Pojam diplome iz matematike uvodi se već u 7. razredu na satu algebre. I u budućnosti, tijekom studija matematike, ovaj koncept se aktivno koristi u svojim različitim oblicima. Stupnjevi su prilično teška tema koja zahtijeva pamćenje vrijednosti i sposobnost ispravnog i brzog brojanja. Za brži i bolji rad s diplomama iz matematike osmislili su svojstva diplome. Oni pomažu smanjiti velike izračune, pretvoriti ogroman primjer u jedan broj do neke mjere. Nema toliko svojstava, a sva ih je lako zapamtiti i primijeniti u praksi. Stoga se u članku raspravlja o glavnim svojstvima diplome, kao io tome gdje se primjenjuju.

svojstva stupnja

Razmotrit ćemo 12 svojstava stupnja, uključujući svojstva potencija s istom bazom, i dati primjer za svako svojstvo. Svako od ovih svojstava pomoći će vam da brže riješite probleme sa stupnjevima, kao i spasiti vas od brojnih računskih pogrešaka.

1. svojstvo.

Mnogi ljudi vrlo često zaboravljaju na ovo svojstvo, griješe, predstavljajući broj na nulti stupanj kao nulu.

2. svojstvo.

3. svojstvo.

Morate imati na umu da se ovo svojstvo može koristiti samo pri množenju brojeva, ne radi sa zbrojem! I ne smijemo zaboraviti da se ova i sljedeća svojstva odnose samo na potencije s istom bazom.

4. svojstvo.

Ako se broj u nazivniku podigne na negativnu potenciju, tada se pri oduzimanju stupanj nazivnika uzima u zagradama kako bi ispravno zamijenio znak u daljnjim izračunima.

Svojstvo radi samo kod dijeljenja, ne i kod oduzimanja!

5. svojstvo.

6. svojstvo.

Ovo se svojstvo može primijeniti i obrnuto. Jedinica podijeljena s brojem do nekog stupnja je taj broj na negativnu potenciju.

7. svojstvo.

Ovo se svojstvo ne može primijeniti na zbroj i razliku! Pri podizanju zbroja ili razlike na potenciju koriste se skraćene formule množenja, a ne svojstva potencije.

8. svojstvo.

9. svojstvo.

Ovo svojstvo funkcionira za bilo koji razlomački stupanj s brojnikom jednakim jedan, formula će biti ista, samo će se stupanj korijena mijenjati ovisno o nazivniku stupnja.

Također, ovo se svojstvo često koristi obrnutim redoslijedom. Korijen bilo koje potencije broja može se predstaviti kao taj broj na potenciju jedan podijeljen potencijom korijena. Ovo svojstvo je vrlo korisno u slučajevima kada korijen broja nije ekstrahiran.

10. svojstvo.

Ovo svojstvo ne funkcionira samo s kvadratnim korijenom i drugim stupnjem. Ako su stupanj korijena i stupanj do kojeg je ovaj korijen podignut isti, tada će odgovor biti radikalan izraz.

11. vlasništvo.

Ovo svojstvo morate moći vidjeti na vrijeme prilikom rješavanja kako biste se spasili od velikih kalkulacija.

12. svojstvo.

Svako od ovih svojstava susrest ćete se više puta u zadacima, može biti zadano u čistom obliku ili može zahtijevati neke transformacije i korištenje drugih formula. Dakle, za točno rješenje nije dovoljno poznavati samo svojstva, potrebno je vježbati i povezivati ​​ostala matematička znanja.

Primjena stupnjeva i njihova svojstva

Aktivno se koriste u algebri i geometriji. Diplome iz matematike imaju zasebno, važno mjesto. Uz njihovu pomoć rješavaju se eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, a potencije često kompliciraju jednadžbe i primjere koji se odnose na druge dijelove matematike. Eksponenti pomažu u izbjegavanju velikih i dugih izračuna, lakše je smanjiti i izračunati eksponente. No, da biste radili s velikim ovlastima ili s ovlastima velikih brojeva, morate znati ne samo svojstva stupnja, već i kompetentno raditi s bazama, biti u stanju razložiti ih kako biste si olakšali zadatak. Radi praktičnosti, također biste trebali znati značenje brojeva podignutih na potenciju. Ovo će smanjiti vaše vrijeme rješavanja eliminirajući potrebu za dugim izračunima.

Pojam stupnja ima posebnu ulogu u logaritmima. Budući da je logaritam, u biti, potencija broja.

Formule skraćenog množenja još su jedan primjer upotrebe potencija. Ne mogu koristiti svojstva stupnjeva, oni se rastavljaju prema posebnim pravilima, ali u svakoj skraćenoj formuli množenja uvijek postoje stupnjevi.

Diplome se također aktivno koriste u fizici i informatici. Svi prijevodi u SI sustav vrše se pomoću stupnjeva, au budućnosti se pri rješavanju problema primjenjuju svojstva stupnja. U informatici se aktivno koriste ovlasti dva, radi praktičnosti brojanja i pojednostavljivanja percepcije brojeva. Daljnji izračuni za pretvorbe mjernih jedinica ili izračuni problema, baš kao iu fizici, odvijaju se korištenjem svojstava stupnja.

Stupnjevi su također vrlo korisni u astronomiji, gdje rijetko možete pronaći korištenje svojstava stupnja, ali se sami stupnjevi aktivno koriste za skraćivanje snimanja raznih količina i udaljenosti.

Stupnjevi se također koriste u svakodnevnom životu, kada se računaju površine, volumeni, udaljenosti.

Uz pomoć stupnjeva, vrlo velike i vrlo male vrijednosti zapisane su u bilo kojem području znanosti.

eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe

Svojstva stupnjeva zauzimaju posebno mjesto upravo u eksponencijalnim jednadžbama i nejednadžbama. Ovi zadaci su vrlo česti, kako u školskom kolegiju tako i na ispitima. Sve se one rješavaju primjenom svojstava stupnja. Nepoznanica je uvijek u samom stupnju, stoga, znajući sva svojstva, neće biti teško riješiti takvu jednadžbu ili nejednadžbu.

