Probleme pe tema Cel mai mare divizor comun. Numere prime reciproce. "Cel mai mare divizor comun. Numerele coprime Algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun

Concurs pentru tineri profesori

Regiunea Bryansk

„Debutul pedagogic – 2014”

Anul universitar 2014-2015

Lecție de întărire la matematică în clasa a VI-a

pe tema „GCD. numere prime reciproce"

Loc de munca:MBOU „Școala secundară Glinishchevskaya” din districtul Bryansk

Obiective:

Educational:

  • Consolidează și sistematizează materialul studiat;
  • Exersați abilitățile de a descompune numerele în factori primi și de a găsi mcd;
  • Testează cunoștințele elevilor și identifică lacune;

Educational:

  • Să promoveze dezvoltarea abilităților de gândire logică, vorbire și operațiuni mentale ale elevilor;
  • Contribuie la dezvoltarea capacității de a observa tipare;
  • Contribuie la îmbunătățirea nivelului de cultură matematică;

Educational:

  • Promovarea interesului pentru matematică; capacitatea de a-și exprima gândurile, de a-i asculta pe ceilalți, de a-și apăra punctul de vedere;
  • promovarea independenței, concentrării și concentrării;
  • insufla abilitățile de acuratețe în păstrarea caietului.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Metode de predare : lucrare explicativă și ilustrativă, independentă.

Echipament: computer, ecran, prezentare, fișe.

În timpul orelor:

  1. Organizarea timpului.

„Sonerul a sunat și a tăcut - începe lecția.

Te-ai așezat liniștit la birourile tale, toată lumea s-a uitat la mine.

Ură-ți succes reciproc cu ochii tăi.

Și înainte de noi cunoștințe.”

Prieteni, pe tabele vedeți „Foaia de punctaj”, adică. Pe lângă evaluarea mea, vă veți evalua pe dvs. completând fiecare sarcină.

Lucrare de evaluare

Băieți, ce subiect ați studiat în mai multe lecții? (Am învățat să găsim cel mai mare divizor comun).

Ce crezi că vom face astăzi? Formulați subiectul lecției noastre. (Astăzi vom continua să lucrăm cu cel mai mare divizor comun. Subiectul lecției noastre este „Cel mai mare divizor comun”. În această lecție vom găsi cel mai mare divizor comun al mai multor numere și vom rezolva probleme folosind cunoștințele despre găsirea celui mai mare divizor comun. ).

Deschideți caietele, notați numărul, munca la clasă și subiectul lecției: „Cel mai mare divizor comun. Numere prime reciproce.”

  1. Actualizarea cunoștințelor

Câteva întrebări teoretice

Sunt adevărate afirmațiile? "Da" - __; "Nu" - /\. Slide 3-4

  • Un număr prim are exact doi divizori; (dreapta)
  • 1 este un număr prim; (neadevarat)
  • Cel mai mic număr prim de două cifre este 11; (dreapta)
  • Cel mai mare număr compus din două cifre este 99; (dreapta)
  • Numerele 8 și 10 sunt între prime (nu adevărat)
  • Unele numere compuse nu pot fi factorizate; (neadevarat).

Cheie: _ /\ _ _/\ /\.

Evaluează-ți performanța orală pe o fișă de punctaj.

  1. Sistematizarea cunoștințelor

Astăzi, în lecția noastră, va fi puțină magie.

Unde se întâmplă magia? (în basm)

Ghiciți din imagine în ce basm ne vom găsi. ( Slide 5 ) Povestea gâștelor și lebedelor. Absolut corect. Bine făcut. Acum, să încercăm cu toții să ne amintim împreună conținutul acestui basm. Lanțul este foarte scurt.

Acolo trăiau un bărbat și o femeie. Au avut o fiică și un băiețel. Tatăl și mama au mers la muncă și i-au cerut fiicei să aibă grijă de fratele ei.

L-a așezat pe fratele meu pe iarbă de sub fereastră și a fugit afară, a început să se joace și a făcut o plimbare. Când fata s-a întors, fratele ei nu mai era acolo. A început să-l caute, a țipat, l-a sunat, dar nimeni nu a răspuns. A fugit într-un câmp deschis și doar a văzut: gâștele de lebădă s-au aruncat în depărtare și au dispărut în spatele pădurii întunecate. Atunci fata și-a dat seama că i-au luat fratele. Știa de mult că gâștele de lebădă duceau copiii mici.

Se repezi după ei. Pe drum a întâlnit o sobă, un măr și un râu. Dar râul nostru nu este un râu de lapte pe malurile de jeleu, ci unul obișnuit, în care sunt foarte, foarte mulți pești. Niciunul dintre ei nu a sugerat unde au zburat gâștele, pentru că ea însăși nu le-a îndeplinit cererile.

Multă vreme fata a alergat prin câmpuri și păduri. Ziua se apropie deja de seară, deodată vede o colibă ​​stând pe pulpe de pui, cu o fereastră, întorcându-se în jurul ei. În colibă, bătrânul Baba Yaga învârte un cârlig. Și fratele ei stă pe banca de lângă fereastră. Fata nu a spus că a venit după fratele ei, ci a mințit, spunând că s-a rătăcit. Dacă n-ar fi fost șoricelul pe care l-a hrănit cu terci, Baba Yaga l-ar fi prăjit în cuptor și l-ar fi mâncat. Fata și-a prins repede fratele și a fugit acasă. Gâștele și lebedele le-au observat și au zburat după ele. Și dacă ajung acasă în siguranță - totul depinde acum de noi, băieți. Să continuăm povestea.

Au alergat și au fugit și au ajuns la râu. Au cerut râului să ajute.

Dar râul îi va ajuta să se ascundă numai dacă „prindeți” toți peștii.

Acum veți lucra în perechi. Dau fiecărei perechi câte un plic - o plasă în care se încurcă trei pești. Sarcina ta este să obții toți peștii, să notezi numărul 1 și să rezolvi

Sarcini de pește. Demonstrați că numerele sunt între prime

1) 40 și 15 2) 45 și 49 3) 16 și 21

Evaluare inter pares. Acordați atenție criteriilor de evaluare. Slide 6-7

Generalizare: Cum se demonstrează că numerele sunt relativ prime?

Evaluat-o.

Bine făcut. A ajutat o fată și un băiat. Râul i-a adăpostit sub malul său. Gâște-lebede au zburat pe lângă.

În semn de recunoștință, Băiatul vă va oferi un minut fizic (video) Slide 9

În ce caz le va ascunde mărul?

Dacă o fată își încearcă mărul de pădure.

Dreapta. Să „mâncăm” cu toții mere de pădure împreună. Și merele de pe el nu sunt simple, cu sarcini neobișnuite, se numește LOTO. „Mâncăm” mere mari câte unul pe grup, adică. Lucrăm în grupuri. Găsiți GCD-ul în fiecare celulă de pe cărțile mici pentru răspuns. Când toate celulele sunt închise, întoarceți cărțile și ar trebui să obțineți o poză.

Misiuni despre merele din pădure

Găsiți GCD:

1 grup

a 2-a grupă

GCD(48,84)=

mcd(60,48)=

GCD(60,80)=

GCD (80,64)=

GCD (12,15)=

GCD(15,20)=

mcd(50,30)=

GCD (12,16)=

3 grupa

4 grupa

GCD (123,72)=

mcd(120,96)=

mcd(90,72)=

gcd(15;100)=

GCD(45,30)=

mcd(15,9)=

GCD(14,42)=

GCD (34,51)=

Verificare: trec prin rânduri și verific imaginea

Generalizare: Ce trebuie făcut pentru a găsi GCD?

Bine făcut. Mărul le-a umbrit cu ramuri și le-a acoperit cu frunze. Gâștele și lebedele le-au pierdut și au zburat mai departe. Deci, ce urmează?

Au alergat din nou. Nu erau departe, apoi i-au văzut gâștele, au început să bată cu aripile și au vrut să-și smulgă fratele din mâini. Au ajuns la sobă. Aragazul le va ascunde dacă fata încearcă plăcinta de secară.

Să o ajutăm pe fată.Atribuire de opțiuni, testare

TEST

Subiect

Opțiunea 1

  1. Ce numere sunt factorii comuni ai lui 24 și 16?

1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;

3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.

  1. Este numărul 9 cel mai mare divizor comun al numerelor 27 și 36?
  1. Da; 2) nr.
  1. Având în vedere numerele 128, 64 și 32. Care dintre ele este cel mai mare divizor dintre toate cele trei numere?

1) 128; 2) 64; 3) 32.

  1. Sunt numerele 7 și 418 relativ prime?

1) da; 2) nr.

1) 5 și 25;

2) 64 și 2;

3) 12 și 10;

4) 100 și 9.

TEST

Subiect : NU. Numere prime reciproce.

Opțiunea 1

  1. Ce numere sunt factorii comuni ai lui 18 și 12?

1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;

3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.

  1. Este numărul 4 cel mai mare divizor comun al numerelor 16 și 32?
  1. Da; 2) nr.
  1. Având în vedere numerele 300, 150 și 600. Care dintre ele este cel mai mare divizor dintre toate cele trei numere?

1) 600; 2) 150; 3) 300.

