Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\end{equation}
Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e\end{equation}
Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное - выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела . Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}$.
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$
При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени - к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$
Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} $$
Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$
Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} $$
Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле . Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} $$
Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. $$
Ответ : $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$
Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. $$
Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. $$
Ответ : $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$
Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.
КОНСПЕКТ 20
20.1 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА
Пример 1
Решить предел
Сначала
попробуем подставить -1 в дробь:
В
данном случае получена так называемая
неопределенность.
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытиянужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
Разложим
числитель на множители.
Пример 2
Вычислить
предел
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Пример 3
Найти
предел
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
20.2 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример 4
Вычислить
предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала
мы смотрим на числитель и находим
в
старшей степени:
Старшая
степень в числителе равна двум.
Теперь
смотрим на знаменатель и тоже находим
в
старшей степени:
Старшая
степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим
числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих,
в пределе желательно помечать, что и
куда стремится. Когда работа оформляется
от руки, удобнее это сделать так:
Для
пометок лучше использовать простой
карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 5
Найти
предел
Снова
в числителе и знаменателе находимв
старшей степени:
Максимальная
степень в числителе: 3
Максимальная
степень в знаменателе: 4
Выбираемнаибольшее
значение, в данном
случае четверку.
Согласно нашему
алгоритму, для раскрытия неопределенностиделим
числитель и знаменатель на.
Полное
оформление задания может выглядеть
так:
Пример 6
Найти
предел
Максимальная
степень «икса» в числителе: 2
Максимальная
степень «икса» в знаменателе: 1 (можно
записать как)
Для
раскрытия неопределенностинеобходимо
разделить числитель и знаменатель на.
Чистовой вариант решения может выглядеть
так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получитьсяконечное число , ноль или бесконечность.
ПРАКТИКУМ 20
ЗАДАНИЕ N 1
Решение:
Если вместо переменнойпоставить
значение 7, к которому она стремится, то
получим неопределенность видатогда
ЗАДАНИЕ N 2
Тема:
Раскрытие неопределенности вида "ноль
на ноль"
Решение: Если вместо переменнойпоставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда
ЗАДАНИЕ N 3
Тема:
Раскрытие неопределенности вида "ноль
на ноль"
Решение: Если вместо переменнойпоставить значение 6, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда
ЗАДАНИЕ N 4
Решение:
Так как
и
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Раскрытие неопределенности вида
"бесконечность на бесконечность"
Решение:
Так как
и
то
имеет место неопределенность видаДля
ее раскрытия нужно разделить каждое
слагаемое числителя и знаменателя на.
Тогда, зная, чтополучим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20
ЗАДАНИЕ N 1
Тема:
Раскрытие неопределенности вида "ноль
на ноль"
ЗАДАНИЕ N 2
Тема:
Раскрытие неопределенности вида "ноль
на ноль"
ЗАДАНИЕ N 3
Тема:
Раскрытие неопределенности вида "ноль
на ноль"
ЗАДАНИЕ N 4
Тема:
Раскрытие неопределенности вида
"бесконечность на бесконечность"
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Раскрытие неопределенности вида
"бесконечность на бесконечность"
Предел
функции
равен …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема:
Раскрытие неопределенности вида
"бесконечность на бесконечность"
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.
Выделяют следующие основные виды неопределенностей:
- Деление 0 на 0 0 0 ;
- Деление одной бесконечности на другую ∞ ∞ ;
- бесконечность, возведенная в нулевую степень ∞ 0 .
0 , возведенный в нулевую степень 0 0 ;
Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.
Раскрытие неопределенностей
Раскрыть неопределенность можно:
- С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др.);
С помощью замечательных пределов;
С помощью правила Лопиталя;
Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).
Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.
| Неопределенность | Метод раскрытия неопределенности |
| 1. Деление 0 на 0 | Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin (k x) k x или k x sin (k x) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений |
| 2. Деление бесконечности на бесконечность | Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя |
| 3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями | Преобразование в 0 0 или ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя |
| 4. Единица в степени бесконечности | Использование второго замечательного предела |
| 5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень | Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.
Пример 1
Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Решение
Выполняем подстановку значений и получаем ответ.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Пример 2
Вычислите предел lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .
Решение
У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .
(x 2 + 2 , 5) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5
Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:
lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2
Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x - 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Таким образом, можно записать, что lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .
Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:
lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞
Ответ: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
Пример 3
Вычислите предел lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .
Решение
Выполняем подстановку значений.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) · (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) · (x + 1) · (x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Пример 4
Вычислите предел lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Решение
Подставляем значение и получаем запись следующего вида.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 - x + 6 + x:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.
Пример 5
Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Решение
Выполняем подстановку.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 - 3 3 · 1 2 - 5 · 1 + 2 = 0 0
В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х - 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.
Выполняем разложение числителя на множители:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Теперь делаем то же самое со знаменателем:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Мы получили предел следующего вида:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x - 1 3 · x - 2 3 · x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x - 2 3 = 1 + 3 3 · 1 - 2 3 = 4
Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.
Например, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .
Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x (m , n) . Приведем пример решения подобной задачи.
Пример 6
Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Решение
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Пример 7
Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Решение
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Пример 8
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Выводы
В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:
Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.
Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Неопределённость вида
Пример 1.
n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Пример 2. .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида
Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x
= 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Пример 6.
Вычислить 
Решение: воспользуемся теоремами о пределах
Ответ: 11
Пример 7.
Вычислить 
Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:
; 
. Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.
Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.
Ответ:
Пример 8. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :
Ответ:
Пример 9.
Вычислить 
Решение: х 3 :
Ответ: 2
Пример 10.
Вычислить 
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :
= 
числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.
Ответ:
Пример 11. Вычислить
Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :
Ответ: 0
Производная.
Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.
Производные основных элементарных функций:
1. (const)=0
9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Правила дифференцирования:
a) 
в) 
Пример 1.
Найти производную функции 
Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:
, где 
, тогда
При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.
Ответ:
Пример 21.
Найти производную функции 
Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда
Ответ:
Приложения производной.
1. Скорость и ускорение
Пусть функция s(t) описывает положение
объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью
объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение
объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.
3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.
4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при x
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум
в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум
в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).
6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой
функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.
7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }