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Kad bi se zamijenili, moglo bi vrijediti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (to jest, uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmotrite malo snage s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili isto kao što je bilo -. S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množili sa samom sobom, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stupanj, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne samo da možemo dijeliti s nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni stupanj, učinimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativnu potenciju obrnut je od istog broja na pozitivnu potenciju. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je obrnut od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da shvatim što jest "frakcijski stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Sada zapamtite pravilo "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito, ovaj poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvući iz svih brojeva.

nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući korijene parnog stupnja iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izražavanjem?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati kao drugi, reducirani razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

1. Ne zaboravite na uobičajena svojstva stupnjeva:

2. . Ovdje se sjećamo da smo zaboravili naučiti tablicu stupnjeva:

uostalom - ovo ili. Rješenje se pronalazi automatski: .

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , naime broj;

...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — baza diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnja

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

A-prior:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni pod kojim uvjetima to ne bih smio napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do ove točke razgovarali smo samo o onome što bi trebalo biti indeks stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će predznaci (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! To se ne može nadomjestiti promjenom samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam diplome i pojednostavnimo:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz podatke o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stupanj je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprava broja”, naime broja; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimala, ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su pokazatelj negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod je li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa svojstvima snage.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Ako trebate podići određeni broj na potenciju, možete koristiti . Sada ćemo pobliže pogledati svojstva ovlasti.

Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućuju nam pretvaranje množenja u zbrajanje, a zbrajanje je puno lakše od množenja.

Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. Dakle, 16 puta 64=4x4x4x4x4 što je također 1024.

Broj 16 se može prikazati i kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet ćemo dobiti 1024.

Sada upotrijebimo pravilo. 16=4 2 , ili 2 4 , 64=4 3 , ili 2 6 , dok je 1024=6 4 =4 5 , ili 2 10 .

Stoga se naš problem može napisati i na drugi način: 4 2 x4 3 =4 5 ili 2 4 x2 6 =2 10, i svaki put dobijemo 1024.

Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva s potencijama svodi na zbrajanje eksponenata, ili eksponent, naravno, pod uvjetom da su baze faktora jednake.

Dakle, možemo, bez množenja, odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Ovo pravilo vrijedi i za dijeljenje brojeva s potencijama, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja oduzima se od eksponenta dividende. Dakle, 2 5:2 3 =2 2 , što je u običnim brojevima jednako 32:8=4, odnosno 2 2 . Ukratko:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.

Na prvi pogled moglo bi se činiti da množenje i dijeljenje brojeva s potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Brojeve 8 i 16 nije teško prikazati u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti s brojevima 7 i 17? Ili što učiniti u onim slučajevima kada se broj može prikazati u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva vrlo različite. Na primjer, 8×9 je 2 3 x 3 2 , u kojem slučaju ne možemo zbrojiti eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nisu odgovor, niti je odgovor između njih dvoje.

Isplati li se onda uopće mučiti ovom metodom? Definitivno vrijedi. Pruža velike prednosti, posebno za složene i dugotrajne izračune.

Sadržaj lekcije

Što je diploma?

Stupanj naziva umnožak više identičnih faktora. Na primjer:

2×2×2

Vrijednost ovog izraza je 8

2 x 2 x 2 = 8

Lijeva strana ove jednadžbe može se skratiti - prvo zapišite faktor ponavljanja i preko njega označite koliko se puta ponavlja. Ponavljajući množitelj u ovom slučaju je 2. Ponavlja se tri puta. Stoga preko dvojke pišemo trojku:

2 3 = 8

Ovaj izraz glasi ovako: dva na treću potenciju jednako je osam ili " treća potencija broja 2 je 8.

Češće se koristi skraćeni oblik pisanja množenja istih faktora. Stoga moramo zapamtiti da ako je neki drugi broj upisan preko nekog broja, onda je to množenje nekoliko identičnih faktora.

Na primjer, ako je dan izraz 5 3, tada treba imati na umu da je ovaj izraz ekvivalentan pisanju 5 × 5 × 5.

Poziva se broj koji se ponavlja baza stupnja. U izrazu 5 3 baza stupnja je broj 5 .

A zove se broj koji je upisan iznad broja 5 eksponent. U izrazu 5 3 eksponent je broj 3. Eksponent pokazuje koliko se puta ponavlja baza stupnja. U našem slučaju, baza 5 se ponavlja tri puta.

Operacija množenja istih faktora naziva se potenciranje.

Na primjer, ako trebate pronaći umnožak četiri identična faktora, od kojih je svaki jednak 2, onda kažu da je broj 2 podignuta na četvrtu potenciju:

Vidimo da je broj 2 na četvrtu potenciju broj 16.

Imajte na umu da u ovoj lekciji gledamo stupnjeva s prirodnim pokazateljem. Ovo je vrsta stupnja, čiji je eksponent prirodni broj. Podsjetimo se da su prirodni brojevi cijeli brojevi veći od nule. Na primjer, 1, 2, 3 i tako dalje.

Općenito, definicija diplome s prirodnim pokazateljem je sljedeća:

Stupanj od a s prirodnim pokazateljem n je izraz forme a n, što je jednako umnošku n množitelja, od kojih je svaki jednak a

Primjeri:

Budite oprezni kada dižete broj na potenciju. Često, zbog nepažnje, osoba množi bazu stupnja s eksponentom.

Na primjer, broj 5 na drugu potenciju umnožak je dva faktora od kojih je svaki jednak 5. Taj je umnožak jednak 25

Sada zamislite da smo nenamjerno pomnožili bazu 5 s eksponentom 2

Došlo je do pogreške jer broj 5 na drugu potenciju nije jednak 10.