  1. Sunt numerele 31 și 44 relativ prime?

1) da; 2) nr.

  1. Care numere sunt relativ prime?

1) 9 și 18;

2) 105 și 65;

3) 44 și 45;

4) 6 și 16.


Examinare. Autotestare din diapozitiv. Criteriu de evaluare. Slide 10-11

Bine făcut. Am mâncat plăcintele. Fata și fratele ei s-au așezat în stomate și s-au ascuns. Gâștele lebădă au zburat și au zburat, au țipat și au strigat și au zburat cu mâinile goale către Baba Yaga.

Fata a mulțumit aragazului și a fugit acasă.

Curând, tatăl și mama au venit acasă de la serviciu.

Rezumatul lecției. În timp ce ajutam fata și băiatul, ce subiecte am repetat? (Găsirea mcd a două numere, numere coprime.)

Cum să găsiți mcd-ul mai multor numere naturale?

Cum se demonstrează că numerele sunt relativ prime?

În timpul lecției, ți-am dat note la fiecare temă și te-ai notat singur. Prin compararea acestora, se va atribui punctajul mediu pentru lecție.

Reflecţie.

Dragi prieteni! Pentru a rezuma lecția, aș dori să aud părerea ta despre lecție.

  • Ce a fost interesant și instructiv în lecție?
  • Pot fi sigur că poți face față unor sarcini de acest tip?
  • Care sarcini s-au dovedit a fi cele mai dificile?
  • Ce lacune de cunoștințe au fost dezvăluite în timpul lecției?
  • Ce probleme a creat această lecție?
  • Cum evaluezi rolul unui profesor? Te-a ajutat să dobândești abilitățile și cunoștințele necesare pentru a rezolva probleme de acest tip?

Lipiți merele pe copac. Cine a finalizat toate sarcinile și totul a fost clar - lipește un măr roșu. Cei care au avut o întrebare – verde, cei care nu au înțeles – galben. Slide 12

Este adevărată afirmația? Cel mai mic număr prim de două cifre este 11

Este adevărată afirmația? Cel mai mare număr compus din două cifre este 99

Este adevărată afirmația? Numerele 8 și 10 sunt între prime

Este adevărată afirmația? Unele numere compuse nu pot fi factorizate

Cheia dictarii: _ /\ _ _ /\ /\ Criterii de evaluare Fără erori – „5” 1-2 erori – „4” 3 erori – „3” Mai mult de trei – „2”

Demonstrați că numerele 16 și 21 sunt între prime 3 Demonstrați că numerele 40 și 15 sunt între prime. Demonstrați că numerele 45 și 49 sunt între prime 2 1 40=2·2·2·5 15=3·5 GCD(40; 15) =5, numerele nu sunt coprime 45=3·3·5 49=7·7 mcd(45, 49)=, numerele sunt coprime 16=2·2·2·2 21=3·7 mcd(45, 49) =1, numerele sunt relativ prime

Criterii de evaluare Fără erori – „5” 1 eroare – „4” 2 erori – „3” Mai mult de două – „2”

Grupa 1 GCD(48.84)= GCD(60.48)= GCD(12.15)= GCD(15.20)= Grupa 3 GCD(123.72)= GCD(120.96)= GCD(45, 30)= GCD(15.9)= al doilea grup GCD( 60,80)= GCD(80,64)= GCD(50,30)= GCD(12,16)= al 4-lea grup GCD(90,72)= GCD (15,100)= GCD (14,42)= GCD(34,51)=

Sarcini de la aragaz B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3

Criterii de evaluare Fără erori – „5” 1-2 erori – „4” 3 erori – „3” Mai mult de trei – „2”

Reflecția mi-a fost clară, am făcut față tuturor sarcinilor, au fost dificultăți minore, dar le-am făcut față, au rămas câteva întrebări.


Tine minte!

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par; toate celelalte numere prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu” puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt, de asemenea, divizibile cu alte numere naturale.

De exemplu:

  • numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
  • Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Tine minte!

Împărțitorul unui număr natural a este un număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compus.

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Aceste numere sunt: ​​1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.

Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Tine minte!

Cel mai mare divizor comun(GCD) a două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr cu care ambele numere „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează:

GCD (a; b).

Exemplu: mcd (12; 36) = 12.

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera majusculă „D”.

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere coprime.

Tine minte!

Numerele coprime- acestea sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. Gcd-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi mcd-ul a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

  1. descompune divizorii numerelor în factori primi;

Este convenabil să scrieți calcule folosind o bară verticală. În stânga liniei scriem mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Apoi, în coloana din stânga notăm valorile coeficientilor.

Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorăm numerele 28 și 64 în factori primi.


