Tai vienas iš elementariausių būdų supaprastinti išraišką. Norėdami pritaikyti šį metodą, prisiminkime daugybos skirstymo dėsnį sudėjimo atžvilgiu (nebijokite šių žodžių, jūs tikrai žinote šį dėsnį, tik galbūt pamiršote jo pavadinimą).

Įstatymas sako: norint padauginti dviejų skaičių sumą iš trečiojo skaičiaus, reikia padauginti kiekvieną terminą iš šio skaičiaus ir pridėti rezultatus, kitaip tariant,.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją, ir būtent ši atvirkštinė operacija mus domina. Kaip matyti iš pavyzdžio, bendras koeficientas a gali būti paimtas iš skliausto.

Panašią operaciją galima atlikti ir su kintamaisiais, tokiais kaip ir, pavyzdžiui, ir su skaičiais: .

Taip, tai per daug elementarus pavyzdys, kaip ir anksčiau pateiktas pavyzdys su skaičiaus išplėtimu, nes visi žino, kas yra skaičiai ir iš kurių dalijasi, bet kas būtų, jei gautumėte sudėtingesnę išraišką:

Kaip sužinoti, į ką, pavyzdžiui, padalintas skaičius, ne, su skaičiuotuvu gali bet kas, bet be jo jis silpnas? Ir tam yra dalijimosi ženklai, šiuos ženklus tikrai verta žinoti, jie padės greitai suprasti, ar įmanoma iš skliaustų ištraukti bendrą veiksnį.

Dalyvavimo požymiai

Prisiminti juos nėra taip sunku, greičiausiai dauguma jų jums jau buvo pažįstami, ir kažkas bus naujas naudingas atradimas, daugiau informacijos rasite lentelėje:

Pastaba: lentelėje trūksta dalijimosi iš 4 ženklo. Jei paskutiniai du skaitmenys dalijasi iš 4, tai visas skaičius dalijasi iš 4.

Na, kaip jums patinka ženklas? Patariu tai atsiminti!

Na, grįžkim prie išsireiškimo, gal išimk iš skliaustų ir užteks? Ne, matematikams įprasta supaprastinti, todėl iki galo, išimk VISKAS, kas išimama!

Taigi, su grotuvu viskas aišku, o kaip su skaitine išraiškos dalimi? Abu skaičiai yra nelyginiai, todėl negalite padalyti iš

Galite naudoti dalijimosi iš ženklą skaitmenų suma ir, iš kurių susideda skaičius, yra lygus ir dalijasi iš, tai reiškia, kad dalijasi iš.

Žinodami tai, galite drąsiai suskirstyti į stulpelį, nes dalijant iš gauname (dalomumo ženklai pravertė!). Taigi, mes galime išimti skaičių iš skliausto, kaip ir y, ir dėl to turime:

Norėdami įsitikinti, kad viskas yra teisingai išskaidyta, galite patikrinti išplėtimą dauginant!

Taip pat bendras veiksnys gali būti pašalintas galios išraiškose. Pavyzdžiui, ar čia matote bendrą veiksnį?

Visi šios išraiškos nariai turi x – išimame, visus dalijame – vėl išimame, žiūrime, kas atsitiko: .

2. Sutrumpintos daugybos formulės

Sutrumpintos daugybos formulės jau buvo paminėtos teoriškai, jei sunkiai atsimenate, kas tai yra, tuomet turėtumėte jas atnaujinti atmintyje.

Na, o jei laikote save labai protingu ir tingite skaityti tokį informacijos debesį, tai tiesiog skaitykite, pažiūrėkite į formules ir iškart imkitės pavyzdžių.

Šio skilimo esmė yra pastebėti kokią nors apibrėžtą formulę prieš jus esančiame posakyje, pritaikyti ją ir taip gauti kažko ir kažko sandaugą, štai ir visas skilimas. Toliau pateikiamos formulės:

Dabar pabandykite apskaičiuoti šias išraiškas naudodami aukščiau pateiktas formules:

Ir štai kas turėjo nutikti:

Kaip pastebėjote, šios formulės yra labai efektyvus faktoringo būdas, ne visada tinkamas, bet gali būti labai naudingas!

3. Grupavimas arba grupavimo metodas

Štai jums dar vienas pavyzdys:

Na, ką tu ketini su juo daryti? Atrodo, kad jis yra padalintas į kažką ir į kažką, o kažkas į ir į ką nors

Bet jūs negalite padalinti visko į vieną dalyką, gerai bendro faktoriaus nėra, kaip neieškoti ko, o palikti be faktoringo?

Čia reikia parodyti išradingumą, o šio išradingumo pavadinimas yra grupuotė!

Jis naudojamas tik tada, kai ne visi nariai turi bendrus daliklius. Norint sugrupuoti reikia rasti terminų grupes, turinčias bendrus daliklius ir pertvarkyti juos taip, kad iš kiekvienos grupės būtų galima gauti tą patį daugiklį.

Žinoma, nebūtina pertvarkyti vietomis, bet tai suteikia matomumo, aiškumo dėlei atskiras išraiškos dalis galite paimti skliausteliuose, nedraudžiama jų dėti tiek, kiek norite, svarbiausia ne supainioti ženklus.

Visa tai nėra labai aišku? Leiskite man paaiškinti pavyzdžiu:

Į daugianarį - įdėkite narį - po nario - gauname

pirmus du terminus sugrupuojame į atskirą skliaustą ir trečią bei ketvirtą terminus sugrupuojame taip pat, palikdami minuso ženklą iš skliausto, gauname:

Ir dabar mes atskirai žiūrime į kiekvieną iš dviejų „krūvų“, į kurias sulaužėme išraišką skliaustuose.

Gudrybė yra suskaldyti į tokias krūvas, iš kurių bus galima ištraukti kuo didesnį faktorių, arba, kaip šiame pavyzdyje, bandyti sugrupuoti narius taip, kad išėmę faktorius iš skliaustų iš polių, mes skliausteliuose turi tas pačias išraiškas.

Iš abiejų skliaustų išimame bendrus narių veiksnius, iš pirmojo skliausčio ir iš antrojo skliausčio gauname:

Bet tai ne skilimas!

Pasilas skilimas turėtų likti tik daugyba, bet kol kas turime daugianarį, tiesiog padalintą į dvi dalis...

BET! Šis daugianomas turi bendrą koeficientą. Tai

už laikiklio ribų ir gauname galutinį produktą

Bingo! Kaip matote, sandauga jau yra ir už skliaustų nėra nei sudėties, nei atimties, skaidymas baigtas, nes daugiau neturime ką išimti iš skliaustų.

Stebuklas gali atrodyti, kad iš skliaustų išėmę faktorius, skliausteliuose vis dar turime tuos pačius posakius, kuriuos ir vėl ištraukėme iš skliaustų.

Ir tai visai ne stebuklas, faktas yra tas, kad pavyzdžiai vadovėliuose ir egzamine yra specialiai padaryti taip, kad dauguma užduočių išsireiškimų supaprastinimui ar faktorizavimas su teisingu požiūriu į juos jie lengvai supaprastinami ir staiga subyra kaip skėtis paspaudus mygtuką, todėl kiekvienoje išraiškoje ieškokite būtent to mygtuko.

Kažko nukrypstu, ką mes turime supaprastinus? Sudėtingas daugianario įgavo paprastesnę formą: .

Sutikite, ne toks didelis, kaip buvo anksčiau?

4. Viso kvadrato parinkimas.

Kartais, norint pritaikyti sutrumpinto daugybos formules (pakartoti temą), reikia transformuoti esamą daugianarį, pateikiant vieną iš jo narių kaip dviejų narių sumą arba skirtumą.

Tokiu atveju jūs turite tai padaryti, sužinosite iš pavyzdžio:

Šios formos daugianario negalima skaidyti naudojant sutrumpintas daugybos formules, todėl jį reikia konvertuoti. Galbūt iš pradžių jums nebus aišku, į kurį terminą skirstyti, bet laikui bėgant išmoksite iš karto pamatyti sutrumpintas daugybos formules, net jei jų nėra visos, ir greitai nustatysite, ko čia trūksta iki visos formulės, bet kol kas - mokykis , mokinys, tiksliau moksleivis.

Čia jums reikia visos skirtumo kvadrato formulės. Trečiąjį terminą pavaizduokime kaip skirtumą, gausime: Skirtumo kvadrato formulę galime pritaikyti skliausteliuose esančiai išraiškai (nepainioti su kvadratų skirtumu!!!), turime: , šiai išraiškai galime pritaikyti kvadratų skirtumo formulę (nepainioti su skirtumu kvadratu!!!), įsivaizduodami, kaip, gauname: .

Ne visada į veiksnius įtraukta išraiška atrodo paprastesnė ir mažesnė nei buvo prieš skaidymą, tačiau tokia forma ji tampa judresnė ta prasme, kad negalima jaudintis dėl besikeičiančių ženklų ir kitų matematinių nesąmonių. Na, kad galėtumėte nuspręsti patys, reikia atsižvelgti į šiuos posakius.