Dodatno, treba spomenuti da je potencija broja s eksponentom 1 sam broj:

Na primjer, broj 5 na prvu potenciju je sam broj 5.

Prema tome, ako broj nema indikator, tada moramo pretpostaviti da je indikator jednak jedan.

Na primjer, brojevi 1, 2, 3 dani su bez eksponenata, pa će njihovi eksponenti biti jednaki jedinici. Svaki od ovih brojeva može se napisati s eksponentom 1

A ako podignete 0 na bilo koju potenciju, dobit ćete 0. Doista, koliko god puta ništa nije pomnoženo samo od sebe, ništa neće ispasti. Primjeri:

A izraz 0 0 nema smisla. Ali u nekim granama matematike, posebno u analizi i teoriji skupova, izraz 0 0 može imati smisla.

Za trening ćemo riješiti nekoliko primjera dizanja brojeva na potenciju.

Primjer 1 Dignite broj 3 na drugu potenciju.

Broj 3 na drugu potenciju umnožak je dva faktora od kojih je svaki jednak 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Primjer 2 Dignite broj 2 na četvrtu potenciju.

Broj 2 na četvrtu potenciju umnožak je četiri faktora od kojih je svaki jednak 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Primjer 3 Dignite broj 2 na treću potenciju.

Broj 2 na treću potenciju umnožak je tri faktora od kojih je svaki jednak 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Potenciranje broja 10

Da bi se broj 10 podigao na potenciju, dovoljno je dodati broj nula iza jedinice, jednak eksponentu.

Na primjer, podignimo broj 10 na drugu potenciju. Prvo pišemo sam broj 10 i označavamo broj 2 kao indikator

10 2

Sada stavljamo znak jednakosti, upisujemo jedinicu i nakon ove upisujemo dvije nule, jer broj nula mora biti jednak eksponentu

10 2 = 100

Dakle, broj 10 na drugu potenciju je broj 100. To je zbog činjenice da je broj 10 na drugu potenciju umnožak dva faktora od kojih je svaki jednak 10

10 2 = 10 × 10 = 100

Primjer 2. Podignimo broj 10 na treću potenciju.

U ovom slučaju bit će tri nule iza jedinice:

10 3 = 1000

Primjer 3. Podignimo broj 10 na četvrtu potenciju.

U ovom slučaju bit će četiri nule iza jedinice:

10 4 = 10000

Primjer 4. Podignimo broj 10 na prvu potenciju.

U ovom slučaju bit će jedna nula iza jedinice:

10 1 = 10

Predstavljanje brojeva 10, 100, 1000 kao potencija s bazom 10

Da biste brojeve 10, 100, 1000 i 10000 predstavili kao potenciju s bazom 10, trebate napisati bazu 10, a kao eksponent navesti broj jednak broju nula u izvornom broju.

Predstavimo broj 10 kao potenciju s bazom 10. Vidimo da ima jednu nulu. Dakle, broj 10 kao potencija s bazom 10 bit će predstavljen kao 10 1

10 = 10 1

Primjer 2. Predstavimo broj 100 kao potenciju s bazom 10. Vidimo da broj 100 sadrži dvije nule. Dakle, broj 100 kao potencija s bazom 10 bit će predstavljen kao 10 2

100 = 10 2

Primjer 3. Predstavimo broj 1000 kao potenciju s bazom 10.

1 000 = 10 3

Primjer 4. Predstavimo broj 10 000 kao potenciju s bazom 10.

10 000 = 10 4

Potenciranje negativnog broja

Kada se negativni broj podiže na potenciju, mora se staviti u zagradu.

Na primjer, podignimo negativni broj −2 na drugu potenciju. Broj −2 na drugu potenciju umnožak je dva faktora od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Da ne stavimo u zagradu broj -2 ispalo bi da izračunavamo izraz -2 2 koji nejednak 4 . Izraz -2² bit će jednak -4 . Da bismo razumjeli zašto, dotaknimo se nekih točaka.

Kada stavimo minus ispred pozitivnog broja, time radimo operacija uzimanja suprotne vrijednosti.

Recimo da je dan broj 2, a vi trebate pronaći njegov suprotni broj. Znamo da je suprotno od 2 −2. Drugim riječima, da biste pronašli suprotan broj za 2, dovoljno je staviti minus ispred tog broja. Umetanje minusa ispred broja već se smatra punopravnom operacijom u matematici. Ova operacija, kao što je gore spomenuto, naziva se operacija uzimanja suprotne vrijednosti.

U slučaju izraza -2 2 javljaju se dvije operacije: operacija uzimanja suprotne vrijednosti i potenciranje. Podizanje na potenciju je operacija višeg prioriteta od uzimanja suprotne vrijednosti.

Stoga se izraz −2 2 računa u dva koraka. Prvo se izvodi operacija potenciranja. U ovom slučaju, pozitivni broj 2 podignut je na drugu potenciju.

Tada je uzeta suprotna vrijednost. Ova suprotna vrijednost je pronađena za vrijednost 4. A suprotna vrijednost za 4 je −4

−2 2 = −4

Zagrade imaju najveću prednost pri izvršavanju. Stoga se u slučaju izračunavanja izraza (−2) 2 najprije uzima suprotna vrijednost, a zatim se negativni broj −2 diže na drugu potenciju. Rezultat je pozitivan odgovor 4, budući da je umnožak negativnih brojeva pozitivan broj.

Primjer 2. Dignite broj −2 na treću potenciju.

Broj −2 na treću potenciju umnožak je tri faktora od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Primjer 3. Dignite broj −2 na četvrtu potenciju.

Broj −2 na četvrtu potenciju umnožak je četiri faktora od kojih je svaki jednak (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Lako je vidjeti da se dizanjem negativnog broja na potenciju može dobiti ili pozitivan ili negativan odgovor. Predznak odgovora ovisi o eksponentu početnog stupnja.

Ako je eksponent paran, onda je odgovor da. Ako je eksponent neparan, odgovor je negativan. Pokažimo to na primjeru broja −3

U prvom i trećem slučaju pokazatelj je bio neparan broj, pa je odgovor postao negativan.

U drugom i četvrtom slučaju pokazatelj je bio čak broj, pa je odgovor postao pozitivan.

Primjer 7 Podignite broj -5 na treću potenciju.

Broj -5 na treću potenciju umnožak je tri faktora od kojih je svaki jednak -5. Eksponent 3 je neparan broj, pa možemo unaprijed reći da će odgovor biti negativan:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Primjer 8 Podignite broj -4 na četvrtu potenciju.

Broj -4 na četvrtu potenciju umnožak je četiri faktora od kojih je svaki jednak -4. U ovom slučaju indikator 4 je paran, tako da unaprijed možemo reći da će odgovor biti pozitivan:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Pronalaženje vrijednosti izraza

Prilikom pronalaženja vrijednosti izraza koji ne sadrže zagrade, prvo će se izvršiti potenciranje, zatim množenje i dijeljenje svojim redoslijedom, a zatim zbrajanje i oduzimanje svojim redom.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza 2 + 5 2

Prvo se izvodi potenciranje. U ovom slučaju, broj 5 se podiže na drugu potenciju - ispada 25. Zatim se ovaj rezultat dodaje broju 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Primjer 10. Pronađite vrijednost izraza −6 2 × (−12)

Prvo se izvodi potenciranje. Imajte na umu da broj −6 nije u zagradama, pa će se broj 6 podići na drugu potenciju, a zatim će se ispred rezultata staviti minus:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Dovršavamo primjer množenjem −36 s (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Primjer 11. Odredi vrijednost izraza −3 × 2 2

Prvo se izvodi potenciranje. Zatim se rezultat množi s brojem −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Ako izraz sadrži zagrade, tada prvo treba izvesti operacije u tim zagradama, zatim potenciranje, zatim množenje i dijeljenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Primjer 12. Odredi vrijednost izraza (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Prvo napravimo zagrade. Unutar zagrada primjenjujemo prethodno naučena pravila, naime broj 3 prvo dižemo na drugu potenciju, zatim izvodimo množenje 1 × 3, zatim zbrajamo rezultate povećanja broja 3 na potenciju i množenja 1 × 3. Zatim se oduzimanje i zbrajanje izvode redoslijedom kojim se pojavljuju. Uredimo sljedeći redoslijed izvođenja akcije na izvornom izrazu:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Primjer 13. Odredi vrijednost izraza 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Prvo dižemo brojeve na potenciju, zatim izvodimo množenje i zbrajamo rezultate:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Identitetske transformacije moći

Na potencijama se mogu izvesti različite identične transformacije, čime se one pojednostavljuju.

Pretpostavimo da je bilo potrebno izračunati izraz (2 3) 2 . U ovom primjeru, dva na treću potenciju diže se na drugu potenciju. Drugim riječima, stupanj se podiže na drugi stupanj.

(2 3) 2 je umnožak dviju potencija od kojih je svaka jednaka 2 3

Štoviše, svaka od ovih potencija umnožak je tri faktora od kojih je svaki jednak 2

Dobili smo umnožak 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, što je jednako 64. Dakle, vrijednost izraza (2 3) 2 ili jednaka je 64

Ovaj primjer se može jako pojednostaviti. Za to se pokazatelji izraza (2 3) 2 mogu pomnožiti i ovaj umnožak napisati preko baze 2

Dobio 26. Dva na šestu potenciju umnožak je šest faktora, od kojih je svaki jednak 2. Ovaj umnožak jednak je 64

Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 3 umnožak 2 × 2 × 2, koji se zauzvrat ponavlja dvaput. Zatim se ispostavi da se baza 2 ponavlja šest puta. Odavde možemo napisati da je 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6

Općenito, iz bilo kojeg razloga a s indikatorima m I n, vrijedi jednakost:

(a n)m = a n × m

Ova identična transformacija zove se potenciranje. Može se čitati ovako: “Kada stepen dižemo na stepen, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.” .

Nakon množenja pokazatelja, dobivate još jedan stupanj, čija se vrijednost može pronaći.

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza (3 2) 2

U ovom primjeru baza je 3, a brojevi 2 i 2 su eksponenti. Upotrijebimo pravilo stepenovanja. Ostavljamo bazu nepromijenjenom i množimo indikatore:

Dobio 3 4. A broj 3 na četvrtu potenciju je 81

Pogledajmo ostale transformacije.

Umnožavanje snage

Da biste pomnožili stupnjeve, morate zasebno izračunati svaki stupanj i pomnožiti rezultate.

Na primjer, pomnožimo 2 2 sa 3 3 .

2 2 je broj 4, a 3 3 je broj 27. Pomnožimo brojeve 4 i 27 i dobijemo 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

U ovom su primjeru temelji ovlasti bili drugačiji. Ako su baze iste, tada se može napisati jedna baza, a kao pokazatelj napisati zbroj pokazatelja početnih stupnjeva.

Na primjer, pomnožite 2 2 sa 2 3

U ovom primjeru eksponenti imaju istu bazu. U ovom slučaju možete napisati jednu bazu 2 i napisati zbroj eksponenata 2 2 i 2 3 kao indikator. Drugim riječima, ostavite bazu nepromijenjenu i dodajte eksponente izvornih stupnjeva. Izgledat će ovako:

Dobio 2 5. Broj 2 na petu potenciju je 32

Ovo svojstvo funkcionira jer je 2 2 umnožak 2 × 2, a 2 3 umnožak 2 × 2 × 2. Tada se dobije umnožak pet identičnih faktora od kojih je svaki jednak 2. Ovaj proizvod se može predstaviti kao 2 5

Općenito, za bilo koji a i pokazatelji m I n vrijedi sljedeća jednakost:

Ova identična transformacija zove se glavno svojstvo stupnja. Može se čitati ovako: PKod množenja potencija s istom bazom, baza se ne mijenja, a eksponenti se zbrajaju. .

Imajte na umu da se ova transformacija može primijeniti na bilo koji broj stupnjeva. Glavna stvar je da je baza ista.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 1 × 2 2 × 2 3 . Temelj 2

U nekim problemima može biti dovoljno izvršiti odgovarajuću transformaciju bez izračunavanja konačnog stupnja. Ovo je naravno vrlo zgodno, jer nije tako lako izračunati velike snage.

Primjer 1. Izrazite kao potenciju izraz 5 8 × 25

U ovom zadatku trebate napraviti tako da umjesto izraza 5 8 × 25 dobijete jedan stupanj.

Broj 25 može se prikazati kao 5 2 . Tada dobivamo sljedeći izraz:

U ovom izrazu možete primijeniti glavno svojstvo stupnja - ostavite bazu 5 nepromijenjenom i dodajte indikatore 8 i 2:

Napišimo rješenje ukratko:

Primjer 2. Izrazite kao potenciju izraz 2 9 × 32

Broj 32 može se prikazati kao 2 5 . Tada dobivamo izraz 2 9 × 2 5 . Zatim možete primijeniti osnovno svojstvo stupnja - ostavite bazu 2 nepromijenjenu i dodajte indikatore 9 i 5. To će rezultirati sljedećim rješenjem:

Primjer 3. Izračunajte umnožak 3 × 3 koristeći osnovno svojstvo potencije.

Svima je dobro poznato da je tri puta tri jednako devet, ali zadatak zahtijeva korištenje glavnog svojstva stupnja u tijeku rješavanja. Kako to učiniti?

Podsjećamo da ako je broj dan bez indikatora, tada se indikator mora smatrati jednakim jedan. Dakle, faktori 3 i 3 mogu se napisati kao 3 1 i 3 1

3 1 × 3 1

Sada koristimo glavno svojstvo stupnja. Osnovu 3 ostavljamo nepromijenjenu i dodajemo indikatore 1 i 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Primjer 4. Izračunajte umnožak 2 × 2 × 3 2 × 3 3 koristeći osnovno svojstvo potencije.

Umnožak 2 × 2 zamijenimo s 2 1 × 2 1 , zatim s 2 1 + 1 , a zatim s 2 2 . Umnožak 3 2 × 3 3 zamjenjuje se s 3 2 + 3, a zatim s 3 5

Primjer 5. Izvršite množenje x × x

To su dva identična abecedna faktora s pokazateljima 1. Radi jasnoće, zapisujemo ove pokazatelje. Daljnja baza x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:

Za pločom ne treba tako detaljno zapisivati ​​množenje potencija s istim bazama kao što se to ovdje radi. Takvi izračuni moraju se raditi u umu. Detaljan unos će najvjerojatnije zasmetati učitelju i zbog toga će smanjiti ocjenu. Ovdje je dan detaljan zapis kako bi građa bila što pristupačnija za razumijevanje.

Rješenje ovog primjera treba napisati ovako:

Primjer 6. Izvršite množenje x 2 × x

Indeks drugog faktora jednak je jedan. Zapišimo to radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 7. Izvršite množenje g 3 g 2 g

Indeks trećeg faktora jednak je jedan. Zapišimo to radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 8. Izvršite množenje aa 3 a 2 a 5

Indeks prvog faktora jednak je jedan. Zapišimo to radi jasnoće. Zatim ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

Primjer 9. Izrazi potenciju od 3 8 kao umnožak potencija s istom bazom.

U ovom zadatku trebate napraviti umnožak potencija čije će baze biti jednake 3, a zbroj eksponenata jednak 8. Možete koristiti bilo koje pokazatelje. Predstavljamo stupanj 3 8 kao umnožak potencija 3 5 i 3 3

U ovom primjeru ponovno smo se oslonili na glavno svojstvo stupnja. Uostalom, izraz 3 5 × 3 3 može se napisati kao 3 5 + 3, odakle je 3 8 .

Naravno, bilo je moguće prikazati snagu 3 8 kao produkt drugih snaga. Na primjer, u obliku 3 7 × 3 1, budući da je i ovaj umnožak 3 8

Predstavljanje stupnja kao produkta potencija s istom bazom uglavnom je kreativan rad. Stoga se ne bojte eksperimentirati.

Primjer 10. Pošalji diplomu x 12 kao razni produkti potencija s bazama x .

Iskoristimo glavno svojstvo stupnja. Zamisliti x 12 kao proizvodi s bazama x, a čiji je zbroj eksponenata jednak 12

Konstrukcije sa zbrojevima indikatora zabilježene su radi preglednosti. Većinu vremena mogu se preskočiti. Tada dobivamo kompaktno rješenje:

Potenciranje proizvoda

Da biste umnožak podigli na potenciju, morate podići svaki faktor ovog umnoška na navedenu potenciju i pomnožiti rezultate.

Na primjer, podignimo umnožak 2 × 3 na drugu potenciju. Uzimamo ovaj proizvod u zagrade i označavamo 2 kao indikator

Podignimo sada svaki faktor umnoška 2 × 3 na drugu potenciju i pomnožimo rezultate:

Princip rada ovog pravila temelji se na definiciji stupnja koja je dana na samom početku.

Podizanje umnoška 2 × 3 na drugu potenciju znači ponavljanje ovog umnoška dvaput. A ako to ponovite dva puta, možete dobiti sljedeće:

2×3×2×3

Iz permutacije mjesta faktora umnožak se ne mijenja. To vam omogućuje grupiranje istih množitelja:

2×2×3×3

Ponavljajući množitelji mogu se zamijeniti kratkim unosima - bazama s eksponentima. Umnožak 2 × 2 može se zamijeniti s 2 2 , a umnožak 3 × 3 može se zamijeniti s 3 2 . Tada se izraz 2 × 2 × 3 × 3 pretvara u izraz 2 2 × 3 2 .