  1. Subliniem aceiași factori primi în ambele numere.
    28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2

  2. Găsiți produsul factorilor primi identici și scrieți răspunsul;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți oficializa locația GCD în două moduri: într-o coloană (așa cum s-a făcut mai sus) sau „într-un rând”.

Numere prime și compuse

Definiția 1. Un divizor comun al mai multor numere naturale este un număr care este un divizor al fiecăruia dintre aceste numere.

Definiția 2. Cel mai mare divizor comun se numește cel mai mare divizor comun (MCG).

Exemplul 1. Divizorii comuni ai numerelor 30, 45 și 60 sunt numerele 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor numere este

GCD (30, 45, 10) = 15.

Definiția 3. Dacă cel mai mare divizor comun al mai multor numere este 1, atunci aceste numere sunt numite prim reciproc.

Exemplul 2. Numerele 40 și 3 vor fi numere coprime, dar numerele 56 și 21 nu sunt coprime, deoarece numerele 56 și 21 au un factor comun de 7, care este mai mare decât 1.

Notă. Dacă numărătorul unei fracții și numitorul fracției sunt numere prime reciproce, atunci o astfel de fracție este ireductibilă.

Algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun

Sa luam in considerare algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun mai multe numere din exemplul următor.

Exemplul 3. Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor 100, 750 și 800.

Soluție. Să factorăm aceste numere în factori primi:

Factorul prim 2 este inclus în prima factorizare la puterea lui 2, în a doua factorizare - la puterea lui 1, iar în a treia factorizare - la puterea lui 5. Să notăm cel mai mic a acestor puteri prin litera a. Este evident că A = 1 .

Factorul prim 3 este inclus în prima factorizare la puterea lui 0 (cu alte cuvinte, factorul 3 nu este deloc inclus în prima factorizare), în a doua factorizare este inclus în puterea lui 1, iar în a treia factorizare – la puterea lui 0. Să notăm cel mai mic a acestor puteri prin litera b. Este evident că b = 0 .

Factorul prim 5 este inclus în prima factorizare la puterea lui 2, în a doua factorizare - la puterea lui 3, iar în a treia factorizare - la puterea lui 2. Să notăm cel mai mic a acestor puteri prin litera c. Este evident că c = 2 .

Lecție de matematică în clasa a 5-a A pe tema:

(conform manualului de G.V. Dorofeev, L.G. Peterson)

Profesor de matematică: Danilova S.I.

Subiectul lecției: Cel mai mare divizor comun. Numere prime reciproce.

Tip de lecție: O lecție de învățare a materialelor noi.

Scopul lecției: Obțineți o modalitate universală de a găsi cel mai mare divizor comun al numerelor. Învață să găsești mcd-ul numerelor folosind metoda factorizării.

Rezultate generate:

    Subiect: compuneți și stăpâniți un algoritm pentru găsirea GCD, antrenați capacitatea de a-l aplica în practică.

    Personal: să dezvolte capacitatea de a controla procesul și rezultatul activităților educaționale și matematice.

    Metasubiect: dezvolta capacitatea de a găsi mcd de numere, de a aplica criterii de divizibilitate, de a construi raționament logic, de a deduce și de a trage concluzii.

Rezultate planificate:

Elevul va învăța să găsească mcd-ul numerelor prin factorizarea numerelor în factori primi.

Noțiuni de bază: GCD de numere. Numere prime reciproce.

Forme de lucru ale elevilor: frontal, individual.

Echipament tehnic necesar: calculator profesor, proiector, tablă interactivă.

Structura lecției.

    Organizarea timpului.

    Lucru oral. Gimnastica pentru minte.

    Mesaj cu subiectul lecției. Învățarea de materiale noi.

    Minut de educație fizică.

    Consolidarea primară a materialului nou.

    Muncă independentă.

    Teme pentru acasă. Reflectarea activității.

În timpul orelor

    Organizarea timpului.(1 min.)

Obiectivele etapei: să ofere un mediu pentru munca elevilor clasei și să-i pregătească psihologic pentru comunicare în lecția următoare

Salutari:

Buna baieti!

Ne-am uitat unul la altul,

Și toți s-au așezat în liniște.

Clopoțelul a sunat deja.

Să începem lecția.

    Lucru oral. Gimnastica mintii. (5 minute.)

Obiectivele etapei: amintiți-vă și consolidați algoritmi pentru calcule accelerate, repetați semnele de divizibilitate a numerelor.

Pe vremuri în Rus' se spunea că înmulțirea este chin, dar împărțirea este necaz.

Oricine putea împărți rapid și precis era considerat un mare matematician.

Să verificăm dacă poți fi numiți mari matematicieni.

Să facem gimnastică mentală.

1) Alegeți dintr-o varietate

A=(716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175)

numere care sunt multipli de 2, multipli de 5, multipli de 3.

2) Calculați verbal:

    5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =

2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =

    Motivația pentru activități de învățare. Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.(4 min.)

Ţintă :

1) includerea elevilor în activități educaționale;

2) organizarea activităților studenților pentru stabilirea cadrelor tematice: noi modalități de găsire a numerelor GCD;

3) să creeze condiții pentru ca elevul să dezvolte o nevoie internă de includere în activitățile educaționale.

– Băieți, ce subiect ați lucrat în lecțiile anterioare? (Despre descompunerea numerelor în factori primi) De ce cunoștințe aveam nevoie? (semne de divizibilitate)

Ne-am deschis caietele, să verificăm numărul de acasă nr. 638.

În temele pentru acasă, ați folosit factorizarea pentru a determina dacă numărul a este divizibil cu numărul b și ați găsit câtul. Să verificăm ce ai. Să verificăm nr. 638. În ce caz a se împarte la b? Dacă a este divizibil cu b, atunci ce este b la a? Ce este b pentru a și b? Ce părere aveți, cum să găsiți mcd-ul numerelor dacă unul dintre ele nu este divizibil cu celălalt? Care sunt presupunerile tale?

Acum să ne uităm la problema: „Care este cel mai mare număr de cadouri identice care pot fi făcute din 48 de bomboane „veveriță” și 36 de ciocolate „inspirație”, dacă trebuie să folosiți toate bomboanele și ciocolata?”

Scrieți pe tablă și în caiete:

36=2*2*3*3

48=2*2*2*2*3

GCD(36,48)=2*2*3=12

Cum putem aplica factorizarea pentru a rezolva această problemă? Ce găsim de fapt? GCD de numere. Care este scopul lecției noastre? Învață să găsești mcd de numere într-un mod nou.

4. Raportați subiectul lecției. Învățarea de materiale noi.(3,5 min.)

Notați numărul și subiectul lecției: „Cel mai mare divizor comun”.

(Cel mai mare divizor comun este cel mai mare număr care împarte fiecare dintre numerele naturale date). Toate numerele naturale au cel puțin un divizor comun - numărul 1.

Cu toate acestea, multe numere au mai mulți factori comuni. O modalitate universală de a găsi GCD este de a descompune aceste numere în factori primi.

Să scriem un algoritm pentru găsirea mcd-ului mai multor numere.

    Împărțiți numerele date în factori primi.

    Găsiți factori identici și subliniați-i.

    Găsiți produsul factorilor comuni.

    Minut de educație fizică(s-au ridicat de la birourile lor) - video flash. (1,5 min.)

(Opțiune alternativă:

Am ajuns împreună,

Și au zâmbit unul altuia.

Unu - aplauda si doi - aplauda.

Piciorul stâng - stomp, iar piciorul drept - stomp.

Au clătinat din cap -

Ne întindem gâtul.

Picior, acum încă unul

Împreună putem face totul.)

    Consolidarea primară a materialului nou. ( 15 minute. )

Implementarea proiectului finalizat

Ţintă:

1) organizează implementarea proiectului construit în conformitate cu planul;

2) organizează înregistrarea unei noi metode de acţiune în vorbire;

3) organizați fixarea unei noi metode de acțiune în semne (folosind un standard);

4) organizați înregistrarea depășirii dificultăți;

5) organizați clarificarea naturii generale a noilor cunoștințe (posibilitatea utilizării unei noi metode de acțiune pentru rezolvarea tuturor sarcinilor de acest tip).

Organizarea procesului de invatamant: № 650(1-3), 651(1-3)

№ 650 (1-3).

№ 650 (2) demontează în detaliu, deoarece Nu există factori primi comuni.

Primul punct a fost finalizat.

2. D (A; b) = nu

3. GCD ( A; b ) = 1

Ce lucruri interesante ai observat? (Numerele nu au factori primi comuni.)

În matematică, astfel de numere sunt numite numere coprime. Înregistrare în caiete:

Se numesc numerele al căror divizor comun cel mai mare este 1 reciproc simple.

AȘi b relativ prim  mcd ( A ; b ) = 1

Ce poți spune despre cel mai mare divizor comun al numerelor coprime?

(Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime este 1.)

№ 651 (1-3)

Sarcina este finalizată la bord cu comentarii.

    Să factorăm numerele în factori primi folosind algoritmul binecunoscut:

75 3 135 3

25 5 45 3

5 5 15 3

1 5 5

GCD (75; 135) =3*5= 15.

180 2*5 210 2*5

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

GCD (180, 210)=2*5*3=30

125 5 462 2

25 5 231 3

5 5 77 7

1 11 11

GCD (125, 462)=1


7. Munca independentă.(10 minute.)

Cum poți demonstra că ai învățat să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor într-un mod nou? (Trebuie să-ți faci singur treaba.)

Muncă independentă.

Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor folosind factori primi.

Opțiunea 1 Opțiunea 2

    a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7

b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19

    60 și 165 2) 75 și 135

    81 și 125 3) 49 și 125

4) 180, 210 și 240 (opțional)

Băieți, încercați să vă aplicați cunoștințele atunci când lucrați independent.

Elevii fac mai întâi muncă independentă, apoi verifică peer-cheer și verifică cu un eșantion pe diapozitiv.

Verificarea muncii independente:

Opțiunea 1 Opțiunea 2

    GCD(a,b)=2 × 7=14 1) GCD(a,b)=3 × 7=21

    GCD( 60, 165 )=3 × 5 =15 2) GCD(75, 135)=3 × 5 =15

    GCD(81, 125)=1 3) GCD(49, 125)=1

8. Reflectarea activității.(5 minute.)

Ce nou ai învățat la lecție? (O nouă modalitate de a găsi GCD folosind descompunerea în factori primi, ce numere sunt numite coprime, cum să găsiți GCD de numere dacă un număr mai mare este divizibil cu un număr mai mic.)

Ce obiectiv ți-ai propus?

Ți-ai atins obiectivul?

Ce te-a ajutat să-ți atingi obiectivul?

– Determinați singur adevărul uneia dintre următoarele afirmații (R-1).

Ce trebuie să faci acasă pentru a înțelege mai bine acest subiect? (Citiți paragraful și exersați găsirea GCD folosind o nouă metodă).

Teme pentru acasă:

clauza 2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.

Determinați dacă una dintre următoarele afirmații este adevărată pentru dvs.:

„Mi-am dat seama cum să găsesc mcd-ul numerelor.”

„Știu cum să găsesc mcd-ul numerelor, dar încă fac greșeli.”

„Am încă întrebări nerezolvate.”

Afișați răspunsurile dvs. ca emoticoane pe o bucată de hârtie.

În acest articol vom vorbi despre ce sunt numerele coprime. În primul paragraf, formulăm definiții pentru două, trei sau mai multe numere relativ prime, dăm mai multe exemple și arătăm în ce cazuri două numere pot fi considerate prime între ele. După aceasta, trecem la formularea principalelor proprietăți și dovezile acestora. În ultimul paragraf vom vorbi despre un concept înrudit - numere prime perechi.

Ce sunt numerele coprime

Fie două numere întregi sau mai multe dintre ele pot fi reciproc prime. Mai întâi, să introducem o definiție pentru două numere, pentru care avem nevoie de conceptul celui mai mare divizor comun al acestora. Dacă este necesar, repetați materialul dedicat acestuia.

Definiția 1

Două astfel de numere a și b vor fi reciproc prime, cel mai mare divizor comun al cărora este egal cu 1, adică. GCD (a, b) = 1.

Din această definiție putem concluziona că singurul divizor comun pozitiv al două numere coprime va fi egal cu 1. Doar două astfel de numere au doi divizori comuni - unu și minus unu.

Care sunt câteva exemple de numere coprime? De exemplu, o astfel de pereche ar fi 5 și 11. Au un singur divizor pozitiv comun, egal cu 1, ceea ce confirmă simplitatea lor reciprocă.

Dacă luăm două numere prime, atunci unul în raport cu celălalt vor fi reciproc prime în toate cazurile, dar astfel de relații reciproce se formează și între numerele compuse. Există cazuri când un număr dintr-o pereche de numere prime relativ este compus, iar al doilea este prim sau ambele sunt compuse.

Această afirmație este ilustrată de următorul exemplu: numerele compuse 9 și 8 formează o pereche relativ prime. Să demonstrăm acest lucru calculând cel mai mare divizor comun al lor. Pentru a face acest lucru, notăm toți divizorii lor (recomandăm să recitiți articolul despre găsirea divizorilor unui număr). Pentru 8 aceste numere vor fi ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, iar pentru 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Alegem dintre toți divizorii pe cel care va fi comun și cel mai mare - aceasta este unitatea. Prin urmare, dacă GCD (8, − 9) = 1, atunci 8 și - 9 vor fi coprime unul față de celălalt.

Numerele coprime nu sunt 500 și 45, deoarece au un alt divizor comun - 5 (vezi articolul despre criteriile de divizibilitate cu 5). Cinci este mai mare decât unu și este un număr pozitiv. O altă pereche similară ar putea fi - 201 și 3, deoarece ambele pot fi împărțite la 3, așa cum este indicat de semnul de divizibilitate corespunzător.

În practică, destul de des este necesar să se determine primitatea relativă a două numere întregi. Aflarea acestui lucru poate fi redusă la găsirea celui mai mare divizor comun și compararea acestuia cu unitatea. De asemenea, este convenabil să folosiți un tabel de numere prime pentru a nu face calcule inutile: dacă unul dintre numerele date se află în acest tabel, atunci este divizibil doar cu unul și de la sine. Să ne uităm la soluția unei astfel de probleme.

Exemplul 1

Condiție: aflați dacă numerele 275 și 84 sunt între prime.

Soluţie

Ambele numere au în mod clar mai mult de un divizor, așa că nu le putem numi imediat relativ prime.

Calculăm cel mai mare divizor comun folosind algoritmul euclidian: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

Răspuns:întrucât MCD (84, 275) = 1, atunci aceste numere vor fi relativ prime.

După cum am spus mai devreme, definiția unor astfel de numere poate fi extinsă la cazurile în care nu avem două numere, ci mai multe.

Definiția 2

Numerele întregi a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 vor fi reciproc prime atunci când au cel mai mare divizor comun egal cu 1 .

Cu alte cuvinte, dacă avem o mulțime de numere cu cel mai mare divizor pozitiv mai mare decât 1, atunci toate aceste numere nu sunt reciproc inverse unul față de celălalt.

Să luăm câteva exemple. Astfel, numerele întregi − 99, 17 și − 27 sunt relativ prime. Orice număr de numere prime va fi coprime în raport cu toți membrii populației, ca în secvențele 2, 3, 11, 19, 151, 293 și 667. Dar numerele 12, − 9, 900 și − 72 nu vor fi relativ prim, deoarece pe lângă unitate vor mai avea un divizor pozitiv egal cu 3. Același lucru este valabil și pentru numerele 17, 85 și 187: cu excepția unuia, toate pot fi împărțite la 17.

De obicei, primitatea reciprocă a numerelor nu este evidentă la prima vedere; acest fapt necesită dovezi. Pentru a afla dacă unele numere sunt relativ prime, trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun al lor și să trageți o concluzie pe baza comparației cu unul.

Exemplul 2

Condiție: determinați dacă numerele 331, 463 și 733 sunt relativ prime.

Soluţie

Să verificăm tabelul numerelor prime și să stabilim că toate aceste trei numere sunt în el. Atunci divizorul lor comun poate fi doar unul.

Răspuns: toate aceste numere vor fi coprime între ele.

Exemplul 3

Condiție: dați o dovadă că numerele − 14, 105, − 2 107 și − 91 nu sunt coprime.

Soluţie

Să începem prin a identifica cel mai mare divizor comun al lor, apoi ne asigurăm că acesta nu este egal cu 1. Deoarece numerele negative au aceiași divizori ca și cele pozitive corespondente, atunci mcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = mcd (14, 105, 2 107, 91). Conform regulilor pe care le-am dat în articolul despre găsirea celui mai mare divizor comun, în acest caz mcd va fi egal cu șapte.

Răspuns:șapte este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că aceste numere nu sunt relativ prime.

Proprietățile de bază ale numerelor coprime

Astfel de numere au unele proprietăți practic importante. Să le enumerăm în ordine și să le dovedim.

Definiția 3

Dacă împărțim numerele întregi a și b la numărul corespunzător celui mai mare divizor comun al lor, obținem numere prime relativ. Cu alte cuvinte, a: mcd (a, b) și b: mcd (a, b) vor fi relativ prim.

Am dovedit deja această proprietate. Dovada poate fi găsită în articolul despre proprietățile celui mai mare divizor comun. Datorită acesteia, putem determina perechi de numere relativ prime: trebuie doar să luăm oricare două numere întregi și să împărțim la GCD. Ca rezultat, ar trebui să obținem numere coprime.

Definiția 4

O condiție necesară și suficientă pentru primitatea reciprocă a numerelor a și b este existența unor astfel de numere întregi tu 0Și v 0, pentru care egalitate a · u 0 + b · v 0 = 1 va fi adevărat.

Dovada 1

Să începem prin a demonstra necesitatea acestei condiții. Să presupunem că avem două numere prime relativ, notate a și b. Apoi, prin definiția acestui concept, cel mai mare divizor comun al lor va fi egal cu unu. Din proprietățile mcd știm că pentru numerele întregi a și b există o relație Bezout a · u 0 + b · v 0 = mcd (a, b). Din asta obținem asta a · u 0 + b · v 0 = 1. După aceasta, trebuie să dovedim suficiența condiției. Lasă egalitatea a · u 0 + b · v 0 = 1 va fi adevărat în acest caz dacă GCD (a, b)împarte și a , și b , atunci va împărți și suma a · u 0 + b · v 0, și respectiv unitate (acest lucru poate fi argumentat pe baza proprietăților divizibilității). Și acest lucru este posibil doar dacă GCD (a, b) = 1, ceea ce demonstrează simplitatea reciprocă a lui a și b.

De fapt, dacă a și b sunt coprimi, atunci conform proprietății anterioare, egalitatea va fi adevărată a · u 0 + b · v 0 = 1. Înmulțim ambele părți cu c și obținem asta a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Putem împărți primul termen a · c · u 0 + b · c · v 0 prin b, deoarece acest lucru este posibil pentru a · c, iar al doilea termen este de asemenea divizibil cu b, deoarece unul dintre factorii noștri este egal cu b. De aici concluzionăm că întreaga sumă poate fi împărțită la b și, deoarece această sumă este egală cu c, atunci c poate fi împărțită la b.

Definiția 5

Dacă două numere întregi a și b sunt între prime, atunci mcd (a c, b) = mcd (c, b).

Dovada 2

Să demonstrăm că GCD (a c, b) va împărți GCD (c, b), iar după aceea, că GCD (c, b) va împărți GCD (a c, b), ceea ce va fi dovada corectitudinii egalității GCD (a · c , b) = GCD (c , b) .

Deoarece MCD (a · c, b) împarte atât a · c și b, iar MCD (a · c, b) împarte b, atunci va împărți și b · c. Aceasta înseamnă că GCD (a c, b) împarte atât a c, cât și b c, prin urmare, datorită proprietăților GCD, împarte și GCD (a c, b c), care va fi egal cu c GCD (a, b ) = c . Prin urmare, GCD (a · c, b) împarte atât b, cât și c, prin urmare, împarte și GCD (c, b).

Se mai poate spune că, deoarece GCD (c, b) împarte atât c, cât și b, atunci va împărți atât c, cât și a c. Aceasta înseamnă că GCD (c, b) împarte atât a · c, cât și b, prin urmare, împarte și GCD (a · c, b).

Astfel, mcd (a c, b) și mcd (c, b) se împart reciproc, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Definiția 6

Dacă numerele sunt din succesiune a 1 , a 2 , … , a k va fi relativ prim în raport cu numerele șirului b 1, b 2, …, b m(pentru valorile naturale ale lui k și m), apoi produsele lor a 1 · a 2 · … · a kȘi b 1 · b 2 · … · b m sunt, de asemenea, relativ prime, în special, a 1 = a 2 = … = a k = aȘi b 1 = b 2 = … = b m = b, Acea un kȘi b m- reciproc simplu.

Dovada 3

Conform proprietății anterioare, putem scrie egalități de următoarea formă: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Posibilitatea ultimei tranziții este asigurată de faptul că a k și b m sunt relativ primi după condiție. Aceasta înseamnă GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Să notăm a 1 · a 2 · … · a k = A și să obținem că GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = MCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Acest lucru va fi adevărat datorită ultimei egalități din lanțul construit mai sus. Astfel, avem egalitatea GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, cu care putem demonstra primitatea reciprocă a produselor a 1 · a 2 · … · a kȘi b 1 · b 2 · … · b m

Acestea sunt toate proprietățile numerelor coprime despre care am dori să vă spunem.

Conceptul de numere prime în perechi

Știind ce sunt numerele prime coprime, putem formula o definiție a numerelor prime perechi.

Definiția 7

Numere prime în perechi este o succesiune de numere întregi a 1 , a 2 , ... , a k , unde fiecare număr va fi relativ prim în raport cu celelalte.

Un exemplu de succesiune de numere prime pe perechi ar fi 14, 9, 17 și - 25. Aici toate perechile (14 și 9, 14 și 17, 14 și − 25, 9 și 17, 9 și − 25, 17 și − 25) sunt coprime. Rețineți că condiția primului reciproc este obligatorie pentru numerele prime în perechi, dar numerele prime reciproc nu vor fi prime în perechi în toate cazurile. De exemplu, în secvența 8, 16, 5 și 15, numerele nu sunt astfel de numere, deoarece 8 și 16 nu vor fi coprime.

De asemenea, ar trebui să vă concentrați asupra conceptului de colecție de un anumit număr de numere prime. Ele vor fi întotdeauna simple atât reciproc, cât și perechi. Un exemplu ar fi secvența 71, 443, 857, 991. În cazul numerelor prime, conceptele de prim reciproc și perechi vor coincide.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Citeste si