.
Цели урока:
Разминка.
1. По графику изменения температуры воздуха в течение суток, найти значение температуры в 6ч,12ч,18ч .
2. Что называют областью допустимых значений переменной алгебраической дроби?
3. Найдите допустимые значения переменной для дроби:
0 k Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент. Построить графики функций: у Свойства: 8 7 а) у = 2х; б) у = - 3х. 1. Область определения 6 5 2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат. 4 II I 3 2 3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х. 1 -3 -2 -1 3 2 1 х -4 О -1 -2 III IV -3 4 . Если k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"
у = 2х
у = -3х
k0
k
Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент.
Построить графики
функций :
у
Свойства :
8
7
а) у = 2х; б) у = - 3х.
1. Область определения
6
5
2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.
4
II
I
3
2
3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х.
1
-3
-2
-1
3
2
1
х
-4
О
-1
-2
III
IV
-3
4 . Если k
-4
-5
-6
-7
-8
1 график вытягивается вдоль оси у. 2. Если |k| вдоль оси х." width="640"
Построй графики функций в одной и той же системе координат. Найди особенность расположения графиков и сделай вывод.
а) у = 5х;
б) у = - 4х;
г) у = – 0,5х.
в) у = 0,2х;
Вывод:
- Если |k|1 график вытягивается
вдоль оси у.
2. Если |k|
вдоль оси х.
По графику определи вид функции и задай ее формулой, а также дай ей характеристику.
в
г
а) у = 0,5х
б
д
б) у = х
а
е
в) у = 2х
г) у = - 2х
д) у = - х
е) у = - 0,5х
Решить из учебника
- Устно: № 490, 491.
- Письменно: № 493, 494(а,в), 495(а,в)
Подведение итогов урока:
- Что является графиком функции у = kх ?
- Что называют угловым коэффициентом прямой у = kх ?
- В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх при k 0, при k 0?
Запишите домашнее задание:
п.6.1, 6.2 учебника,
№ 494(б, г), 495(б, г), 496.
№ 644 – по желанию.
Линейная функция – это функция вида
x-аргумент (независимая переменная),
y- функция (зависимая переменная),
k и b- некоторые постоянные числа
Графиком линейной функции является прямая .
Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.
Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.
Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.
Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).
y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.
График линейной функции
Где коэффициент k = 3, следовательно
График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.
ООФ линейной функции
ОЗФ линейной функции
Кроме случая, где
Так же линейная функция вида
Является функцией общего вида.
Б) Если k=0; b≠0,
В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).
В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.
Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5
Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;
– нули функции.
Ответ: или (;0)
Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Ответ: y_1=2; y_2=4.
Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.
Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны
Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.
Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ордината точки пересечения.
(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.
Ответ: (1;2)
Пример 5 .
Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.
Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.
Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.
Пример 6 .
Построим два графика функции.
Первый график имеет формулу
Второй график имеет формулу
В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.
Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна