Apsvarstykite kvadratinę lygtį.

Nustatykime jo šaknis.

Nėra tikrojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų -1. Bet jei operatorių apibrėžtume formule i kaip įsivaizduojamą vienetą, tada šios lygties sprendimas gali būti parašytas kaip . Kuriame Ir - kompleksiniai skaičiai, kuriuose -1 yra tikroji dalis, 2 arba antruoju atveju -2 yra menamoji dalis. Įsivaizduojama dalis taip pat yra tikrasis skaičius. Menama dalis, padauginta iš menamo vieneto, reiškia jau įsivaizduojamas skaičius.

Apskritai kompleksinis skaičius turi formą

z = x + oi ,

Kur x, y– realieji skaičiai, – menamasis vienetas. Daugelyje taikomųjų mokslų, pavyzdžiui, elektrotechnikoje, elektronikoje, signalų teorijoje, įsivaizduojamas vienetas žymimas j. Realūs skaičiai x = Re(z) Ir y =Aš(z) yra vadinami tikrosios ir menamos dalys numeriai z. Išraiška vadinama algebrinė forma parašyti kompleksinį skaičių.

Bet koks realusis skaičius yra specialus formos kompleksinio skaičiaus atvejis . Įsivaizduojamasis skaičius taip pat yra ypatingas kompleksinio skaičiaus atvejis .

Kompleksinių skaičių C aibės apibrėžimas

Ši išraiška skamba taip: set SU, susidedantis iš tokių elementų, kad x Ir y priklauso realiųjų skaičių aibei R ir yra įsivaizduojamas vienetas. Atkreipkite dėmesį, kad ir kt.

Du kompleksiniai skaičiai Ir yra lygios tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. Ir .

Sudėtingi skaičiai ir funkcijos plačiai naudojami moksle ir technikoje, ypač mechanikoje, kintamosios srovės grandinių analizėje ir skaičiavime, analoginėje elektronikoje, signalų teorijoje ir apdorojime, automatinio valdymo teorijoje ir kituose taikomuosiuose moksluose.

1. Kompleksinių skaičių aritmetika

Dviejų kompleksinių skaičių sudėjimas susideda iš jų tikrosios ir menamos dalių sudėjimo, t.y.

Atitinkamai, dviejų kompleksinių skaičių skirtumas

Sudėtingas skaičius paskambino visapusiškai konjugatas numerį z =x+oi.

Sudėtiniai konjuguoti skaičiai z ir z * skiriasi menamos dalies ženklais. Tai akivaizdu

.

Bet kokia lygybė tarp sudėtingų išraiškų išlieka galiojanti, jei ji yra visur šioje lygybėje i pakeistas - i, t.y. eikite į konjuguotų skaičių lygybę. Skaičiai i Ir – i yra algebriškai neatskiriami, nes .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga (daugyba) gali būti apskaičiuojama taip:

Dviejų kompleksinių skaičių padalijimas:

Pavyzdys:

1. Sudėtinga plokštuma

Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti grafiškai stačiakampėje koordinačių sistemoje. Apibrėžkime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje (x, y).

Ant ašies Jautis padėsime tikras dalis x, tai vadinama tikroji (tikra) ašis, ant ašies Oy– menamos dalys y kompleksiniai skaičiai. Tai vadinama įsivaizduojama ašis. Šiuo atveju kiekvienas kompleksinis skaičius atitinka tam tikrą plokštumos tašką ir tokia plokštuma vadinama sudėtinga plokštuma. Taškas A kompleksinė plokštuma atitiks vektorių OA.

Skaičius x paskambino abscisė kompleksinis skaičius, skaičius y – ordinatės.

Sudėtingų konjuguotų skaičių pora pavaizduota taškais, esančiais simetriškai apie tikrąją ašį.

Jei į lėktuvą mes keliamės poliarinė koordinačių sistema, tada kiekvienas kompleksinis skaičius z nustatomi polinėmis koordinatėmis. Kuriame modulis numeriai yra taško poliarinis spindulys ir kampas - jo poliarinio kampo arba kompleksinio skaičiaus argumentas z.

Kompleksinio skaičiaus modulis visada neneigiamas. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmiškai nustatytas. Pagrindinė argumento reikšmė turi atitikti sąlygą . Kiekvienas kompleksinės plokštumos taškas taip pat atitinka bendrą argumento reikšmę. Argumentai, kurie skiriasi 2π kartotiniu, laikomi lygiais. Skaičiaus nulis argumentas neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma pagal posakius:

Tai akivaizdu

Kuriame
, .

Kompleksinių skaičių vaizdavimas z kaip

paskambino trigonometrinė forma kompleksinis skaičius.

Pavyzdys.

1. Eksponentinė kompleksinių skaičių forma

Skilimas į Maclaurin serija tikrosioms argumentų funkcijoms turi formą:

Eksponentinei funkcijai su sudėtingu argumentu z skilimas panašus

.

Įsivaizduojamo argumento eksponentinės funkcijos Maclaurin serijos išplėtimas gali būti pavaizduotas kaip

Gauta tapatybė vadinama Eulerio formulė.

Neigiamam argumentui jis turi formą

Sujungdami šias išraiškas galite apibrėžti šias sinuso ir kosinuso išraiškas

.

Naudojant Eulerio formulę, iš kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrinės formos

prieinama orientacinis(eksponentinė, polinė) kompleksinio skaičiaus forma, t.y. jos vaizdavimas formoje

,

Kur - poliarinės taško koordinatės su stačiakampėmis koordinatėmis ( x,y).

Kompleksinio skaičiaus konjugatas eksponentine forma užrašomas taip.

Eksponentinei formai nesunku nustatyti šias kompleksinių skaičių dauginimo ir dalijimo formules

Tai yra, eksponentine forma kompleksinių skaičių sandauga ir padalijimas yra paprastesnis nei algebrine forma. Dauginant dauginami faktorių moduliai, pridedami argumentai. Ši taisyklė taikoma daugeliui veiksnių. Ypač dauginant kompleksinį skaičių zįjungta i vektorius z sukasi prieš laikrodžio rodyklę 90

Dalijimo metu skaitiklio modulis dalijamas iš vardiklio modulio, o vardiklio argumentas atimamas iš skaitiklio argumento.

Naudodami kompleksinių skaičių eksponentinę formą, galime gauti gerai žinomų trigonometrinių tapatybių išraiškas. Pavyzdžiui, iš tapatybės

naudodamiesi Eulerio formule galime parašyti

Šioje išraiškoje prilyginus tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname kampų sumos kosinuso ir sinuso išraiškas

1. Kompleksinių skaičių laipsniai, šaknys ir logaritmai

Kompleksinio skaičiaus didinimas iki natūralios laipsnio n gaminamas pagal formulę

Pavyzdys. Paskaičiuokime .

Įsivaizduokime skaičių trigonometrine forma

’

Taikydami eksponencijos formulę gauname

Įvesdami reikšmę į išraišką r= 1, gauname vadinamąjį Moivre'o formulė, su kuria galite nustatyti kelių kampų sinusų ir kosinusų išraiškas.

Šaknis n- kompleksinio skaičiaus laipsnis z Tai turi n skirtingos reikšmės, kurias nustato išraiška

Pavyzdys. Suraskime.

Norėdami tai padaryti, išreiškiame kompleksinį skaičių () trigonometrine forma

.

Naudodami kompleksinio skaičiaus šaknies apskaičiavimo formulę, gauname

Kompleksinio skaičiaus logaritmas z- tai skaičius w, kuriam . Natūralus kompleksinio skaičiaus logaritmas turi begalinį reikšmių skaičių ir apskaičiuojamas pagal formulę

Susideda iš tikrosios (kosinuso) ir menamos (sinuso) dalių. Ši įtampa gali būti pavaizduota kaip ilgio vektorius Um, pradinė fazė (kampas), besisukanti kampiniu greičiu ω .

Be to, jei pridedamos sudėtingos funkcijos, pridedamos tikrosios ir įsivaizduojamos jų dalys. Jei sudėtinga funkcija padauginama iš pastovios arba tikrosios funkcijos, tai jos tikroji ir menamoji dalys dauginamos iš to paties koeficiento. Tokios sudėtingos funkcijos diferencijavimas / integravimas yra susijęs su realių ir įsivaizduojamų dalių diferencijavimu / integravimu.

Pavyzdžiui, atskiriant sudėtingą streso išraišką

yra padauginti iš iω yra tikroji funkcijos f(z) dalis ir – įsivaizduojama funkcijos dalis. Pavyzdžiai: .

Reikšmė z yra pavaizduotas tašku kompleksinėje z plokštumoje ir atitinkama reikšme w- taškas kompleksinėje plokštumoje w. Kai rodoma w = f(z) plokštumos linijos z transformuoti į plokštumos linijas w, vienos plokštumos figūras paverčia kitos figūromis, tačiau linijų ar figūrų formos gali labai pasikeisti.

Kompleksiniai skaičiai yra realiųjų skaičių aibės išplėtimas, paprastai žymimas . Bet koks kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip formali suma , kur ir yra realieji skaičiai ir yra įsivaizduojamas vienetas.

Kompleksinio skaičiaus užrašymas forma , vadinamas kompleksinio skaičiaus algebrine forma.

Kompleksinių skaičių savybės. Geometrinė kompleksinio skaičiaus interpretacija.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, pateiktais algebrine forma:

Panagrinėkime taisykles, pagal kurias atliekamos aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais.

Jei pateikti du kompleksiniai skaičiai α = a + bi ir β = c + di, tai

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (vienuolika)

Tai išplaukia iš dviejų tvarkingų realiųjų skaičių porų sudėjimo ir atėmimo operacijų apibrėžimo (žr. (1) ir (3) formules. Gavome kompleksinių skaičių sudėjimo ir atėmimo taisykles: norėdami sudėti du kompleksinius skaičius, turime atskirai sudėti jų realiąsias dalis ir atitinkamai menamas dalis; Norint iš vieno kompleksinio skaičiaus atimti kitą, reikia atitinkamai atimti realiąją ir menamąją dalis.

Skaičius – α = – a – bi vadinamas priešingu skaičiui α = a + bi. Šių dviejų skaičių suma lygi nuliui: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Norėdami gauti kompleksinių skaičių dauginimo taisyklę, naudojame formulę (6), ty faktą, kad i2 = -1. Atsižvelgdami į šį ryšį, randame (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, t.y.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Ši formulė atitinka (2) formulę, kuri nustatė tvarkingų realiųjų skaičių porų dauginimą.

Atkreipkite dėmesį, kad dviejų kompleksinių konjuguotų skaičių suma ir sandauga yra tikrieji skaičiai. Iš tiesų, jei α = a + bi, = a – bi, tai α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, t.y.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Dalijant du kompleksinius skaičius algebrine forma, reikia tikėtis, kad koeficientas taip pat išreiškiamas to paties tipo skaičiumi, ty α/β = u + vi, kur u, v R. Išveskime kompleksinių skaičių padalijimo taisyklę . Tegu pateikiami skaičiai α = a + bi, β = c + di, o β ≠ 0, t.y. c2 + d2 ≠ 0. Paskutinė nelygybė reiškia, kad c ir d vienu metu neišnyksta (atvejis neįtraukiamas, kai c = 0 , d = 0). Taikydami formulę (12) ir antrąją lygybę (13), randame:

Todėl dviejų kompleksinių skaičių koeficientas nustatomas pagal formulę:

atitinkantys (4) formulę.

Naudodami gautą skaičiaus β = c + di formulę, galite rasti atvirkštinį jo skaičių β-1 = 1/β. Darydami prielaidą, kad (14) formulėje a = 1, b = 0, gauname

Ši formulė nustato duoto kompleksinio skaičiaus atvirkštinę vertę, išskyrus nulį; šis skaičius taip pat sudėtingas.

Pavyzdžiui: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

55. Kompleksinio skaičiaus argumentas. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma (išvestis).

Arg.com.numeriai. – tarp tikrosios X ašies teigiamos krypties ir duotą skaičių reprezentuojančio vektoriaus.

Trigono formulė. Skaičiai: ,

APIBRĖŽIMAS

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma yra parašyti kompleksinį skaičių \(\z\) forma \(\z=x+i y\), kur \(\x\) ir \(\y\) yra tikrieji skaičiai , \(\i\ ) – įsivaizduojamas vienetas, atitinkantis santykį \(\i^(2)=-1\)

Skaičius \(\ x \) vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus \(\ z \) dalimi ir žymimas \(\ x=\operatoriaus vardas(Re) z \)

Skaičius \(\y\) vadinamas įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus \(\z\) dalimi ir žymimas \(\y=\operatoriaus vardas(Im) z\)

Pavyzdžiui:

Kompleksinis skaičius \(\ z=3-2 i \) ir jo gretutinis skaičius \(\ \overline(z)=3+2 i \) parašyti algebrine forma.

Įsivaizduojamasis dydis \(\ z=5 i \) užrašomas algebrine forma.

Be to, priklausomai nuo sprendžiamos problemos, kompleksinį skaičių galite konvertuoti į trigonometrinį arba eksponentinį skaičių.

Užduotis

Parašykite skaičių \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) algebrine forma, suraskite jo tikrąją ir menamąją dalis, taip pat konjuguotą skaičių.

Sprendimas.

Naudodami terminą trupmenų padalijimas ir trupmenų pridėjimo taisyklę, gauname:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Todėl tikroji kompleksinio skaičiaus \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) dalis yra skaičius \(\ x=\operatoriaus vardas(Re) z= \frac(59) (4) \) , įsivaizduojama dalis yra skaičius \(\ y=\operatoriaus vardas(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjuguotas skaičius: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Atsakymas

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatoriaus vardas(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatoriaus pavadinimas(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Kompleksinių skaičių veiksmai lyginant algebrines formas

Sakoma, kad du kompleksiniai skaičiai \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) yra lygūs, jei \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) t.y. Jų tikroji ir menama dalys yra lygios.

Užduotis

Nustatykite, kuriems x ir y du kompleksiniai skaičiai \(\ z_(1)=13+y i \) ir \(\ z_(2)=x+5 i \) yra lygūs.

Sprendimas

Pagal apibrėžimą du kompleksiniai skaičiai yra lygūs, jeigu jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios, t.y. \(\x=13\), \(\y=5\).

Atsakymas \(\x=13\), \(\y=5\)

papildymas

Sudėtiniai skaičiai \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) atliekami tiesiogiai sudedant realiąją ir įsivaizduojamą dalis:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\kairė(y_(1)+y_(2)\dešinė) \)

Užduotis

Raskite kompleksinių skaičių sumą \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Sprendimas.

Tikroji kompleksinio skaičiaus dalis \(\ z_(1)=-7+5 i \) yra skaičius \(\ x_(1)=\operatoriaus vardas(Re) z_(1)=-7 \) , įsivaizduojamas dalis yra skaičius \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Tikroji ir įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus \(\ z_(2)=13-4 i \) dalys yra lygios \(\ x_(2)=\operatoriaus vardas(Re) z_(2)=13 \) ir \( \ y_(2) atitinkamai )=\operatoriaus vardas(Im) z_(2)=-4 \) .

Taigi kompleksinių skaičių suma yra tokia:

\(\z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Atsakymas

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Daugiau apie kompleksinių skaičių pridėjimą skaitykite atskirame straipsnyje: Kompleksinių skaičių pridėjimas.

Atimtis

Kompleksinių skaičių \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) ir \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) atėmimas atliekamas tiesiogiai atimant tikrosios ir įsivaizduojamos dalys:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Užduotis

Raskite kompleksinių skaičių skirtumą \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Sprendimas.

Raskite realiąją ir įsivaizduojamą kompleksinių skaičių \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) dalis:

\(\ x_(1)=\operatoriaus vardas(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatoriaus vardas(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatoriaus vardas(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatoriaus vardas(Im) z_(2)=5 \)

Todėl kompleksinių skaičių skirtumas yra:

\(\ z_(1)-z_(2)=\kairė(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 i \)

Atsakymas

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) daugyba

Kompleksiniai skaičiai \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ir \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) dauginami tiesiogiai sukuriant skaičiai algebrine forma, atsižvelgiant į įsivaizduojamo vieneto savybę \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)

Užduotis

Raskite kompleksinių skaičių sandaugą \(\ z_(1)=1-5 i \)

Sprendimas.

Kompleksinių skaičių kompleksas:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15–23 i\)

Atsakymas

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) padalijimas

Kompleksinių skaičių koeficientas \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) ir \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) nustatomas padauginus skaitiklis ir vardiklis sujungiamas skaičius su vardikliu:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Užduotis

Padalyti skaičių 1 iš kompleksinio skaičiaus \(\z=1+2 i\).

Sprendimas.

Kadangi įsivaizduojama tikrojo skaičiaus 1 dalis yra lygi nuliui, koeficientas yra:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Atsakymas

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Sudėtingi skaičiai

Įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai. Abscisė ir ordinatė

kompleksinis skaičius. Konjuguoti kompleksinius skaičius.

Operacijos su kompleksiniais skaičiais. Geometrinis

kompleksinių skaičių vaizdavimas. Sudėtinga plokštuma.

Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas. Trigonometrinis

kompleksinių skaičių forma. Operacijos su kompleksu

skaičiai trigonometrine forma. Moivre'o formulė.

Pagrindinė informacija apie įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai pateikiami skyriuje „Įsivaizduojami ir kompleksiniai skaičiai“. Šių naujo tipo skaičių poreikis iškilo sprendžiant atvejo kvadratines lygtisD< 0 (здесь D– kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio pritaikymo, todėl jie buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie labai plačiai naudojami įvairiose fizikos srityse.

ir technologijos: elektrotechnika, hidro- ir aerodinamika, tamprumo teorija ir kt.

Sudėtingi skaičiai yra parašyti tokia forma:a+bi. Čia a Ir b – realūs skaičiai , A i – menamasis vienetas, t.y. e. i 2 = –1. Skaičius a paskambino abscisė,a b – ordinatėskompleksinis skaičiusa + bi.Du kompleksiniai skaičiaia+bi Ir a–bi yra vadinami konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Pagrindinės sutartys:

1. Tikrasis skaičiusAtaip pat galima parašyti formojekompleksinis skaičius:a+ 0 i arba a – 0 i. Pavyzdžiui, įrašai 5 + 0i ir 5-0 ireiškia tą patį skaičių 5 .

2. Kompleksinis skaičius 0 + bipaskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašasbireiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiaia+bi Irc + dilaikomi lygiaverčiais, jeia = c Ir b = d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Papildymas. Kompleksinių skaičių sumaa+bi Ir c + divadinamas kompleksiniu skaičiumi (a+c ) + (b+d ) i.Taigi, pridedant kompleksiniai skaičiai, jų abscisės ir ordinatės pridedami atskirai.

Šis apibrėžimas atitinka operacijų su įprastais daugianariais taisykles.

Atimtis. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumasa+bi(sumažėjęs) ir c + di(subdėlis) vadinamas kompleksiniu skaičiumi (a–c ) + (b–d ) i.

Taigi, Atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandaugaa+bi Ir c + di vadinamas kompleksiniu skaičiumi:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.Šis apibrėžimas išplaukia iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+bi Ir c + dituri būti dauginama kaip algebrinė dvinariai,

2) skaičius ituri pagrindinę savybę:i 2 = – 1.

PAVYZDYS ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbti

du konjuguoti kompleksiniai skaičiai yra lygūs tikrajam

teigiamas skaičius.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičiųa+bi (dalomas) iš kitoc + di(daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičiųe + f i(pokalbis), kurį padauginus iš daliklioc + di, gaunamas dividendasa + bi.

Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+i ) : (2 – 3 i) .

Sprendimas. Perrašykime šį santykį į trupmeną:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3i

IR Atlikę visas transformacijas, gauname:

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė Areiškia skaičių –3, taškąB– numeris 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičiusa+bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmis a ir ordinatė b (žr. paveikslėlį). Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus ilgisOP, reiškia kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulisa+bižymimas | a+bi| arba laiškas r

Pamokos planas.

1. Organizacinis momentas.

2. Medžiagos pristatymas.

3. Namų darbai.

4. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

II. Medžiagos pristatymas.

Motyvacija.

Realiųjų skaičių aibės išplėtimas susideda iš naujų skaičių (įsivaizduojamųjų) pridėjimo prie realių skaičių. Šie skaičiai įvedami dėl to, kad realiųjų skaičių aibėje neįmanoma išskirti neigiamo skaičiaus šaknies.

Įvadas į kompleksinio skaičiaus sąvoką.

Įsivaizduojami skaičiai, kuriais papildome realiuosius skaičius, rašomi forma bi, Kur i yra įsivaizduojamas vienetas ir i 2 = - 1.

Remdamiesi tuo, gauname tokį kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius yra formos išraiška a+bi, Kur a Ir b- realūs skaičiai. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

a) Du kompleksiniai skaičiai a 1 + b 1 i Ir a 2 + b 2 i lygus tada ir tik tada a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Kompleksinių skaičių sudėjimas nustatomas pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksinių skaičių daugyba nustatoma pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.

Kompleksinio skaičiaus rašymas formoje a+bi vadinama kompleksinio skaičiaus algebrine forma, kur A- tikroji dalis, bi yra įsivaizduojama dalis ir b- tikras numeris.

Sudėtingas skaičius a+bi laikomas lygiu nuliui, jei jo tikroji ir menamoji dalys yra lygios nuliui: a = b = 0

Sudėtingas skaičius a+bi adresu b = 0 laikomas tokiu pat skaičiumi kaip tikrasis skaičius a: a + 0i = a.

Sudėtingas skaičius a+bi adresu a = 0 vadinamas grynai įsivaizduojamu ir žymimas bi: 0 + bi = bi.

Du kompleksiniai skaičiai z = a + bi Ir = a – bi, besiskiriantys tik įsivaizduojamos dalies ženklu, vadinami konjuguotais.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

Su kompleksiniais skaičiais galite atlikti šias operacijas algebrine forma.

1) Papildymas.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių suma z 1 = a 1 + b 1 i Ir z 2 = a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurio tikroji dalis lygi realiųjų dalių sumai z 1 Ir z 2, o menamoji dalis yra įsivaizduojamų skaičių dalių suma z 1 Ir z 2, tai yra z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Skaičiai z 1 Ir z 2 vadinami terminais.

Kompleksinių skaičių sudėjimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Sudėtingas skaičius –a –bi vadinamas kompleksinio skaičiaus priešingybe z = a + bi. Kompleksinis skaičius, priešingas kompleksiniam skaičiui z, pažymėta -z. Kompleksinių skaičių suma z Ir -z lygus nuliui: z + (-z) = 0

1 pavyzdys: atlikite pridėjimą (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Atimtis.

Apibrėžimas. Atimti iš kompleksinio skaičiaus z 1 kompleksinis skaičius z 2 z, Ką z + z 2 = z 1.

Teorema. Skirtumas tarp kompleksinių skaičių egzistuoja ir yra unikalus.

2 pavyzdys: atlikite atimtį (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) – (-3 + 2i) = (4 – (-3)) + (-2 – 2) i = 7 – 4i.

3) Daugyba.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sandauga z 1 =a 1 +b 1 i Ir z 2 =a 2 +b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, apibrėžta lygybe: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Skaičiai z 1 Ir z 2 vadinami veiksniais.

Kompleksinių skaičių dauginimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Daugybos pasiskirstymas, palyginti su pridėjimu:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- tikras numeris.

Praktiškai kompleksiniai skaičiai dauginami pagal taisyklę, kad suma dauginama iš sumos ir atskiriama tikroji ir menama dalis.

Toliau pateiktame pavyzdyje apsvarstysime, kaip sudėtingus skaičius padauginti dviem būdais: pagal taisyklę ir padauginus sumą iš sumos.

3 pavyzdys: atlikite dauginimą (2 + 3i) (5–7i).

1 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Padalijimas.

Apibrėžimas. Padalinkite kompleksinį skaičių z 1 iki kompleksinio skaičiaus z 2, reiškia rasti tokį kompleksinį skaičių z, Ką z · z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių koeficientas egzistuoja ir yra unikalus, jei z 2 ≠ 0 + 0i.

Praktiškai kompleksinių skaičių koeficientas randamas skaitiklį ir vardiklį padauginus iš vardiklio konjugato.

Leisti z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Tada

.

Toliau pateiktame pavyzdyje mes atliksime padalijimą naudodami formulę ir daugybos iš skaičiaus, susieto su vardikliu, taisyklę.

4 pavyzdys. Raskite koeficientą .

5) Pakėlimas į teigiamą visumos galią.

a) Menamo vieneto galios.

Pasinaudojus lygybe i 2 = -1, nesunku apibrėžti bet kokią teigiamą sveikąjį įsivaizduojamo vieneto galią. Mes turime:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 ir tt

Tai rodo, kad laipsnio reikšmės aš n, Kur n– teigiamas sveikasis skaičius, periodiškai kartojamas, kai rodiklis didėja 4 .

Todėl norėdami padidinti skaičių i iki teigiamos visumos laipsnio, turime padalyti rodiklį iš 4 ir statyti i laipsniui, kurio rodiklis yra lygus dalybos likusiai daliai.

5 pavyzdys: Apskaičiuokite: (i 36 + i 17) ir 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Kompleksinio skaičiaus didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio atliekamas pagal dvinario didinimo iki atitinkamos laipsnio taisyklę, nes tai yra ypatingas identiškų kompleksinių veiksnių dauginimo atvejis.

6 pavyzdys: Apskaičiuokite: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.