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas

Kvadratinio trinalio faktorinavimą žr. toliau pateiktuose išskaidymo pavyzdžiuose.

5 polinomo faktorinavimo metodų pavyzdžiai

1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų. Pavyzdžiai.

Ar prisimeni, kas yra paskirstymo įstatymas? Tai tokia taisyklė:

Pavyzdys:

Padalinkite daugianario koeficientą.

Sprendimas:

Kitas pavyzdys:

Padauginti.

Sprendimas:

Jei visas terminas išimamas iš skliaustų, skliausteliuose vietoj jo lieka vienas!

2. Sutrumpinto daugybos formulės. Pavyzdžiai.

Dažniausiai naudojamos formulės yra kvadratų skirtumas, kubelių skirtumas ir kubelių suma. Prisimeni šias formules? Jei ne, skubiai pakartokite temą!

Pavyzdys:

Įvertinkite išraišką.

Sprendimas:

Šioje išraiškoje nesunku sužinoti kubelių skirtumą:

Pavyzdys:

Sprendimas:

3. Grupavimo metodas. Pavyzdžiai

Kartais terminus galima sukeisti taip, kad iš kiekvienos gretimų terminų poros būtų galima išskirti vieną ir tą patį veiksnį. Šis bendras veiksnys gali būti pašalintas iš skliausto ir pradinis daugianomas pavirs sandauga.

Pavyzdys:

Išskaidykite daugianarį.

Sprendimas:

Sąvokas sugrupuojame taip:
.

Pirmoje grupėje iš skliaustų išimame bendrą koeficientą, o antroje -:
.

Dabar bendrą veiksnį taip pat galima išimti iš skliaustų:
.

4. Viso kvadrato parinkimo būdas. Pavyzdžiai.

Jei daugianarį galima pavaizduoti kaip dviejų reiškinių kvadratų skirtumą, belieka taikyti sutrumpintą daugybos formulę (kvadratų skirtumas).

Pavyzdys:

Išskaidykite daugianarį.

Sprendimas:Pavyzdys:

\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\trumpas(((x)^(2))+2\ctaškas 3\ctaškas x+9)_(kvadratas\ sumos\ ((\left) (x+3 \dešinė))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(masyvas)

Išskaidykite daugianarį.

Sprendimas:

\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\trumpa(((x)^(4))-2\ctaškas 2\ctaškas ((x)^(2) )+4)_(kvadratas\ skirtumai((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \dešinė))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(masyvas)

5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas. Pavyzdys.

Kvadratinis trinaris yra daugianario formos, kur nežinomas, yra keletas skaičių, be to.

Kintamosios reikšmės, kurios kvadratinį trinarį paverčia nuliu, vadinamos trinalio šaknimis. Todėl trinalio šaknys yra kvadratinės lygties šaknys.

Teorema.

Pavyzdys:

Išskaidykime kvadratinį trinarį: .

Pirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį: Dabar galime parašyti šio kvadratinio trinalio faktorių skirstymą į veiksnius:

Dabar tavo nuomonė...

Išsamiai aprašėme, kaip ir kodėl reikia koeficientuoti daugianarį.

Mes pateikėme daug pavyzdžių, kaip tai padaryti praktiškai, nurodėme spąstus, pateikėme sprendimus ...

Ką tu sakai?

Kaip jums patinka šis straipsnis? Ar naudojate šiuos triukus? Ar supranti jų esmę?

Rašyk komentaruose ir... ruoškis egzaminui!

Kol kas tai yra svarbiausias dalykas tavo gyvenime.

Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinarius išskaidyti į tiesinius veiksnius. Tam reikia prisiminti Vietos teoremą ir jos atvirkštinę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išskaidyti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, mažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties , kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trikampiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė yra teisinga

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinarį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šis trinaris išskaidomas į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šis faktas įrodomas naudojant Vieta teoremą, kurią nagrinėjome ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinario šaknys, kurioms Tada .

Ši teorema reiškia tokį tvirtinimą, kad .

