Antrosios eilės eilutės.
Elipsė ir jos kanoninė lygtis. Apskritimas

Po kruopštaus tyrimo tiesios linijos plokštumoje Mes ir toliau studijuojame dvimačio pasaulio geometriją. Stalai padvigubinami ir kviečiu apsilankyti vaizdingoje elipsių, hiperbolių, parabolių galerijoje, kurios yra tipiškos atstovės antros eilės eilutės. Ekskursija jau prasidėjo ir pirmiausia trumpa informacija apie visą parodą skirtinguose muziejaus aukštuose:

Algebrinės tiesės samprata ir jos tvarka

Linija plokštumoje vadinama algebrinė, jei įeina afininė koordinačių sistema jos lygtis turi formą , kur yra daugianomas, susidedantis iš formos terminų ( – realusis skaičius, – neneigiami sveikieji skaičiai).

Kaip matote, algebrinės linijos lygtyje nėra sinusų, kosinusų, logaritmų ir kitų funkcinių beau monde. Yra tik X ir Y neneigiami sveikieji skaičiai laipsnių.

Eilučių tvarka lygi didžiausiai į jį įtrauktų terminų vertei.

Pagal atitinkamą teoremą algebrinės tiesės samprata ir jos tvarka nepriklauso nuo pasirinkimo afininė koordinačių sistema, todėl, kad būtų lengviau egzistuoti, darome prielaidą, kad visi tolesni skaičiavimai atliekami Dekarto koordinatės.

Bendroji lygtis antrosios eilės eilutėje yra forma , kur – savavališki realieji skaičiai (Įprasta jį rašyti su koeficientu du), o koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Jei , tada lygtis supaprastinama iki , o jei koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, tai yra būtent taip bendroji "plokščios" linijos lygtis, kuris atstovauja pirmosios užsakymo eilutė.

Daugelis suprato naujų terminų prasmę, tačiau, norėdami 100% įsisavinti medžiagą, kišame pirštus į lizdą. Norėdami nustatyti eilučių tvarką, turite kartoti visi terminai jo lygtis ir rasti kiekvienai iš jų laipsnių suma gaunamus kintamuosius.

Pavyzdžiui:

terminas turi „x“ iki 1 laipsnio;
terminas turi „Y“ iki 1 laipsnio;
Termine kintamųjų nėra, todėl jų galių suma lygi nuliui.

Dabar išsiaiškinkime, kodėl lygtis apibrėžia liniją antraįsakymas:

terminas turi „x“ iki 2 laipsnio;
suminė turi kintamųjų laipsnių sumą: 1 + 1 = 2;
terminas turi „Y“ iki 2 laipsnio;
visos kitos sąlygos - mažiau laipsnių.

Didžiausia vertė: 2

Jei prie savo lygties papildomai pridėsime, tarkime, tai jau nulems trečios eilės eilutė. Akivaizdu, kad bendrojoje 3 eilės eilutės lygties formoje yra „visas terminų rinkinys“, kurio kintamųjų galių suma yra lygi trims:
, kur koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Jei pridėsite vieną ar daugiau tinkamų terminų, kuriuose yra , tada jau kalbėsime apie 4 eilės eilės ir kt.

Su 3, 4 ir aukštesnės eilės algebrinėmis eilėmis teks susidurti ne kartą, ypač susipažįstant su poliarinė koordinačių sistema.

Tačiau grįžkime prie bendrosios lygties ir prisiminkime paprasčiausius jos mokyklinius variantus. Kaip pavyzdžiai atsiranda parabolė, kurios lygtis gali būti lengvai redukuojama į bendrą formą, ir hiperbolė su lygiaverte lygtimi. Tačiau ne viskas taip sklandžiai...

Reikšmingas bendrosios lygties trūkumas yra tas, kad beveik visada neaišku, kurią liniją ji apibrėžia. Net ir paprasčiausiu atveju jūs ne iš karto suprasite, kad tai yra hiperbolė. Tokie išdėstymai tinkami tik maskaradams, todėl analitinės geometrijos metu nagrinėjama tipinė problema 2-osios eilės eilutės lygtį perkeliant į kanoninę formą.

Kokia yra kanoninė lygties forma?

Tai yra visuotinai priimta standartinė lygties forma, kai per kelias sekundes tampa aišku, kokį geometrinį objektą ji apibrėžia. Be to, kanoninė forma labai patogi sprendžiant daugelį praktinių problemų. Taigi, pavyzdžiui, pagal kanoninę lygtį "plokščias" tiesus, pirma, iš karto aišku, kad tai tiesi linija, antra, jai priklausantis taškas ir krypties vektorius yra lengvai matomi.

Akivaizdu, kad bet kuri 1-oji eilė yra tiesi linija. Antrame aukšte mūsų laukia jau ne budėtojas, o daug įvairesnė devynių statulų kompanija:

Antros eilės eilučių klasifikacija

Naudojant specialų veiksmų rinkinį, bet kuri antros eilės eilutės lygtis sumažinama iki vienos iš šių formų:

(ir yra teigiami realieji skaičiai)

1) – kanoninė elipsės lygtis;

2) – kanoninė hiperbolės lygtis;

3) – kanoninė parabolės lygtis;

4) – įsivaizduojamas elipsė;

5) – susikertančių tiesių pora;

6) – pora įsivaizduojamas susikertančios linijos (su vienu galiojančiu susikirtimo tašku ištakoje);

7) – lygiagrečių tiesių pora;

8) – pora įsivaizduojamas lygiagrečios linijos;

9) – sutampančių linijų pora.

Kai kuriems skaitytojams gali susidaryti įspūdis, kad sąrašas yra neišsamus. Pavyzdžiui, 7 punkte lygtis nurodo porą tiesioginis, lygiagreti ašiai, ir kyla klausimas: kur yra lygtis, kuri nustato tieses, lygiagrečias ordinačių ašiai? Atsakyk nelaikomas kanoniniu. Tiesios linijos žymi tą patį standartinį korpusą, pasuktą 90 laipsnių, o papildomas įrašas klasifikacijoje yra perteklinis, nes jis neatneša nieko iš esmės naujo.

Taigi, yra devyni ir tik devyni skirtingi antrosios eilės eilučių tipai, tačiau praktikoje dažniausiai yra elipsė, hiperbolė ir parabolė.

Pirmiausia pažiūrėkime į elipsę. Kaip įprasta, daugiausia dėmesio skiriu tiems punktams, kurie yra labai svarbūs sprendžiant problemas, o jei reikia išsamaus formulių išvedimo, teoremų įrodymo, kreipkitės, pavyzdžiui, į Bazylevo/Atanasyano ar Aleksandrovo vadovėlį.

Elipsė ir jos kanoninė lygtis

Rašyba... nekartokite kai kurių „Yandex“ vartotojų klaidų, besidominčių „kaip sukurti elipsę“, „skirtumas tarp elipsės ir ovalo“ ir „elipsės ekscentriškumas“.

Kanoninė elipsės lygtis turi formą , kur yra teigiami realieji skaičiai ir . Pačią elipsės apibrėžimą suformuluosiu vėliau, bet kol kas laikas pailsėti nuo pokalbių parduotuvės ir išspręsti dažną problemą:

Kaip sukurti elipsę?

Taip, tiesiog imk ir nupiešk. Užduotis atliekama dažnai, o nemaža dalis studentų netinkamai susidoroja su piešiniu:

1 pavyzdys

Sukurkite elipsę, pateiktą pagal lygtį

Sprendimas: Pirmiausia perkelkime lygtį į kanoninę formą:

Kodėl atnešti? Vienas iš kanoninės lygties privalumų yra tai, kad ji leidžia akimirksniu nustatyti elipsės viršūnės, kurie yra taškuose. Nesunku pastebėti, kad kiekvieno iš šių taškų koordinatės atitinka lygtį.

Tokiu atveju :

Linijos segmentas paskambino pagrindinė ašis elipsė;
linijos segmentas – mažoji ašis;
numerį paskambino pusiau pagrindinis velenas elipsė;
numerį – mažoji ašis.
mūsų pavyzdyje: .

Norėdami greitai įsivaizduoti, kaip atrodo tam tikra elipsė, tiesiog pažiūrėkite į jos kanoninės lygties „a“ ir „be“ reikšmes.

Viskas puiku, sklandu ir gražu, bet yra vienas įspėjimas: piešinį padariau naudodamas programą. Ir jūs galite padaryti piešinį naudodami bet kurią programą. Tačiau atšiaurioje realybėje ant stalo stovi languotas popierius, o ant mūsų rankų ratu šoka pelės. Meninio talento žmonės, žinoma, gali ginčytis, bet jūs turite ir pelių (nors ir mažesnių). Ne veltui žmonija išrado liniuotę, kompasą, matuoklį ir kitus paprastus piešimo prietaisus.

Dėl šios priežasties vargu ar galėsime tiksliai nubrėžti elipsę, žinodami tik viršūnes. Viskas gerai, jei elipsė yra maža, pavyzdžiui, su pusiau ašimis. Arba galite sumažinti mastelį ir atitinkamai brėžinio matmenis. Tačiau apskritai labai pageidautina rasti papildomų taškų.

Yra du elipsės konstravimo būdai – geometrinis ir algebrinis. Nemėgstu konstravimo naudojant kompasą ir liniuotę, nes algoritmas nėra pats trumpiausias, o piešinys gerokai netvarkingas. Neatidėliotinais atvejais pasidomėkite vadovėliu, tačiau iš tikrųjų daug racionaliau naudoti algebros priemones. Iš elipsės lygties juodraštyje greitai išreiškiame:

Tada lygtis suskaidoma į dvi funkcijas:
– apibrėžia viršutinį elipsės lanką;
– apibrėžia apatinį elipsės lanką.

Kanonine lygtimi apibrėžta elipsė yra simetriška koordinačių ašių, taip pat ir pradžios atžvilgiu. Ir tai puiku – simetrija beveik visada yra nemokamų dovanų pranašas. Akivaizdu, kad užtenka susitvarkyti su 1 koordinačių ketvirčiu, todėl mums reikia funkcijos . Reikia ieškoti papildomų taškų su abscisėmis . Skaičiuoklėje bakstelėkite tris SMS žinutes:

Žinoma, malonu ir tai, kad jei skaičiavimuose bus padaryta rimta klaida, tai iškart paaiškės statybų metu.

Pažymime taškus brėžinyje (raudona), simetriškus taškus likusiuose lankuose (mėlyna) ir atsargiai sujunkite visą įmonę linija:

Pradinį eskizą geriau nupiešti labai plonai, o tik tada spausti pieštuku. Rezultatas turėtų būti gana gera elipsė. Beje, ar norėtumėte sužinoti, kas yra ši kreivė?

Elipsės apibrėžimas. Elipsės židiniai ir elipsės ekscentriškumas

Elipsė yra ypatingas ovalo atvejis. Žodis „ovalas“ neturėtų būti suprantamas filistine prasme („vaikas nupiešė ovalą“ ir pan.). Tai matematinis terminas, kurio formuluotė yra išsami. Šios pamokos tikslas nėra nagrinėti ovalų teoriją ir įvairius jų tipus, kuriems įprastame analitinės geometrijos kurse praktiškai nekreipiama dėmesio. Ir, atsižvelgdami į aktualesnius poreikius, iškart pereiname prie griežto elipsės apibrėžimo:

Elipsė yra visų plokštumos taškų aibė, atstumų iki kiekvieno iš dviejų nurodytų taškų suma, vadinama gudrybės elipsė, yra pastovus dydis, skaitiniu požiūriu lygus šios elipsės pagrindinės ašies ilgiui: .
Šiuo atveju atstumai tarp židinių yra mažesni už šią reikšmę: .

Dabar viskas taps aiškiau:

Įsivaizduokite, kad mėlynas taškas „keliauja“ elipsėje. Taigi, nesvarbu, kurį elipsės tašką paimtume, atkarpų ilgių suma visada bus tokia pati:

Įsitikinkite, kad mūsų pavyzdyje sumos reikšmė tikrai lygi aštuoniems. Mintyse padėkite tašką „um“ dešinėje elipsės viršūnėje, tada: , ką reikėjo patikrinti.

Kitas jo piešimo būdas yra pagrįstas elipsės apibrėžimu. Aukštoji matematika kartais sukelia įtampos ir streso, todėl laikas surengti dar vieną iškrovos seansą. Paimkite vatmano popierių arba didelį kartono lapą ir dviem vinimis prisekite prie stalo. Tai bus gudrybės. Prie išsikišusių vinių galvučių pririškite žalią siūlą ir iki galo patraukite pieštuku. Pieštuko laidas atsidurs tam tikrame elipsei priklausančiame taške. Dabar pradėkite judinti pieštuką išilgai popieriaus lapo, laikydami įtemptą žalią siūlą. Tęskite procesą, kol grįšite į pradinį tašką... puiku... piešinį gali patikrinti gydytojas ir mokytojas =)

Kaip rasti elipsės židinį?

Aukščiau pateiktame pavyzdyje pavaizdavau „paruoštus“ židinio taškus, o dabar sužinosime, kaip juos išgauti iš geometrijos gelmių.

Jei elipsė pateikiama kanonine lygtimi, tai jos židiniai turi koordinates , kur tai yra atstumas nuo kiekvieno židinio iki elipsės simetrijos centro.

Skaičiavimai yra paprastesni nei paprasti:

! Konkrečios židinių koordinatės negali būti identifikuojamos su „tse“ reikšme! Kartoju, kad tai yra ATSTUMAS nuo kiekvieno židinio iki centro(kuris paprastai nebūtinai turi būti tiksliai ištakoje).
Todėl atstumas tarp židinių taip pat negali būti susietas su kanonine elipsės padėtimi. Kitaip tariant, elipsę galima perkelti į kitą vietą ir reikšmė išliks nepakitusi, o židiniai natūraliai keis savo koordinates. Atsižvelkite į tai toliau tyrinėdami temą.

Elipsės ekscentriškumas ir jo geometrinė reikšmė

Elipsės ekscentriškumas yra santykis, kurio reikšmės gali būti diapazone.

Mūsų atveju:

Išsiaiškinkime, kaip elipsės forma priklauso nuo jos ekscentriškumo. Už tai pataisykite kairę ir dešinę viršūnes nagrinėjamos elipsės, tai yra, pusiau didžiosios ašies reikšmė išliks pastovi. Tada ekscentriškumo formulė bus tokia: .

Pradėkime priartinti ekscentriškumo vertę prie vienybės. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei. Ką tai reiškia? ...atsimink gudrybes . Tai reiškia, kad elipsės židiniai „pasislinks“ išilgai abscisių ašies į šonines viršūnes. Ir kadangi „žalieji segmentai nėra guminiai“, elipsė neišvengiamai pradės plokštėti ir virsti vis plonesne dešra, suverta ant ašies.

Taigi, kuo elipsės ekscentriškumo reikšmė arčiau vienybės, tuo elipsė pailgėja.

Dabar modeliuokime priešingą procesą: elipsės židinius ėjo vienas kito link, artėjo prie centro. Tai reiškia, kad „ce“ reikšmė tampa vis mažesnė ir, atitinkamai, ekscentriškumas linkęs į nulį: .
Tokiu atveju „žalieji segmentai“, priešingai, „perpildys“ ir pradės „stumti“ elipsės liniją aukštyn ir žemyn.

Taigi, Kuo ekscentriciteto reikšmė arčiau nulio, tuo elipsė panašesnė į... pažvelkite į ribinį atvejį, kai židiniai sėkmingai susijungia iš pradžių:

Apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis

Iš tiesų, pusiau ašių lygybės atveju kanoninė elipsės lygtis įgauna formą , kuri refleksiškai transformuojasi į apskritimo lygtį su centru spindulio „a“ pradžioje, gerai žinomą iš mokyklos.

Praktikoje dažniau vartojamas užrašas su „kalbančia“ raide „er“: . Spindulys yra atkarpos ilgis, kai kiekvienas apskritimo taškas yra nutolęs nuo centro spindulio atstumu.

Atkreipkite dėmesį, kad elipsės apibrėžimas išlieka visiškai teisingas: židiniai sutampa, o kiekvieno apskritimo taško sutampančių atkarpų ilgių suma yra konstanta. Kadangi atstumas tarp židinių yra , Tada bet kurio apskritimo ekscentriškumas lygus nuliui.

Apskritimą sukurti paprasta ir greita, tereikia naudoti kompasą. Tačiau kartais reikia išsiaiškinti kai kurių jo taškų koordinates, šiuo atveju einame įprastu keliu - lygtį perkeliame į linksmą Matanovo formą:

– viršutinio puslankio funkcija;
– apatinio puslankio funkcija.

Tada randame reikiamas reikšmes, atskirti, integruoti ir daryti kitus gerus dalykus.

Straipsnis, žinoma, skirtas tik nuorodai, bet kaip tu gali gyventi pasaulyje be meilės? Kūrybinė užduotis savarankiškam sprendimui

2 pavyzdys

Sudarykite elipsės kanoninę lygtį, jei žinomas vienas iš jos židinių ir pusiau mažoji ašis (centras yra pradžioje). Raskite viršūnes, papildomus taškus ir nubrėžkite brėžinyje liniją. Apskaičiuokite ekscentriškumą.

Sprendimas ir piešinys pamokos pabaigoje

Pridėkime veiksmą:

Pasukti ir lygiagrečiai išversti elipsę

Grįžkime prie kanoninės elipsės lygties, būtent prie būsenos, kurios paslaptis kankino smalsius protus nuo pat pirmosios šios kreivės paminėjimo. Taigi pažiūrėjome į elipsę , bet ar praktiškai neįmanoma įvykdyti lygties ? Vis dėlto, atrodo, čia irgi elipsė!

Tokia lygtis yra reta, bet pasitaiko. Ir tai iš tikrųjų apibrėžia elipsę. Demistifikuokime:

Dėl konstrukcijos buvo gauta mūsų gimtoji elipsė, pasukta 90 laipsnių. Tai yra, - Tai nekanoninis įrašas elipsė . Įrašas!- lygtis neapibrėžia jokios kitos elipsės, nes ašyje nėra taškų (židinių), kurie atitiktų elipsės apibrėžimą.

ovalus yra uždaros dėžės kreivė, turinti dvi simetrijos ašis ir susidedanti iš dviejų vienodo skersmens atraminių apskritimų, viduje susijungusių lankais (13.45 pav.). Ovalą apibūdina trys parametrai: ilgis, plotis ir ovalo spindulys. Kartais nurodomas tik ovalo ilgis ir plotis, neapibrėžiant jo spindulių, tada ovalo konstravimo problema turi didelę sprendimų įvairovę (žr. 13.45 pav., a...d).

Taip pat taikomi ovalų konstravimo metodai pagal du vienodus atskaitos apskritimus, kurie liečiasi (13.46 pav., a), susikerta (13.46 pav., b) arba nesikerta (13.46 pav., c). Šiuo atveju iš tikrųjų nurodomi du parametrai: ovalo ilgis ir vienas iš jo spindulių. Ši problema turi daug sprendimų. Tai akivaizdu R > OA neturi viršutinės ribos. Ypač R = O 1 O 2(žr. 13.46.a pav., ir 13.46.c pav.), o centrai O 3 Ir O 4 nustatomi kaip pagrindo apskritimų susikirtimo taškai (žr. 13.46 pav., b). Pagal bendrąją taškų teoriją, draugai nustatomi tiesėje, jungiančioje svyruojančių apskritimų lankų centrus.

Ovalo su liečiančiais atraminiais apskritimais konstravimas(problema turi daug sprendimų) ( ryžių. 3.44). Iš atskaitos apskritimų centrų APIE Ir 0 1 kurių spindulys lygus, pavyzdžiui, atstumui tarp jų centrų, nubrėžkite apskritimų lankus, kol jie susikerta taškuose APIE 2 ir O 3.

3.44 pav

Jei iš taškų APIE 2 ir O 3 nubrėžkite tiesias linijas per centrus APIE Ir O 1, tada sankirtoje su atraminiais apskritimais gauname sujungimo taškus SU, C 1, D Ir D 1. Iš taškų APIE 2 ir O 3 kaip iš spindulio centrų R 2 nubrėžti konjugacijos lankus.

Ovalo su susikertančiais atskaitos apskritimais konstravimas(problema taip pat turi daug sprendimų) (3.45 pav.). Iš atskaitos apskritimų susikirtimo taškų C 2 Ir O 3 nubrėžkite tiesias linijas, pavyzdžiui, per centrus APIE Ir O 1 kol susikirs su atskaitos apskritimais sandūros taškuose C, C 1 D Ir D 1, ir spinduliai R2, lygus atskaitos apskritimo skersmeniui – konjugacijos lankas.

3.45 pav. 3.46 pav

Ovalo konstravimas išilgai dviejų nurodytų ašių AB ir CD(3.46 pav.). Žemiau pateikiamas vienas iš daugelio galimų sprendimų. Atkarpa nubraižyta ant vertikalios ašies OE, lygi pusei pagrindinės ašies AB. Iš taško SU kaip nubrėžti lanką spinduliu nuo centro SE iki sankirtos su linijos atkarpa AC taške E 1. Segmento vidurio link AE 1 atstatyti statmeną ir pažymėti jo susikirtimo taškus su ovalo ašimis O 1 Ir 0 2 . Sukurkite taškus O 3 Ir 0 4 , simetriškas taškams O 1 Ir 0 2 ašių atžvilgiu CD Ir AB. Taškai O 1 Ir 0 3 bus spindulio atskaitos apskritimų centrai R1, lygus segmentui apie 1 A, ir taškai O2 Ir 0 4 - spindulio konjugacijos lankų centrai R2, lygus segmentui O 2 C. Tiesios linijos, jungiančios centrus O 1 Ir 0 3 Su O2 Ir 0 4 Sankryžoje su ovalu bus nustatyti jungiamieji taškai.

Programoje AutoCAD ovalas sudaromas naudojant du to paties spindulio atskaitos apskritimus, kurie:

1. turėti kontaktinį tašką;

2. susikerta;

3. nesikerta.

Panagrinėkime pirmąjį atvejį. Sukonstruota atkarpa OO 1 =2R lygiagreti X ašiai, jos galuose (taškuose O ir O 1) yra dviejų atraminių apskritimų, kurių spindulys R, centrai ir dviejų pagalbinių apskritimų, kurių spindulys R 1 =2R, centrai. Iš pagalbinių apskritimų O 2 ir O 3 susikirtimo taškų atitinkamai statomi lankai CD ir C 1 D 1. Pagalbiniai apskritimai pašalinami, tada vidinės atraminių apskritimų dalys nupjaunamos lankų CD ir C 1 D 1 atžvilgiu. ъъ paveiksle gautas ovalas paryškintas stora linija.

Paveikslas Ovalo su besiliečiančiais to paties spindulio atraminiais apskritimais konstravimas

Astronomijoje, svarstant kosminių kūnų judėjimą orbitose, dažnai vartojama „elipsės“ sąvoka, nes jų trajektorijai būdinga būtent tokia kreivė. Straipsnyje apsvarstysime klausimą, ką reiškia pažymėta figūra, taip pat pateiksime elipsės ilgio formulę.

Kas yra elipsė?

Pagal matematinį apibrėžimą elipsė yra uždara kreivė, kurios atstumų suma nuo bet kurio jos taško iki dviejų kitų konkrečių taškų, esančių pagrindinėje ašyje, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė. Žemiau pateiktas paveikslėlis, paaiškinantis šį apibrėžimą.

Paveiksle atstumų PF" ir PF suma lygi 2 * a, tai yra PF" + PF = 2 * a, kur F" ir F yra elipsės židiniai, "a" yra ilgis jos pusiau pagrindinės ašies. Atkarpa BB" vadinama pusiau mažąja ašimi, o atstumas CB = CB" = b – pusiau mažosios ašies ilgis. Čia taškas C nustato figūros centrą.

Aukščiau esančiame paveikslėlyje taip pat parodytas paprastas virvės ir dviejų vinių metodas, plačiai naudojamas elipsinėms kreivėms piešti. Kitas būdas gauti šią figūrą yra atlikti jį bet kokiu kampu savo ašies atžvilgiu, kuris nėra lygus 90 o.

Jei elipsė pasukama išilgai vienos iš dviejų ašių, ji suformuoja trimatę figūrą, vadinamą sferoidu.

Elipsės apskritimo formulė

Nors nagrinėjama figūra gana paprasta, jos apskritimo ilgį galima tiksliai nustatyti apskaičiavus vadinamuosius antrojo tipo elipsinius integralus. Tačiau savamokslis indų matematikas Ramanujanas XX amžiaus pradžioje pasiūlė gana paprastą elipsės ilgio formulę, kuri priartėja prie pažymėtų integralų rezultato iš apačios. Tai reiškia, kad pagal ją apskaičiuota atitinkamos vertės vertė bus šiek tiek mažesnė už tikrąjį ilgį. Ši formulė atrodo taip: P ≈ pi *, kur pi = 3,14 yra skaičius pi.

Pavyzdžiui, tegul dviejų elipsės pusašių ilgiai lygūs a = 10 cm ir b = 8 cm, tada jos ilgis P = 56,7 cm.

Kiekvienas gali patikrinti, ar jei a = b = R, tai yra, laikomas paprastas apskritimas, tada Ramanujano formulė redukuojasi į formą P = 2 * pi * R.

Atkreipkite dėmesį, kad mokykliniuose vadovėliuose dažnai pateikiama kita formulė: P = pi * (a + b). Tai paprastesnė, bet ir mažiau tiksli. Taigi, jei taikysime jį nagrinėjamu atveju, gausime reikšmę P = 56,5 cm.

Kas yra elipsė?

Galbūt jus domina:

Aukščiau esančiame paveikslėlyje taip pat parodytas paprastas virvės ir dviejų vinių metodas, plačiai naudojamas elipsinėms kreivėms piešti. Kitas būdas gauti šią figūrą – nupjauti kūgį bet kokiu kampu jo ašies atžvilgiu, kuris nėra lygus 90o.

Jei elipsė pasukama išilgai vienos iš dviejų ašių, ji suformuoja trimatę figūrą, vadinamą sferoidu.

Elipsės apskritimo formulė

Pavyzdžiui, tegul dviejų elipsės pusašių ilgiai lygūs a = 10 cm ir b = 8 cm, tada jos ilgis P = 56,7 cm.

Kiekvienas gali patikrinti, ar jei a = b = R, tai yra, laikomas paprastas apskritimas, tada Ramanujano formulė redukuojasi į formą P = 2 * pi * R.

Apimtis yra uždara plokštumos kreivė, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško (apskritimo centro). Atstumas nuo bet kurio apskritimo taško \(P\left((x,y)\right)\) iki jo centro vadinamas spindulys. Apskritimo centras ir pats apskritimas yra toje pačioje plokštumoje. Spindulio apskritimo lygtis \(R\), kurio centras yra ištakoje ( kanoninė apskritimo lygtis ) turi formą
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Apskritimo lygtis spindulys \(R\) su centru savavališkame taške \(A\left((a,b)\right)\) parašyta kaip
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).

Apskritimo, einančio per tris taškus, lygtis , parašyta tokia forma: \(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^) 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(masyvas)) \right| = 0.\\\)
Čia \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) yra trys taškai, esantys apskritime.

Apskritimo lygtis parametrine forma
\(\left\( \begin (lygiuotas) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(sulygiuotas) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
kur \(x\), \(y\) yra apskritimo taškų koordinatės, \(R\) yra apskritimo spindulys, \(t\) yra parametras.

Bendroji apskritimo lygtis
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
atsižvelgiant į \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Apskritimo centras yra taške, kurio koordinatės \(\left((a,b) \right)\), kur
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Apskritimo spindulys yra
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))(2\left| A \right|))\normalus dydis) \)

Elipsė yra kiekvieno taško plokštumos kreivė, kurios atstumų iki dviejų nurodytų taškų suma ( elipsės židiniai ) yra pastovus. Atstumas tarp židinių vadinamas židinio nuotolis ir žymimas \(2c\). Židinius jungiančios atkarpos vidurys vadinamas elipsės centras . Elipsė turi dvi simetrijos ašis: pirmąją arba židinio ašį, einančią per židinį, ir antrąją ašį, statmeną jai. Šių ašių susikirtimo su elipsėmis taškai vadinami viršūnės. Atkarpa, jungianti elipsės centrą su viršūne, vadinama elipsės pusiau ašis . Pusiau didžioji ašis žymima \(a\), pusiau mažoji ašis \(b\). Elipsė, kurios centras yra pradžioje ir kurios pusiau ašys yra koordinačių tiesėse, apibūdinama taip kanoninė lygtis :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalus dydis = 1.\)

Atstumų nuo bet kurio elipsės taško iki jos židinio suma pastovus:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
kur \((r_1)\), \((r_2)\) yra atstumai nuo savavališko taško \(P\left((x,y) \right)\) iki židinio \((F_1)\) ir \(( F_2)\), \(a\) yra pusiau didžioji elipsės ašis.

Elipsės pusiau ašių ir židinio nuotolio santykis
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
kur \(a\) yra pusiau didžioji elipsės ašis, \(b\) yra pusiau mažoji ašis, \(c\) yra pusė židinio nuotolio.

Elipsės ekscentriškumas
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Elipsių krypčių lygtys
Elipsės kryptis yra tiesi linija, statmena jos židinio ašiai ir kertanti ją \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) atstumu nuo centro. Elipsė turi dvi kryptis, esančias priešingose centro pusėse. Direktorių lygtys parašytos forma
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalus dydis.\)

Elipsės lygtis parametrine forma
\(\left\( \begin (lygiuotas) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(sulygiuotas) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
kur \(a\), \(b\) yra elipsės pusiau ašys, \(t\) yra parametras.

Bendroji elipsės lygtis
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
kur \((B^2) - 4AC

Bendroji elipsės, kurios pusiau ašys lygiagrečios koordinačių ašims, lygtis
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
kur \(AC > 0\).

Elipsės perimetras
\(L = 4aE\kairė(e \dešinė)\),
kur \(a\) yra pusiau didžioji elipsės ašis, \(e\) yra ekscentriškumas, \(E\) yra pilnas antrojo tipo elipsinis integralas.

Apytikslės elipsės perimetro formulės
\(L \apytiksliai \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \approx \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
kur \(a\), \(b\) yra elipsės pusiau ašys.

Elipsės plotas
\(S = \pi ab\)

Antrosios eilės eilutės. Elipsė ir jos kanoninė lygtis. Apskritimas

Algebrinės tiesės samprata ir jos tvarka

Kokia yra kanoninė lygties forma?

Antros eilės eilučių klasifikacija

Elipsė ir jos kanoninė lygtis

Kaip sukurti elipsę?

Elipsės apibrėžimas. Elipsės židiniai ir elipsės ekscentriškumas

Kaip rasti elipsės židinį?

Elipsės ekscentriškumas ir jo geometrinė reikšmė

Apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis

Pasukti ir lygiagrečiai išversti elipsę

Kas yra elipsė?

Elipsės apskritimo formulė

Kas yra elipsė?

Elipsės apskritimo formulė

Taip pat skaitykite

Antrosios eilės eilutės.
Elipsė ir jos kanoninė lygtis. Apskritimas