Neka ab izvorno djelo. Podići ovaj proizvod na snagu n, trebate zasebno podići faktore a I b do navedenog stupnja n

Ovo svojstvo vrijedi za bilo koji broj faktora. Sljedeći izrazi također vrijede:

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza (2 × 3 × 4) 2

U ovom primjeru trebate podići umnožak 2 × 3 × 4 na drugu potenciju. Da biste to učinili, morate podići svaki faktor ovog proizvoda na drugu potenciju i pomnožiti rezultate:

Primjer 3. Podignite umnožak na treću potenciju a×b×c

Ovaj proizvod stavljamo u zagrade, a kao indikator označavamo broj 3

Primjer 4. Podignite umnožak na treću potenciju 3 xyz

Ovaj proizvod stavljamo u zagrade i označavamo 3 kao pokazatelj

(3xyz) 3

Podignimo svaki faktor ovog proizvoda na treću potenciju:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 g 3 z 3

Broj 3 na treću potenciju jednak je broju 27. Ostalo ostavljamo nepromijenjeno:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 g 3 z 3 = 27x 3 g 3 z 3

U nekim primjerima množenje potencija s istim eksponentom može se zamijeniti umnoškom baza s istim eksponentom.

Na primjer, izračunajmo vrijednost izraza 5 2 × 3 2 . Podignite svaki broj na drugu potenciju i pomnožite rezultate:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ali ne možete izračunati svaki stupanj zasebno. Umjesto toga, ovaj umnožak potencija može se zamijeniti umnoškom s jednim eksponentom (5 × 3) 2 . Zatim izračunajte vrijednost u zagradama i podignite rezultat na drugu potenciju:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

U ovom slučaju ponovno je korišteno pravilo potenciranja umnoška. Uostalom, ako (a x b)n = a n × b n , To a n × b n = (a × b) n. To jest, lijeva i desna strana jednadžbe su obrnute.

Potenciranje

Ovu smo transformaciju smatrali primjerom kada smo pokušavali razumjeti bit identičnih transformacija stupnjeva.

Pri dizanju potencije na potenciju baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe:

(a n)m = a n × m

Na primjer, izraz (2 3) 2 je dizanje potencije na potenciju - dva na treću potenciju diže se na drugu potenciju. Da biste pronašli vrijednost ovog izraza, baza se može ostaviti nepromijenjena, a eksponenti se mogu pomnožiti:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Ovo pravilo temelji se na prethodnim pravilima: potenciranje umnoška i osnovno svojstvo stupnja.

Vratimo se na izraz (2 3) 2 . Izraz u zagradama 2 3 umnožak je tri identična faktora od kojih je svaki jednak 2. Tada se u izrazu (2 3) 2 potenciju unutar zagrada može zamijeniti umnoškom 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

A ovo je potenciranje proizvoda koji smo proučavali ranije. Podsjetimo se da za dizanje umnoška na potenciju morate podići svaki faktor ovog umnoška na navedenu potenciju i pomnožiti rezultate:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Sada se bavimo glavnim svojstvom stupnja. Ostavljamo bazu nepromijenjenu i dodajemo indikatore:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Kao i prije, dobili smo 2 6 . Vrijednost ovog stupnja je 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Umnožak čiji su faktori također potencije također se može podići na potenciju.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza (2 2 × 3 2) 3 . Ovdje se pokazatelji svakog množitelja moraju pomnožiti s ukupnim pokazateljem 3. Zatim pronađite vrijednost svakog stupnja i izračunajte proizvod:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Otprilike ista stvar se događa kada se produkt podigne na snagu. Rekli smo da se pri dizanju umnoška na potenciju svaki faktor tog umnoška diže na naznačenu potenciju.

Na primjer, da biste podigli umnožak 2 × 4 na treću potenciju, trebate napisati sljedeći izraz:

Ali ranije je rečeno da ako je broj dan bez indikatora, onda se indikator treba smatrati jednakim jedan. Ispada da faktori proizvoda 2 × 4 u početku imaju eksponente jednake 1. To znači da je izraz 2 1 × 4 1 ​​podignut na treću snagu. A ovo je podizanje stupnja na potenciju.

Prepišimo rješenje koristeći pravilo stepenovanja. Trebali bismo dobiti isti rezultat:

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza (3 3) 2

Ostavljamo bazu nepromijenjenom i množimo indikatore:

Dobio 36. Broj 3 na šestu potenciju je broj 729

Primjer 3xy)³

Primjer 4. Izvršite stepenovanje u izrazu ( abc)⁵

Podignimo svaki faktor umnoška na petu potenciju:

Primjer 5sjekira) 3

Podignimo svaki faktor umnoška na treću potenciju:

Budući da je negativni broj −2 podignut na treću potenciju, uzet je u zagradu.

Primjer 6. Izvedite potenciranje u izrazu (10 xy) 2

Primjer 7. Izvršite stepenovanje u izrazu (−5 x) 3

Primjer 8. Izvršite stepenovanje u izrazu (−3 g) 4

Primjer 9. Izvršite stepenovanje u izrazu (−2 abx)⁴

Primjer 10. Pojednostavite izraz x 5×( x 2) 3

Stupanj x 5 za sada ostaje nepromijenjen, au izrazu ( x 2) 3 izvršiti potenciranje na potenciju:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Sada napravimo množenje x 5 × x 6. Da bismo to učinili, koristimo glavno svojstvo stupnja - bazu x ostavite nepromijenjeno i dodajte indikatore:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Primjer 9. Odredite vrijednost izraza 4 3 × 2 2 pomoću osnovnog svojstva stupnja.

Glavno svojstvo stupnja može se koristiti ako su baze početnih stupnjeva iste. U ovom primjeru, baze su različite, stoga, za početak, izvorni izraz treba malo modificirati, naime, kako bi baze stupnjeva postale iste.

Pogledajmo pobliže potenciju 4 3 . Osnova ovog stupnja je broj 4, koji se može prikazati kao 2 2 . Tada će izvorni izraz poprimiti oblik (2 2) 3 × 2 2 . Potenciranjem na potenciju u izrazu (2 2) 3 dobivamo 2 6 . Tada će izvorni izraz poprimiti oblik 2 6 × 2 2 , koji se može izračunati pomoću glavnog svojstva stupnja.

Napišimo rješenje ovog primjera:

Podjela stupnjeva

Da biste izvršili dijeljenje na potenciju, morate pronaći vrijednost svake potencije, a zatim izvršiti dijeljenje običnih brojeva.

Na primjer, podijelimo 4 3 sa 2 2 .

Izračunaj 4 3 , dobivamo 64 . Izračunamo 2 2 , dobivamo 4. Sada dijelimo 64 s 4, dobivamo 16

Ako se pri dijeljenju stupnjeva baze ispostavi da su isti, tada se baza može ostaviti nepromijenjena, a eksponent djelitelja se može oduzeti od eksponenta dividende.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 3: 2 2

Ostavljamo bazu 2 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Dakle, vrijednost izraza 2 3: 2 2 je 2 .

Ovo se svojstvo temelji na množenju potencija s istim bazama, ili, kako smo govorili, na glavnom svojstvu stupnja.

Vratimo se na prethodni primjer 2 3: 2 2 . Ovdje je dividenda 2 3, a djelitelj 2 2 .

Podijeliti jedan broj drugim znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži djeliteljem, kao rezultat dati dividendu.

U našem slučaju, dijeljenje 2 3 s 2 2 znači pronalaženje potencije koja će, kada se pomnoži s djeliteljem 2 2, dati 2 3 . Koja se snaga može pomnožiti s 2 2 da bi se dobilo 2 3 ? Očito, samo stupanj 2 1 . Iz glavnog svojstva stupnja imamo:

Možete provjeriti da je vrijednost izraza 2 3: 2 2 2 1 izravnim vrednovanjem izraza 2 3: 2 2 . Da bismo to učinili, prvo pronađemo vrijednost stupnja 2 3 , dobit ćemo 8 . Zatim nalazimo vrijednost stupnja 2 2 , dobivamo 4 . Podijelimo 8 sa 4, dobivamo 2 ili 2 1 , budući da je 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Dakle, pri dijeljenju potencija s istom bazom vrijedi jednakost:

Također se može dogoditi da ne samo baze, nego i pokazatelji mogu biti isti. U ovom slučaju, odgovor će biti jedan.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza 2 2: 2 2 . Izračunajmo vrijednost svakog stupnja i izvršimo dijeljenje dobivenih brojeva:

Kod rješavanja primjera 2 2 : 2 2 možete primijeniti i pravilo za dijeljenje stupnjeva s istim bazama. Rezultat je broj na nultu potenciju, jer je razlika između eksponenata 2 2 i 2 2 nula:

Zašto je broj 2 na nulti stupanj jednak jedan, saznali smo gore. Ako izračunate 2 2 : 2 2 na uobičajeni način, bez korištenja pravila za dijeljenje stupnjeva, dobit ćete jedan.

Primjer 2. Odredite vrijednost izraza 4 12 : 4 10

Ostavljamo 4 nepromijenjeno i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Primjer 3. Pošalji privatno x 3: x kao stupanj s bazom x

Poslužimo se pravilom podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende. Eksponent djelitelja jednak je jedan. Radi jasnoće, zapišimo:

Primjer 4. Pošalji privatno x 3: x 2 kao snaga s bazom x

Poslužimo se pravilom podjele stupnjeva. Baza x

Podjela stupnjeva može se napisati kao razlomak. Dakle, prethodni primjer se može napisati na sljedeći način:

Brojnik i nazivnik razlomka mogu se napisati prošireno, odnosno u obliku umnožaka istih faktora. Stupanj x 3 se može napisati kao x × x × x, i stupanj x 2 kao x × x. Zatim konstrukcija x 3 − 2 se može preskočiti i koristiti smanjenje razlomaka. U brojniku i u nazivniku bit će moguće smanjiti po dva faktora x. Rezultat će biti jedan množitelj x

Ili još kraće:

Također, korisno je moći brzo reducirati razlomke koji se sastoje od potencija. Na primjer, razlomak se može svesti na x 2. Da biste smanjili razlomak za x 2 trebate podijeliti brojnik i nazivnik razlomka s x 2

Podjela stupnjeva ne može se detaljno opisati. Gornja kratica može se skratiti:

Ili još kraće:

Primjer 5. Izvršite podjelu x 12 : x 3

Poslužimo se pravilom podjele stupnjeva. Baza x ostavite ga nepromijenjenim i oduzmite eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Rješenje zapisujemo redukcijom razlomaka. Podjela stupnjeva x 12 : x 3 bit će napisano kao . Zatim, smanjujemo ovaj razlomak za x 3 .

Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza

U brojniku vršimo množenje potencija s istim bazama:

Sada primjenjujemo pravilo za dijeljenje potencija s istim bazama. Ostavljamo bazu 7 nepromijenjenu i oduzimamo eksponent djelitelja od eksponenta dividende:

Dovršavamo primjer izračunavanjem potencije 7 2

Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza

Izvršimo potenciranje u brojniku. To trebate učiniti s izrazom (2 3) 4

Izvedimo sada množenje potencija s istim bazama u brojniku.