Matome, kad pagal Vieta teoremą, ty pakeitę šias reikšmes į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada išskaidymas galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą, pavyzdį. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog išplėsdami skliaustus:

Matome, kad faktorinavome teisingai, ir bet kuris trinaris, jeigu jis turi šaknis, pagal šią teoremą gali būti padalytas į tiesinius koeficientus pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar bet kuriai lygčiai tokia faktorizacija įmanoma:

Paimkime, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkime diskriminanto ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti mūsų išmoktą teoremą, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktoringas pagal tiriamą teoremą yra neįmanomas.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes apsvarstėme Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

1 užduotis

Šioje grupėje mes iš tikrųjų išspręsime problemą atvirkščiai nei iškelta. Turėjome lygtį ir radome jos šaknis, išskaidančias į veiksnius. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį taip, kad būtų jos šaknys.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kurios neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie atitinka sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t. y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Jums reikia sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuojamas. Jei ir skaitiklis, ir vardiklis yra koeficientai, tada tarp jų gali būti lygių veiksnių, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, skaitiklį būtina koeficientuoti.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima koeficientuoti, rasti diskriminantą . Kadangi , tada ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje t.y., duotoji lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vieta teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasiimti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, t.y., jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, tada gaunama tokia sistema: t.y. 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu:

Prisiminkite pradinę problemą, mums reikėjo sumažinti trupmeną.

Pabandykime išspręsti problemą pakeisdami vietoj skaitiklio .

Reikia nepamiršti, kad šiuo atveju vardiklis negali būti lygus 0, t.y.

Jei šios sąlygos yra įvykdytos, pradinę trupmeną sumažinome iki formos .

3 užduotis (užduotis su parametru)

Kokiomis parametro reikšmėmis yra kvadratinės lygties šaknų suma

Jei šios lygties šaknys egzistuoja, tada , klausimas kada.

Kvadratinių trinarių faktorinavimas yra viena iš mokyklinių užduočių, su kuria anksčiau ar vėliau susiduria visi. Kaip tai padaryti? Kokia yra kvadratinio trinario faktoriaus formulė? Panagrinėkime tai žingsnis po žingsnio su pavyzdžiais.

Bendroji formulė

Kvadratinių trinadžių faktorizavimas atliekamas sprendžiant kvadratinę lygtį. Tai paprastas uždavinys, kurį galima išspręsti keliais būdais – surandant diskriminantą, naudojant Vietos teoremą, yra ir grafinis būdas jį išspręsti. Pirmieji du metodai mokomi vidurinėje mokykloje.

Bendra formulė atrodo taip:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Užduoties vykdymo algoritmas

Norint faktorinizuoti kvadratinius trinalius, reikia žinoti Wito teoremą, turėti po ranka sprendimo programą, mokėti grafiškai rasti sprendimą arba per diskriminantinę formulę ieškoti antrojo laipsnio lygties šaknų. Jei duotas kvadratinis trinaris ir jis turi būti koeficientas, veiksmų algoritmas yra toks:

1) Prilyginkite pradinę išraišką nuliui, kad gautumėte lygtį.

2) Pateikite panašius terminus (jei reikia).

3) Raskite šaknis bet kuriuo žinomu metodu. Grafinį metodą geriausia naudoti, jei iš anksto žinoma, kad šaknys yra sveikieji ir maži skaičiai. Reikia atsiminti, kad šaknų skaičius yra lygus didžiausiam lygties laipsniui, tai yra, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

4) Pakaitinė vertė Xį išraišką (1).

5) Užrašykite kvadratinių trinarių faktorius.

Pavyzdžiai

Praktika leidžia pagaliau suprasti, kaip ši užduotis atliekama. Pavyzdžiai iliustruoja kvadratinio trinario faktorius:

reikia išplėsti išraišką:

Naudokime savo algoritmą:

1) x 2 -17x+32=0

2) panašūs terminai mažinami

3) pagal Vietos formulę sunku rasti šio pavyzdžio šaknis, todėl diskriminantui geriau naudoti išraišką:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Pakeiskite šaknis, kurias radome pagrindinėje išplėtimo formulėje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada atsakymas bus toks:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Patikrinkime, ar diskriminanto rasti sprendiniai atitinka Vietos formules:

14,845 . 2,155=32

Šioms šaknims taikoma Vietos teorema, jos buvo rastos teisingai, vadinasi, teisinga ir mūsų gauta faktorizacija.

Panašiai išplečiame 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Ankstesniu atveju sprendiniai buvo ne sveikieji, o realūs skaičiai, kuriuos nesunku rasti priešais esančia skaičiuokle. Dabar apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kuriame šaknys yra sudėtingos: koeficientas x 2 + 4x + 9. Pagal Vietos formulę šaknų rasti nepavyksta, o diskriminantas yra neigiamas. Šaknys bus sudėtingoje plokštumoje.

D=-20

Remdamiesi tuo, gauname mus dominančias šaknis -4 + 2i * 5 1/2 ir -4-2i * 5 1/2, nes (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mes gauname norimą išplėtimą, pakeisdami šaknis į bendrą formulę.

Kitas pavyzdys: reikia suskaidyti išraišką 23x 2 -14x + 7.

Mes turime lygtį 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Taigi šaknys yra 14+21,166i ir 14-21,166i. Atsakymas bus toks:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Pateiksime pavyzdį, kurį galima išspręsti be diskriminanto pagalbos.

Tegul reikia išskaidyti kvadratinę lygtį x 2 -32x + 255. Akivaizdu, kad ją galima išspręsti ir diskriminantu, tačiau tokiu atveju greičiau rasti šaknis.

x 1 = 15

x2=17

Reiškia x 2–32 x + 255 =(x-15)(x-17).

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo išskaidymas yra prasmingas, kai jo laipsnis nėra žemesnis už antrąjį. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu.

Straipsnyje bus atskleistos visos dekompozicijos sąvokos, teoriniai pagrindai ir daugianario faktorinavimo metodai.

teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu laipsniu a n ir n tiesiniais koeficientais (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kur x i , i = 1 , 2 , … , n - tai daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i , i = 1 , 2 , … , n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.

Kai a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tada konjuguotose porose atsiras kompleksinės šaknys. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2 yra susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, taigi gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Apsvarstykite algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmes.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s) , tada gauname liekaną, kuri lygi polinomui taške s , tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1 .

Išvada iš Bezout teoremos

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s , tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio faktorinavimas

A x 2 + b x + c formos kvadratinis trinaris gali būti įtrauktas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats skilimas redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo vėliau.

1 pavyzdys

Kvadratinės trinario koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, pagal formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Todėl mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš čia gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po patikrinimo pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad plėtra yra teisinga.

2 pavyzdys

Padalinkite koeficientą kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Gauname, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 m

Iš čia gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar reikia išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad patį skaidymą galima pavaizduoti kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, tai daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad mes jų neskaidysime į tiesinius veiksnius.

Didesnio už antrąjį laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidymo metodas yra universalus. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies reikšmę x 1 ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1) . Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką skaidymą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Šioje temoje sprendžiamos lygtys su didesniais laipsniais ir sveikųjų skaičių koeficientais.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 \u003d 0, tada daugianarį galite pavaizduoti išraiškos P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + forma. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 \u003d 0 yra nurodyto daugianario šaknis, tada galime skliausteliuose x iš visos išraiškos. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia panagrinėkime skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0 , kur didžiausios galios koeficientas yra 1 .

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Apsvarstykite, ar yra sveikųjų skaičių šaknų. Būtina išrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti pagal Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x \u003d 2 ir x \u003d - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurios gali būti pavaizduotos kaip formos sandauga:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kreipiamės į x 2 + 2 x + 3 formos kvadratinio trinalio skaidymą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Toliau nagrinėkime daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientus, išplėtimą. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias nelygu vienetui.

Šis atvejis taikomas trupmeninėms racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Reikia pakeisti kintamąjį y = 2 x , pereiti prie daugianario, kurio koeficientai lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų radinys yra tarp laisvojo termino daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gauname, kad y \u003d - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 lygties šaknis, o tai reiškia, kad x \u003d y 2 \u003d - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti iš stulpelio 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Rašome ir gauname:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Patikrinti daliklius užtruks daug laiko, todėl pelningiau skaičiuoti gautą kvadratinį trinarį, kurio formos x 2 + 7 x + 3. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtinės gudrybės skaičiuojant daugianarį

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išskaidyti arba pateikti kaip sandauga.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išimtumėte jį iš skliaustų.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, imame reikšmes 1 , - 1 , 2 ir - 2, kad apskaičiuotume daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, reikia naudoti kitokį skaidymo ir tirpinimo būdą.

Grupuoti būtina:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavus pradinį daugianarį, reikia jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Tikslaus sprendimo būdo nėra, todėl reikia naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turėtų būti sugrupuoti. Mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringo tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintos daugybos ir Niutono dvinario formulių naudojimas daugianariui koeficientuoti

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, kokį būdą naudoti skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariu.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Taigi turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad ten nėra arklių, todėl vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname tokią išraišką kaip

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pakeiskime išraišką. Mes tai gauname

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Faktorizuoti daugianarį formos x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3 . Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą plėtrą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter