Раніше ми вже показали, що $1\frac25$ - близько до $sqrt2$. Якби воно точно дорівнювало $\sqrt2$, . Тоді співвідношення - $ frac (1 frac25) (1) $, яке можна перетворити на співвідношення цілих чисел $ frac75 $, помноживши верхню і нижню частини дробу на 5, і було б шуканою величиною.

Але, на жаль, $1\frac25$ не є точною величиною $\sqrt2$. Більш точна відповідь $1\frac(41)(100)$, дає нам співвідношення $\frac(141)(100)$. Ще більшої точності ми досягаємо, коли прирівнюємо $ sqrt2 $ до $ 1 frac (207) (500) $. У цьому випадку співвідношення в цілих числах дорівнюватиме $\frac(707)(500)$. Але і $1\frac(207)(500)$ не є точним значенням кореня квадратного з 2. Грецькі математики витратили багато часу і сил, щоб обчислити точне значення $\sqrt2$, але це їм так і не вдалося. Вони змогли представити співвідношення $\frac(\sqrt2)(1)$ як співвідношення цілих чисел.

Нарешті, великий грецький математик Евклід довів, що, хоч би як збільшувалася точність підрахунків, отримати точне значення $sqrt2$ неможливо. Не існує такого дробу, який, будучи зведений у квадрат, дасть у результаті два. . Однак, можливо, ці відомості не відповідають дійсності.

Але якщо число $\frac(\sqrt2)(1)$ не може бути представлене у вигляді співвідношення цілих чисел, то і ніяка , що містить $\sqrt2$, наприклад $\frac(\sqrt2)(2)$ або $\frac (4)(\sqrt2)$ також не може бути представлена ​​у вигляді співвідношення цілих чисел, оскільки всі такі дроби можуть бути перетворені на $\frac(\sqrt2)(1)$, помножене на якесь число. Так $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Або $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, що можна перетворити, помноживши верхню і нижню частини на $\sqrt2$, і отримати $\frac(4) (\sqrt2) $. (Не слід забувати, що незалежно від того, що являє собою число $sqrt2$, якщо ми помножимо його на $sqrt2$, то отримаємо 2.)

Оскільки число $\sqrt2$ не можна уявити у вигляді співвідношення цілих чисел, воно отримало назву ірраціонального числа. З іншого боку, всі числа, які можна подати у вигляді співвідношення цілих чисел, називаються раціональними.

Раціональними є всі цілі та дробові числа, як позитивні, і негативні.

Як виявилося, більшість квадратних коренів є ірраціональними числами. Раціональне квадратне коріння є тільки у чисел, що входять до ряду квадратних чисел. Ці числа називаються ідеальними квадратами. Раціональними числами також є дроби, складені з цих ідеальних квадратів. Наприклад, $\sqrt(1\frac79)$ є раціональним числом, так як $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ або $1\frac13$ (4 - це корінь квадратний із 16, а 3 - корінь квадратний із 9).

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I (\displaystyle \mathbb (I) )у напівжирному накресленні без заливання. Таким чином: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb(I) =\mathbb(R) \backslash \mathbb(Q) ), тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, незрівнянних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, незрівнянність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Ірраціональними є:

  Приклади доказу ірраціональності

  Корінь з 2

  Допустимо неприємне: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))раціональний, тобто представляється у вигляді дробу m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), де m (\displaystyle m)- ціле число, а n (\displaystyle n)- натуральне число .

  Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Історія

  Античність

  Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені [ ] .

  Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппас з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е..), піфагорійцю. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок [ ] .

  Немає точних даних про те, ірраціональність якого числа було підтверджено Гіппасом. Згідно з легендою, він знайшов його вивчаючи довжини сторін пентаграми. Тому розумно припустити, що це було золоте перетин [ ] .

  Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

  Що таке ірраціональні числа? Чому вони так звуться? Де вони використовуються і що являють собою? Мало хто може без роздумів відповісти на ці запитання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

  Сутність та позначення

  Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена ​​тим, що для вирішення нових завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіших рівнянь також не мають рішення без введення концепції ірраціонального числа.

  Ця множина позначається як I. І, як уже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

  Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики в VII столітті, коли було виявлено, що квадратне коріння з деяких величин не може бути позначене явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцеві Гіппас, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини зробили ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони такі важливі.

  походження назви

  Якщо ratio у перекладі з латини - це "дроб", "ставлення", то приставка "ір"
  надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва багатьох цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої сутності.

  Місце у загальній класифікації

  Ірраціональні числа поряд із раціональними належить до групи речових чи дійсних, які у свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну та трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

  

  Властивості

  Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

  a + b = b + a (комутативність);

  (a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

  a + (-a) = 0 (існування протилежного числа);

  ab = ba (переміщувальний закон);

  (ab)c = a(bc) (дистрибутивність);

  a(b+c) = ab + ac (розподільчий закон);

  a x 1/a = 1 (існування зворотного числа);

  Порівняння також проводиться відповідно до загальних закономірностей та принципів:

  Якщо a > b і b > c, a > c (транзитивність співвідношення) и. т.д.

  Вочевидь, все ірраціональні числа може бути перетворені з допомогою основних арифметичних процесів. Жодних особливих правил при цьому немає.

  

  Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона говорить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a як доданок достатню кількість разів, можна перевершити b.

  Використання

  Незважаючи на те, що в звичайному житті не так часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, що дорівнює 3,1415926..., або e, що є основою натурального логарифму, 2,718281828... В алгебрі, тригонометрії і геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перерізу", тобто відношення як більшої частини до меншої, так і навпаки, також

  

  відноситься до цієї множини. Менш відоме "срібне" - теж.

  На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, тому між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

  Досі існує маса невирішених проблем, пов'язаних із цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності та нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади щодо належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що е - нормальне число, т. е. ймовірність появи у його запису різних цифр однакова. Що ж до пі, то щодо його поки що ведуться дослідження. Мірою ірраціональності називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближено раціональними числами.

  Алгебраїчні та трансцендентні

  Як вже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу множини C.

  Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають дійсні або речові.

  Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем багаточлена, що не дорівнює тотожному нулю. Наприклад, квадратний корінь із 2 буде відноситися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 = 0.

  Все ж таки інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі та основа натурального логарифму e.

  

  Що цікаво, ні одне, ні друге були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для підтвердження було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало кінець суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисяч років. Воно досі до кінця не вивчене, тому сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перший досить точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були надто приблизними.

  Для е (числа Ейлера або Непера) доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

  Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса та тангенсу для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

  
  

  Матеріал цієї статті є початковою інформацією про ірраціональні числа. Спочатку ми дамо визначення ірраціональних чисел і роз'яснимо його. Далі наведемо приклади ірраціональних чисел. Нарешті, розглянемо деякі підходи до з'ясування, чи задане число є ірраціональним чи ні.

  Навігація на сторінці.

  Визначення та приклади ірраціональних чисел

  Під час вивчення десяткових дробів ми окремо розглянули нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Такі дроби виникають при десятковому вимірі довжин відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Також ми відзначили, що нескінченні неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (дивіться переведення звичайних дробів у десяткові і назад), отже, ці числа не є раціональними числами, вони представляють так звані ірраціональні числа.

  Так ми підійшли до визначення ірраціональних чисел.

  Визначення.

  Числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними числами.

  Озвучене визначення дозволяє навести приклади ірраціональних чисел. Наприклад, нескінченний неперіодичний десятковий дріб 4,10110011100011110000… (кількість одиниць і нулів щоразу збільшується на одну) є ірраціональним числом. Наведемо ще приклад ірраціонального числа: −22,353335333335… (кількість трійок, що розділяють вісімки, щоразу збільшується на дві).

  Слід зазначити, що ірраціональні числа досить рідко зустрічаються у вигляді нескінченних неперіодичних десяткових дробів. Зазвичай вони зустрічаються у вигляді , і т.п., а також у вигляді спеціально введених букв. Найвідомішими прикладами ірраціональних чисел у такому записі є арифметичний квадратний корінь із двох , число «пі» π=3,141592…, число e=2,718281… та золоте число.

  Ірраціональні числа також можна визначити через дійсні числа, які поєднують раціональні та ірраціональні числа.

  Визначення.

  Ірраціональні числа– це дійсні числа, які є раціональними.

  Чи є це число ірраціональним?

  Коли число задано над вигляді десяткового дробу, а вигляді деякого , кореня, логарифма тощо., відповісти питанням, чи є воно ірраціональним, у часто досить складно.

  Безперечно, при відповіді на поставлене питання дуже корисно знати, які числа не є ірраціональними. З визначення ірраціональних чисел випливає, що ірраціональними числами є раціональні числа. Таким чином, ірраціональними числами НЕ є:

  • кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби.