U prethodnom smo članku govorili o tome što su monomi. U ovom materijalu analizirat ćemo kako riješiti primjere i probleme u kojima se koriste. Ovdje ćemo razmotriti radnje kao što su oduzimanje, zbrajanje, množenje, dijeljenje monoma i njihovo dizanje na potenciju s prirodnim eksponentom. Pokazat ćemo kako se takve operacije definiraju, naznačiti osnovna pravila za njihovu provedbu i što bi trebao biti rezultat. Sve teorijske odredbe, kao i obično, bit će ilustrirane primjerima zadataka s opisom rješenja.

Najprikladnije je raditi sa standardnim zapisom monoma, stoga sve izraze koji će se koristiti u članku predstavljamo u standardnom obliku. Ako su inicijalno postavljeni drugačije, preporučuje se prvo ih dovesti u općeprihvaćeni oblik.

Pravila za zbrajanje i oduzimanje monoma

Najjednostavnije operacije koje se mogu izvesti s monomima su oduzimanje i zbrajanje. U općem slučaju, rezultat ovih radnji bit će polinom (monom je moguć u nekim posebnim slučajevima).

Kada zbrajamo ili oduzimamo monome, odgovarajući zbroj i razliku prvo zapišemo u općeprihvaćenom obliku, nakon čega dobiveni izraz pojednostavljujemo. Ako postoje slični pojmovi, moraju se navesti, a zagrade moraju biti otvorene. Objasnimo na primjeru.

Primjer 1

Stanje: zbrojimo monome − 3 · x i 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Riješenje

Zapišimo zbroj izvornih izraza. Dodajte zagrade i stavite znak plus između njih. Dobit ćemo sljedeće:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Kad raširimo zagrade, dobijemo - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Ovo je polinom, napisan u standardnom obliku, koji će biti rezultat zbrajanja ovih monoma.

Odgovor:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Ako imamo tri, četiri ili više pojmova, ovu radnju izvodimo na isti način.

Primjer 2

Stanje: izvoditi zadane operacije s polinomima pravilnim redoslijedom

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Riješenje

Počnimo s otvaranjem zagrada.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vidimo da se dobiveni izraz može pojednostaviti redukcijom sličnih članova:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Imamo polinom koji će biti rezultat ove akcije.

Odgovor: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

U principu, možemo izvesti zbrajanje i oduzimanje dvaju monoma, uz određena ograničenja, tako da na kraju dobijemo monom. Da biste to učinili, potrebno je poštovati neke uvjete u vezi s članovima i oduzetim monomima. Opisat ćemo kako se to radi u zasebnom članku.

Pravila množenja monoma

Radnja množenja ne nameće nikakva ograničenja na množitelje. Monomi koji se množe ne smiju ispunjavati nikakve dodatne uvjete da bi rezultat bio monom.

Da biste izvršili množenje monoma, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Snimite komad ispravno.
2. Raširite zagrade u rezultirajućem izrazu.
3. Grupirajte, ako je moguće, faktore s istim varijablama i odvojeno numeričke faktore.
4. Izvršite potrebne radnje s brojevima i primijenite svojstvo potencije množenja s istim bazama na preostale faktore.

Pogledajmo kako se to izvodi u praksi.

Primjer 3

Stanje: pomnožimo monome 2 · x 4 · y · z i - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Riješenje

Počnimo s kompozicijom djela.

Otvaranjem zagrada u njemu dobivamo sljedeće:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Sve što trebamo učiniti je pomnožiti brojeve u prvim zagradama i primijeniti svojstvo snage na druge. Kao rezultat toga dobivamo sljedeće:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Odgovor: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ako imamo tri ili više polinoma u uvjetu, množimo ih koristeći točno isti algoritam. Pitanje množenja monoma detaljnije ćemo razmotriti u zasebnom materijalu.

Pravila za dizanje monoma na potenciju

Znamo da se umnožak određenog broja istih faktora naziva stupanj s prirodnim eksponentom. Njihov broj je označen brojem u indikatoru. Prema ovoj definiciji, dizanje monoma na potenciju je jednako množenju navedenog broja identičnih monoma. Da vidimo kako se to radi.

Primjer 4

Stanje: dignite monom − 2 · a · b 4 na potenciju broja 3 .

Riješenje

Potenciranje možemo zamijeniti množenjem 3 monoma − 2 · a · b 4 . Zapišimo i dobijemo željeni odgovor:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Odgovor:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Ali što kada stupanj ima veliki eksponent? Snimanje velikog broja množitelja je nezgodno. Zatim, da bismo riješili takav problem, moramo primijeniti svojstva stupnja, naime svojstvo stupnja umnoška i svojstvo stupnja u stupnju.

Riješimo problem koji smo gore naveli na naznačeni način.

Primjer 5

Stanje: dignite − 2 · a · b 4 na treću potenciju.

Riješenje

Poznavajući svojstvo stupnja u stupnju, možemo prijeći na izraz sljedećeg oblika:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Nakon toga dižemo na potenciju - 2 i primjenjujemo svojstvo eksponenta:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Odgovor:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Također smo posvetili poseban članak dizanju monoma na potenciju.

Pravila dijeljenja monoma

Posljednja radnja s monomima koju ćemo analizirati u ovom materijalu je dijeljenje monoma s monomom. Kao rezultat, trebali bismo dobiti racionalni (algebarski) razlomak (u nekim slučajevima moguće je dobiti monom). Odmah pojasnimo da dijeljenje s nultim monomom nije definirano, budući da dijeljenje s 0 nije definirano.

Da bismo izvršili dijeljenje, potrebno je navedene monome napisati u obliku razlomka i smanjiti ga, ako je moguće.

Primjer 6

Stanje: monom − 9 x 4 y 3 z 7 podijelimo s − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Riješenje

Započnimo pisanjem monoma u obliku razlomka.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ovaj se udio može smanjiti. Nakon što to učinimo, dobivamo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Odgovor:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Uvjeti pod kojima, kao rezultat dijeljenja monoma, dobivamo monom navedeni su u posebnom članku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter