3.1. Polinės koordinatės

Dažnai naudojamas lėktuve poliarinė koordinačių sistema . Jis apibrėžiamas, jei duotas taškas O, vadinamas stulpas, ir iš ašigalio sklindantis spindulys (mums tai yra ašis Jautis) – poliarinė ašis. Taško M padėtis fiksuojama dviem skaičiais: spindulys (arba spindulio vektorius) ir kampas φ tarp polinės ašies ir vektoriaus. Kampas φ vadinamas poliarinis kampas; matuojamas radianais ir skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo poliarinės ašies.

Taško vietą polinėje koordinačių sistemoje nurodo sutvarkyta skaičių pora (r; φ). Prie ašigalio r = 0, o φ neapibrėžtas. Dėl visų kitų punktų r > 0, ir φ apibrėžiamas iki termino, kuris yra 2π kartotinis. Šiuo atveju skaičių poros (r; φ) ir (r 1 ; φ 1) yra susietos su tuo pačiu tašku, jei .

Stačiakampei koordinačių sistemai xOy Dekarto taško koordinatės lengvai išreiškiamos jo polinėmis koordinatėmis taip:

3.2. Geometrinė kompleksinio skaičiaus interpretacija

Panagrinėkime Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje xOy.

Bet koks kompleksinis skaičius z=(a, b) yra susietas su tašku plokštumoje su koordinatėmis ( x, y), kur koordinatė x = a, t.y. tikroji kompleksinio skaičiaus dalis, o koordinatė y = bi yra menamoji dalis.

Plokštuma, kurios taškai yra kompleksiniai skaičiai, yra kompleksinė plokštuma.

Paveiksle – kompleksinis skaičius z = (a, b) atitinka tašką M(x, y).

Pratimas.Nubrėžkite kompleksinius skaičius koordinačių plokštumoje:

3.3. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Kompleksinis skaičius plokštumoje turi taško koordinates M(x;y). Kur:

Kompleksinio skaičiaus rašymas - kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma.

Vadinamas skaičius r modulis kompleksinis skaičius z ir yra paskirtas. Modulis yra neneigiamas realusis skaičius. Dėl .

Modulis yra nulis tada ir tik tada z = 0, t.y. a = b = 0.

Vadinamas skaičius φ argumentas z ir yra paskirtas. Argumentas z apibrėžiamas dviprasmiškai, kaip ir polinis kampas poliarinėje koordinačių sistemoje, būtent iki termino, kuris yra 2π kartotinis.

Tada priimame: , kur φ yra mažiausia argumento reikšmė. Tai akivaizdu

.

Nagrinėjant temą nuodugniau, įvedamas pagalbinis argumentas φ*, toks, kad

1 pavyzdys. Raskite kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą.

Sprendimas. 1) apsvarstykite modulį: ;

2) Ieškau φ: ;

3) trigonometrinė forma:

2 pavyzdys. Raskite kompleksinio skaičiaus algebrinę formą .

Čia pakanka pakeisti trigonometrinių funkcijų reikšmes ir transformuoti išraišką:

3 pavyzdys. Raskite kompleksinio skaičiaus modulį ir argumentą;

1) ;

2) ; φ – per 4 ketvirčius:

3.4. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma

· Sudėjimas ir atėmimas Tai patogiau daryti su kompleksiniais skaičiais algebrine forma:

· Daugyba– naudojant paprastas trigonometrines transformacijas galima parodyti, kad Dauginant skaičių moduliai dauginami ir pridedami argumentai: ;

Paskaita

Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Planuoti

1. Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

2. Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

3. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma.

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

a) Kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais plokštumoje pagal šią taisyklę: a + bi = M ( a ; b ) (1 pav.).

1 paveikslas

b) Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti vektoriumi, kuris prasideda taškeAPIE o pabaiga duotame taške (2 pav.).

2 pav

7 pavyzdys. Sudarykite taškus, vaizduojančius kompleksinius skaičius:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3 pav.).

3 pav

Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

Sudėtingas skaičiusz = a + bi galima nurodyti naudojant spindulio vektorių su koordinatėmis( a ; b ) (4 pav.).

4 pav

Apibrėžimas . Vektoriaus ilgis , reiškiantis kompleksinį skaičiųz , vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas arbar .

Bet kokiam kompleksiniam skaičiuiz jo modulisr = | z | yra vienareikšmiškai nustatoma pagal formulę .

Apibrėžimas . Kampo tarp teigiamos tikrosios ašies krypties ir vektoriaus dydis , reiškiantis kompleksinį skaičių, vadinamas šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimasA rg z arbaφ .

Sudėtingų skaičių argumentasz = 0 neapibrėžtas. Sudėtingų skaičių argumentasz≠ 0 – daugiareikšmis dydis ir nustatomas per terminą2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z – pagrindinė argumento reikšmė, esanti intervale(-π; π] , tai yra-π < arg z ≤ π (kartais intervalui priklausanti reikšmė laikoma pagrindine argumento reikšme .

Ši formulė, kair =1 dažnai vadinama Moivre formule:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11 pavyzdys: Apskaičiuokite(1 + i ) 100 .

Parašykime kompleksinį skaičių1 + i trigonometrine forma.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + aš nusidedu )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i nuodėmė ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas.

Paimant kompleksinio skaičiaus kvadratinę šaknįa + bi turime du atvejus:

Jeigub >o , Tai ;

2.3. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

Tegul vektorius kompleksinėje plokštumoje nurodomas skaičiumi .

φ pažymėkime kampą tarp teigiamos pusašies Ox ir vektoriaus (kampas φ laikomas teigiamu, jei matuojamas prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamu kitu atveju).

Vektoriaus ilgį pažymėkime r. Tada . Taip pat pažymime

Nenulinio kompleksinio skaičiaus z rašymas formoje

vadinamas kompleksinio skaičiaus z trigonometrine forma. Skaičius r vadinamas kompleksinio skaičiaus z moduliu, o skaičius φ – šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimas Arg z.

Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma - (Eulerio formulė) - eksponentinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma:

Kompleksinis skaičius z turi be galo daug argumentų: jei φ0 yra bet kuris skaičiaus z argumentas, tai visus kitus galima rasti naudojant formulę

Kompleksiniam skaičiui argumentas ir trigonometrinė forma nėra apibrėžti.

Taigi nulinio kompleksinio skaičiaus argumentas yra bet koks lygčių sistemos sprendimas:

(3)

Kompleksinio skaičiaus z argumento reikšmė φ, tenkinanti nelygybes, vadinama pagrindine reikšme ir žymima arg z.

Argumentai Arg z ir arg z yra susiję su

, (4)

Formulė (5) yra sistemos (3) pasekmė, todėl visi kompleksinio skaičiaus argumentai tenkina lygybę (5), bet ne visi (5) lygties sprendiniai φ yra skaičiaus z argumentai.

Pagrindinė nulinio kompleksinio skaičiaus argumento reikšmė randama pagal formules:

Kompleksinių skaičių dauginimo ir dalijimo trigonometrine forma formulės yra šios:

. (7)

Didinant kompleksinį skaičių iki natūralios laipsnio, naudojama Moivre formulė:

Išskiriant kompleksinio skaičiaus šaknį, naudojama formulė:

, (9)

kur k = 0, 1, 2, …, n-1.

54 uždavinys. Apskaičiuokite kur .

Šios išraiškos sprendimą pateiksime eksponentine kompleksinio skaičiaus užrašymo forma: .

Jei tada.

Tada, . Todėl tada Ir , Kur.

Atsakymas: , adresu .

55 uždavinys. Parašykite kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

A) ; b) ; V); G); d) ; e) ; ir) .

Kadangi kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma yra , tada:

a) Kompleksiniame skaičiuje: .

,

Štai kodėl

b) , kur,

G) , kur,

e) .

ir) , A , Tai.

Štai kodėl

Atsakymas: ; 4; ; ; ; ; .

56 uždavinys. Raskite kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą

.

Leisti , .

Tada, , .

Nuo ir , , tada , ir

Todėl, todėl

Atsakymas: , Kur.

57 uždavinys. Naudodami kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą, atlikite šiuos veiksmus: .

Įsivaizduokime skaičius ir trigonometrine forma.

1), kur Tada

Raskite pagrindinio argumento reikšmę:

Pakeiskime reikšmes ir į išraišką, gausime

2) , kur tada

Tada

3) Raskime koeficientą

Darant prielaidą, kad k = 0, 1, 2, gauname tris skirtingas norimos šaknies reikšmes:

Jei tada

jei tada

jei tada .

Atsakymas: :

:

: .

58 uždavinys. Tegul , , , yra skirtingi kompleksiniai skaičiai ir . Įrodyk tai

skaičius yra tikrasis teigiamas skaičius;

b) lygybė galioja:

a) Pavaizduokime šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

Nes .

Apsimeskime taip. Tada

.

Paskutinė išraiška yra teigiamas skaičius, nes sinuso ženkluose yra skaičiai iš intervalo.

nuo numerio tikra ir teigiama. Iš tiesų, jei a ir b yra kompleksiniai skaičiai ir yra tikri ir didesni už nulį, tada .

Be to,

todėl reikalinga lygybė įrodyta.

59 uždavinys. Parašykite skaičių algebrine forma .

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma ir raskime jo algebrinę formą. Mes turime . Dėl gauname sistemą:

Tai reiškia lygybę: .

Taikant Moivre formulę: ,

mes gauname

Surandama nurodyto skaičiaus trigonometrinė forma.

Dabar parašykime šį skaičių algebrine forma:

.

Atsakymas: .

60 uždavinys. Raskite sumą , ,

Apsvarstykime sumą

Taikydami Moivre'o formulę, randame

Ši suma yra geometrinės progresijos su vardikliu n narių suma ir pirmasis narys .

Taikydami tokios progresijos terminų sumos formulę, turime

Išskirdami įsivaizduojamą dalį paskutinėje išraiškoje, randame

Išskirdami realiąją dalį, taip pat gauname tokią formulę: , , .

61 uždavinys. Raskite sumą:

A) ; b) .

Pagal Niutono eksponentiškumo formulę turime

Naudodami Moivre formulę randame:

Sulyginę realią ir įsivaizduojamą gautų išraiškų dalis, turime:

Ir .

Šios formulės gali būti parašytos kompaktiška forma taip:

,

, kur yra sveikoji skaičiaus a dalis.

62 uždavinys. Rasti visus , kuriems .

Nes , tada, naudodami formulę

, Norėdami išgauti šaknis, gauname ,

Vadinasi, , ,

, .

Skaičius atitinkantys taškai yra kvadrato, įbrėžto į 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra taške (0;0), viršūnėse (30 pav.).

Atsakymas: , ,

, .

63 uždavinys. Išspręskite lygtį , .

Pagal sąlygą; todėl ši lygtis neturi šaknies, todėl ji yra lygiavertė lygčiai.

Kad skaičius z būtų šios lygties šaknis, skaičius turi būti n-oji skaičiaus 1 šaknis.

Iš čia darome išvadą, kad pradinė lygtis turi šaknis, nustatytas iš lygybių

,

Taigi,

,

t.y. ,

Atsakymas: .

64 uždavinys. Išspręskite lygtį kompleksinių skaičių aibėje.

Kadangi skaičius nėra šios lygties šaknis, ši lygtis yra lygi lygčiai

Tai yra lygtis.

Visos šios lygties šaknys gaunamos iš formulės (žr. 62 uždavinį):

; ; ; ; .

65 uždavinys. Kompleksinėje plokštumoje nubrėžkite taškų aibę, kuri tenkina nelygybes: . (2-as būdas išspręsti 45 problemą)

Leisti .

Kompleksiniai skaičiai, turintys vienodus modulius, atitinka plokštumos taškus, esančius apskritime, kurio centras yra ištakoje, todėl nelygybė tenkina visus atviro žiedo, apriboto apskritimų, turinčių bendrą centrą ištakoje ir spinduliais, taškus ir (31 pav.). Tegu koks nors kompleksinės plokštumos taškas atitinka skaičių w0. Skaičius , turi kelis kartus mažesnį modulį už modulį w0 ir argumentą, didesnį už argumentą w0. Geometriniu požiūriu tašką, atitinkantį w1, galima gauti naudojant homotetiją, kurios centras yra ištakoje ir koeficientas, taip pat pasukimas pradžios atžvilgiu kampu prieš laikrodžio rodyklę. Pritaikius šias dvi transformacijas žiedo taškams (31 pav.), pastarasis pavirs į žiedą, apribotą apskritimų, kurių centras yra vienodas ir spinduliai 1 ir 2 (32 pav.).

Konversija įgyvendinama naudojant lygiagretų perkėlimą į vektorių. Perkeldami žiedą su centru taške į nurodytą vektorių, gauname tokio pat dydžio žiedą su centru taške (22 pav.).

Siūlomas metodas, kuriame naudojama geometrinių plokštumos transformacijų idėja, tikriausiai yra mažiau patogus aprašyti, tačiau yra labai elegantiškas ir efektyvus.

66 uždavinys. Raskite, jei .

Leiskite , tada ir . Pradinė lygybė įgis tokią formą . Iš dviejų kompleksinių skaičių lygybės sąlygos gauname , , iš kurių , . Taigi,.

Parašykime skaičių z trigonometrine forma:

, Kur,. Pagal Moivre'o formulę randame .

Atsakymas: – 64.

67 uždavinys. Kompleksiniam skaičiui raskite visus tokius kompleksinius skaičius, kad , ir .

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma:

. Iš čia, . Gautas skaičius gali būti lygus arba .

Pirmuoju atveju , antrajame

.

Atsakymas: , .

68 uždavinys. Raskite tokių skaičių sumą, kad . Nurodykite vieną iš šių skaičių.

Atkreipkite dėmesį, kad iš pačios problemos formuluotės galima suprasti, kad lygties šaknų sumą galima rasti neskaičiuojant pačių šaknų. Iš tiesų, lygties šaknų suma yra koeficientas už , paimtas su priešingu ženklu (apibendrinta Vietos teorema), t.y.

Mokiniai, mokyklos dokumentai, daro išvadas apie šios sąvokos įvaldymo laipsnį. Apibendrinti matematinio mąstymo ypatybių tyrimą ir kompleksinio skaičiaus sampratos formavimosi procesą. Metodų aprašymas. Diagnostika: I etapas. Pokalbis vyko su matematikos mokytoja, kuri 10 klasėje dėsto algebrą ir geometriją. Pokalbis įvyko praėjus šiek tiek laiko nuo pradžios...

Rezonansas" (!)), kuris apima ir savo elgesio vertinimą. 4. Kritiškas situacijos supratimo vertinimas (abejonės). 5. Galiausiai teisės psichologijos rekomendacijų panaudojimas (teisininkas atsižvelgia į psichologinę atliktų profesinių veiksmų aspektai – profesinis psichologinis pasirengimas).Dabar panagrinėkime psichologinę juridinių faktų analizę...

Trigonometrinio keitimo matematika ir sukurtos mokymo metodikos efektyvumo tikrinimas. Darbo etapai: 1. Pasirenkamojo kurso tema: „Trigonometrinio keitimo taikymas sprendžiant algebrinius uždavinius“ rengimas su pažangios matematikos klasių mokiniais. 2. Parengto pasirenkamojo kurso vedimas. 3. Diagnostinio tyrimo atlikimas...

Pažintinės užduotys yra skirtos tik esamoms mokymo priemonėms papildyti ir turi būti tinkamai derinamos su visomis tradicinėmis ugdymo proceso priemonėmis ir elementais. Ugdymo uždaviniai mokant humanitarinius mokslus skiriasi nuo tiksliųjų, nuo matematinių uždavinių tik tuo, kad istoriniuose uždaviniuose nėra formulių, griežtų algoritmų ir pan., o tai apsunkina jų sprendimą. ...

KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI XI

§ 256. Sudėtinių skaičių trigonometrinė forma

Tegu kompleksinis skaičius a + bi atitinka vektorių O.A.> su koordinatėmis ( a, b ) (žr. 332 pav.).

Pažymėkime šio vektoriaus ilgį r , ir kampą, kurį jis sudaro su ašimi X , per φ . Pagal sinuso ir kosinuso apibrėžimą:

a / r = cos φ , b / r = nuodėmė φ .

Štai kodėl A = r cos φ , b = r nuodėmė φ . Bet šiuo atveju kompleksinis skaičius a + bi gali būti parašytas taip:

a + bi = r cos φ + ir nuodėmė φ = r (cos φ + i nuodėmė φ ).

Kaip žinote, bet kurio vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai. Štai kodėl r 2 = a 2 + b 2, iš kur r = √a 2 + b 2

Taigi, bet koks kompleksinis skaičius a + bi gali būti pavaizduotas formoje :

a + bi = r (cos φ + i nuodėmė φ ), (1)

kur r = √a 2 + b 2 ir kampas φ nustatoma pagal sąlygą:

Ši sudėtingų skaičių rašymo forma vadinama trigonometrinis.

Skaičius r formulėje (1) vadinamas modulis, ir kampas φ - argumentas, kompleksinis skaičius a + bi .

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo modulis yra teigiamas; jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0 ir tada r = 0.

Bet kurio kompleksinio skaičiaus modulis nustatomas vienareikšmiškai.

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo argumentas nustatomas formulėmis (2) būtinai tikslumas kampu, dalijamu iš 2 π . Jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0. Šiuo atveju r = 0. Iš (1) formulės nesunku tai suprasti kaip argumentą φ šiuo atveju galite pasirinkti bet kokį kampą: juk bet kuriam φ

0 (kai φ + i nuodėmė φ ) = 0.

Todėl nulinis argumentas yra neapibrėžtas.

Kompleksinio skaičiaus modulis r kartais žymimas | z |, o argumentas arg z . Pažvelkime į kelis kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrine forma pavyzdžius.

Pavyzdys. 1. 1 + i .

Raskime modulį r ir argumentas φ šis skaičius.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Todėl nuodėmė φ = 1 / √ 2, kos φ = 1 / √ 2, iš kur φ = π / 4 + 2nπ .

Taigi,

1 + i = √ 2 ,

Kur P - bet koks sveikasis skaičius. Paprastai iš begalinės kompleksinio skaičiaus argumento reikšmių rinkinio pasirenkama viena, kuri yra nuo 0 iki 2 π . Šiuo atveju ši vertė yra π / 4 . Štai kodėl

1 + i = √ 2 (kai π / 4 + i nuodėmė π / 4)

2 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma √ 3 - i . Mes turime:

r = √ 3+1 = 2, kos φ = √ 3/2, nuodėmė φ = - 1 / 2

Todėl iki kampo, dalijamo iš 2 π , φ = 11 / 6 π ; vadinasi,

√ 3 - i = 2 (kainuoja 11/6 π + i nuodėmė 11/6 π ).

3 pavyzdys Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma i.

Sudėtingas skaičius i atitinka vektorių O.A.> , baigiasi ašies taške A adresu su 1 ordinate (333 pav.). Tokio vektoriaus ilgis yra 1, o kampas, kurį jis sudaro su x ašimi, yra lygus π / 2. Štai kodėl

i = cos π / 2 + i nuodėmė π / 2 .

4 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių 3 trigonometrine forma.

Kompleksinis skaičius 3 atitinka vektorių O.A. > X abscisė 3 (334 pav.).

Tokio vektoriaus ilgis yra 3, o kampas, kurį jis daro su x ašimi, yra 0. Todėl

3 = 3 (cos 0 + i nuodėmė 0),

5 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių -5 trigonometrine forma.

Kompleksinis skaičius -5 atitinka vektorių O.A.> baigiasi ašies taške X su abscisėmis -5 (335 pav.). Tokio vektoriaus ilgis yra 5, o kampas, kurį jis sudaro su x ašimi, yra lygus π . Štai kodėl

5 = 5 (kai π + i nuodėmė π ).

Pratimai

2047. Parašykite šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, nurodydami jų modulius ir argumentus:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Plokštumoje nurodykite kompleksinius skaičius vaizduojančių taškų aibę, kurių moduliai r ir argumentai φ tenkina sąlygas:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ar skaičiai vienu metu gali būti kompleksinio skaičiaus modulis? r Ir - r ?

2050. Ar kompleksinio skaičiaus argumentas vienu metu gali būti kampai? φ Ir - φ ?

Pateikite šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, apibrėždami jų modulius ir argumentus:

2051 m.*. 1 + cos α + i nuodėmė α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. nuodėmė φ + i cos φ . 2055*. 3 (- 15°- i sin 15°).