  Також не є ірраціональним числом будь-яка композиція раціональних чисел, пов'язаних знаками арифметичних операцій (+, −, ·, :). Це тим, що сума, різницю, добуток і частки двох раціональних чисел є раціональним числом. Наприклад, значення виразів є раціональними числами. Тут же зауважимо, що якщо в подібних виразах серед раціональних чисел міститься одне ірраціональне число, то значення всього виразу буде ірраціональним числом. Наприклад, у виразі число - ірраціональне, а інші числа раціональні, отже - ірраціональне число. Якби було раціональним числом, то з цього випливала б раціональність числа, а воно не є раціональним.

  Якщо вираз, яким задано число, містить кілька ірраціональних чисел, знаки кореня, логарифми, тригонометричні функції, числа π, e тощо, то потрібно проводити доказ ірраціональності або раціональності заданого числа в кожному конкретному випадку. Однак існує низка вже отриманих результатів, якими можна скористатися. Перелічимо основні їх.

  Доведено, що корінь ступеня k із цілого числа є раціональним числом лише тоді, коли число під коренем є k-им ступенем іншого цілого числа, в інших випадках такий корінь задає ірраціональне число. Наприклад, числа і - ірраціональні, тому що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 7 і не існує цілого числа, зведення якого в п'яту ступінь дає число 15 . А числа і є ірраціональними, оскільки і .

  Що стосується логарифмів, то довести їхню ірраціональність іноді вдається методом від протилежного. Наприклад доведемо, що log 2 3 є ірраціональним числом.

  Припустимо, що log 2 3 раціональне число, а чи не ірраціональне, тобто його можна у вигляді звичайного дробу m/n . і дозволяють записати наступний ланцюжок рівностей: . Остання рівність неможлива, тому що в його лівій частині непарне число, а правої частини – парне. Так ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення виявилося неправильним, і цим доведено, що log 2 3 - ірраціональне число.

  Зауважимо, що lna за будь-якого позитивного і відмінному від одиниці раціональному a є ірраціональним числом. Наприклад, і – ірраціональні числа.

  Також доведено, що число e a при будь-якому відмінному від нуля раціональному a є ірраціональним, і що π z при будь-якому відмінному від нуля цілому z є ірраціональним. Наприклад, числа – ірраціональні.

  Ірраціональними числами також є тригонометричні функції sin, cos, tg і ctg при будь-якому раціональному і відмінному від нуля значенні аргументу. Наприклад, sin1 , tg(−4) , cos5,7 є ірраціональними числами.

  Існують і інші доведені результати, на які ми обмежимося вже перерахованими. Слід також сказати, що за доказі озвучених вище результатів застосовується теорія, пов'язана з алгебраїчними числамиі трансцендентними числами.

  Насамкінець зазначимо, що не варто робити поспішних висновків щодо ірраціональності заданих чисел. Наприклад, здається очевидним, що ірраціональне число в ірраціональному ступені є ірраціональне число. Однак, це не завжди так. Як підтвердження озвученого факту наведемо ступінь. Відомо, що ірраціональне число, а також доведено, що ірраціональне число, але раціональне число. Також можна навести приклади ірраціональних чисел, сума, різницю, твір та приватне яких є раціональні числа. Більше того, раціональність чи ірраціональність чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e та багатьох інших досі не доведена.

  Список літератури.

  • Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

  Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні властивості через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наука і математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.

  Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль та негативні числа були введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Останнє безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.

  У сучасній математиці числа вводять над історичному порядку, хоча у досить близькому щодо нього.

  Натуральні числа $\mathbb(N)$

  Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.

  У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостями для будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
  5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення

  Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.

  Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($

  1. $a b$ трихотомія
  2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
  3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
  4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
  5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Цілі числа $\mathbb(Z)$

  Приклади цілих чисел:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, вимагає введення нової операції - віднімання(-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб включити рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

  Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число $-a$ для $a$
  

  Властивість 5.
  5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

  Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Раціональні числа $\mathbb(Q)$

  Приклади раціональних чисел:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції додавання та множення поширюються і на це безліч за такими правилами, які зберігають усі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Поділ вводиться таким чином:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $

  Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
  $\frac(p_1)(q_1)

  Безліч $\mathbb(Q)$ має одну важливу властивість: між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, отже, не існує двох сусідніх раціональних чисел, на відміну від множин натуральних і цілих чисел.

  Ірраціональні числа $\mathbb(I)$

  Приклади ірраціональних чисел:
  $\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
  $\pi \approx 3.1415926535...$

  Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.

  Дійсні числа $\mathbb(R)$

  Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.

  Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межа множини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:

  Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
  Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.

  Комплексні числа$\mathbb(C)$

  Приклади комплексних чисел:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$

  Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.

  Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний корінь з негативних чисел, що і спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.

  Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
  1. комутативність складання та множення
  2. асоціативність складання та множення
  3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
  4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
  5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
  6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.