Квантовая система

Для объяснения многих свойств микрочастиц (фотонов, электронов и др.) требуются специальные законы и подходы квантовой механики. Квантовые свойства микромира проявляются через свойства макросистем. Микрообъекты составляют определенную физическую систему, которая называется квантовой. Примерами квантовых систем могут служить: фотонный газ, электроны в металлах. Под терминами квантовая система, квантовая частица следует понимать материальный объект, который описывается с помощью специального аппарата квантовой механики.

Квантовая механика исследует свойства и явления мира микрочастиц, которые не может трактовать классическая механика. Такими особенностями, например, стали: корпускулярно-волновой дуализм, дискретность, существование спинов. Методы классической механики не могут описать поведение частиц микромира. Имеющиеся одновременно волновые и корпускулярные свойства у микрочастицы не дают возможности определить состояние частицы с классической точки зрения.

Данный факт отразился в соотношении неопределенности Гейзенберга ($1925г.$):

где $\triangle x$ -- неточность в определении координаты, $\triangle p$ -- погрешность в определении импульса микрочастицы. Подобное соотношение можно записать в виде:

где $\triangle E$ -- неопределенность в величине энергии, $\triangle t$ -- неопределенность по времени. Соотношения (1) и (2) указывают на то, что если одна из величин в этих соотношениях определены с высокой точностью, то другой параметр имеет большую погрешность в определении. В этих соотношениях $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$. Так, состояние микрочастицы в квантовой механике, нельзя описать, одномоментно используя координат и импульс, что является возможным в классической механики. Аналогичная ситуация относится к энергии в данный момент времени. Состояния с конкретным значением энергии можно получить только в стационарных случаях (то есть в случаях, которые не имеют точного определения во времени).

Имея корпускулярные и одновременно волновые свойства, микрочастица не обладает точной координатой, а является «размазанной» в некоторой области пространства. В случае присутствия в некоторой области пространства двух и более частиц не возможно их отличить друг от друга, так как нельзя отследить за движением каждой. Из вышесказанного следует тождественность частиц в квантовой механике.

Некоторые параметры, относящиеся к микрочастицам, принимают дискретные значения, что классическая механика объяснить не может. В соответствии с положениями и законами квантовой механики, помимо энергии системы, дискретными могут быть момент количества движения системы:

где $l=0,1,2,\dots $

спин может принимать значения:

где $s=0,\ \frac{1}{2},\ 1,\ \frac{3}{2},\dots $

Проекция магнитного момента на направление внешнего поля принимает значения:

где $m_z$ -- магнитное квантовое число, которое принимает значения: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

${\mu }_B$ -- магнетон Бора.

С целью математического описания квантовых особенностей физических величин в соответствие каждой величине ставят оператор. Так, в квантовой механике физические величины отображаются операторами, при этом их значения определяются средними по собственным значениям операторов.

Состояние квантовой системы

Любое состояние в квантовой системе описывается при помощи волновой функции. Однако данная функция прогнозирует параметры будущего состояния системы с некоторой долей вероятности, а не достоверно, то является принципиальным отличием от классической механики. Таким образом, для параметров системы волновая функция определяет вероятностные значения. Такая неопределенность, неточность предсказаний более всего вызывала споры в среде ученых.

Измеряемые параметры квантовой системы

Самые глобальные различия между классической и квантовой механикой заключены в роли измерения параметров изучаемой квантовой системы. Проблема измерений в квантовой механике заключается в том, что при попытках провести измерения параметров микросистемы исследователь действует на систему макроприбором, чем изменяет состояние самой квантовой системы. Так, при попытке точно измерить параметр микрообъекта (координату, импульс, энергию), мы сталкиваемся с тем, что сам процесс измерения изменяет параметры, которые мы пытаемся измерить, причем существенно. Провести точные измерения в микромире невозможно. Всегда будет иметь место ошибки в соответствии с принципом неопределенности.

В квантовой механике динамические переменные представляют операторы, поэтому говорить о числовых значениях не имеет смысла, так как оператор определяет действие на вектор состояния. Результат представлен, так же вектором пространства Гильберта, а не числом.

Замечание 1

Только в том случае, если вектор состояния - собственный вектор оператора динамической переменной, то его действие на вектор можно свести к умножению на число без изменения состояния. В таком случае оператору динамической переменной можно сопоставить единственное число, которое равно собственному значению оператора. При этом можно считать, что динамическая переменная имеет определенное численное значение. Тогда динамическая переменная имеет количественное значение независимое от измерения.

В том случае, если вектор состояния не собственный вектор оператора динамической переменной, то результат измерения не становится однозначным и говорят только о вероятности того или иного значения получаемого в измерении.

Результатами теории, которые проверяемы эмпирически служат вероятности получения в измерении динамической переменной при большом количестве измерений для одного и того же вектора состояния.

Основной характеристикой квантовой системы является волновая функция, которая введена М. Борном. Физический смысл чаще всего определяют не для самой волновой функции, а квадрат ее модуля, который определяет вероятность того, что квантовая система в указанный момент времени находится в данной точке пространства. Основа микромира -- вероятность. Помимо знания волновой функции для описания квантовой системы необходима информация о других параметрах, например о параметрах поля, с которым система взаимодействует.

Процессы, которые происходят в микромире лежат за пределами чувственного восприятия человека. Следовательно, понятия и явления, которые использует квантовая механика, лишены наглядности.

Пример 1

Задание: Какова минимальная ошибка, с которой можно определить скорость электрона и протона, если координаты частиц известны с неопределенностью $1$ мкм.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

где $\triangle x$ -- неопределенность координаты, $\triangle p_x$ -- неопределенность проекции импульса частицы на ось X. Величину неопределенности импульса можно выразить как:

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Подставим правую часть выражения (1.2) вместо неопределенности проекции импульса в выражении (1.1), имеем:

Из формулы (1.3) выразим искомую неопределенность скорости:

\[\triangle v_x\ge \frac{\hbar }{m\triangle x}\left(1.4\right).\]

Из неравенства (1.4) следует, что минимальная погрешность при определении скорости частицы равна:

\[\triangle v_x=\frac{\hbar }{m\triangle x}.\]

Зная массу электрона $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,$ проведем вычисления:

\[\triangle v_{ex}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{9,1\cdot {10}^{-31}\cdot {10}^{-6}}=1,1\cdot {10}^2(\frac{м}{с}).\]

масса протона равна $m_p=1,67\cdot {10}^{-27}кг$, вычислим погрешность в измерении скорости протона при заданных условиях:

\[\triangle v_{px}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{1,67\cdot {10}^{-27}\cdot {10}^{-6}}=0,628\cdot {10}^{-1}(\frac{м}{с}).\]

Ответ: $\triangle v_{ex}=1,1\cdot {10}^2\frac{м}{с},$ $\triangle v_{px}=0,628\cdot {10}^{-1}\frac{м}{с}.$

Пример 2

Задание: Какова минимальная погрешность в измерении кинетической энергии электрона, если он находится в области, размер которой l.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac{\hbar }{l}\left(2.1\right).\]

Из неравенства (2.1) следует, что минимальная погрешность импульса равна:

\[\triangle p_x=\frac{\hbar }{l}\left(2.2\right).\]

Погрешность кинетической энергии можно выразить как:

\[\triangle E_k=\frac{{\left(\triangle p_x\right)}^2}{2m}=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.\]

Ответ: $\triangle E_k=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.$

Кабардин О.Ф. Ядерные спектры //Квант. - 1987. - № 3. - С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вы знаете, атомные ядра состоят из нуклонов - протонов и нейтронов, между которыми действуют ядерные силы притяжения и кулоновские силы отталкивания. Что может произойти с ядром при его столкновении с другим ядром, частицей или гамма-квантом? Опыты Э. Резерфорда, выполненные в 1919 году, показали, например, что под воздействием альфа-частицы из ядра может быть выбит протон. В экспериментах, проведенных Д. Чедвиком в 1932 году, было установлено, что альфа-частицы могут выбивать из атомных ядер и нейтроны («Физика 10», § 106). Но всегда ли так заканчивается процесс столкновения? Не может ли атомное ядро поглотить энергию, полученную при столкновении, и перераспределить ее между входящими в его состав нуклонами, изменив тем самым свою внутреннюю энергию? Что будет происходить с таким ядром дальше?

Ответы на эти вопросы дали прямые опыты по изучению взаимодействия протонов с атомными ядрами. Их результаты очень похожи на результаты опытов Франка и Герца по изучению столкновений электронов с атомами («Физика 10», § 96). Оказывается, при постепенном увеличении энергии протонов сначала наблюдаются только упругие столкновения с атомными ядрами, кинетическая энергия не превращается в другие виды энергии, а лишь перераспределяется между протоном и атомным ядром как одной частицей. Однако, начиная с некоторого значения энергии протона, могут происходить и неупругие столкновения, при которых протон, поглощается ядром и полностью передает ему свою энергию. Ядро каждого изотопа характеризуется строго определенным набором «порций» энергии, которые оно может принять.

Превращение ядра азота с захватом альфа-частицы и испусканием протона.

Эти опыты доказывают, что ядра обладают дискретными спектрами возможных энергетических состояний. Таким образом, квантование энергии и ряда других параметров является свойством не только атомов, но и атомных ядер. Состояние атомного ядра с минимальным запасом энергии называется основным, или нормальным, состояния с избыточной энергией (по сравнению с основным состоянием) называются возбужденными.

Атомы обычно находятся в возбужденных состояниях примерно 10 -8 секунды, а возбужденные атомные ядра избавляются от избытка энергии за гораздо более короткое время - порядка 10 -15 - 10 -16 секунды. Как и атомы, возбужденные ядра освобождаются от избытка энергии, испуская кванты электромагнитного излучения. Эти кванты называются гамма-квантами (или гамма-лучами). Дискретному набору энергетических состояний атомного ядра соответствует дискретный спектр частот излучаемых ими гамма-квантов. Гамма-лучи представляют собой поперечные электромагнитные волны, такие же, как радиоволны, видимый свет или рентгеновские лучи. Они являются самым коротковолновым видом электромагнитного излучения из всех известных, и соответствующие им длины волн лежат в диапазоне примерно от 10 -11 м до 10 -13 м.

Энергетические состояния атомных ядер и переходы ядер из одного состояния в другое с поглощением или излучением энергии принято описывать с помощью энергетических диаграмм, аналогичных энергетическим диаграммам атомов («Физика 10», § 94). На рисунке представлена энергетическая диаграмма ядра изотопа железа - \(~^{58}_{26}Fe\), полученная на основе опытов по бомбардировке протонами. Заметим, что при качественном сходстве энергетических диаграмм атомов и ядер между ними есть существенные количественные различия. Если для перевода атома из основного состояния в возбужденное требуется энергия в несколько электронвольт, то для возбуждения атомного ядра необходима энергия порядка сотен тысяч или миллионов электронвольт. Это различие обусловлено тем, что ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, в значительной степени превосходят силы кулоновского взаимодействия электронов с ядром.

Диаграмма энергетических уровней ядра изотопа железа.

Способность атомных ядер самопроизвольно переходить из состояний с большим запасом энергии в состояние с меньшей энергией объясняет происхождение не только гамма-излучения, но и радиоактивного распада ядер.

Многие закономерности в ядерных спектрах можно объяснить, если воспользоваться так называемой оболочечной моделью строения атомного ядра. Согласно этой модели, нуклоны в ядре не перемешаны в беспорядке, а, подобно электронам в атоме, располагаются связанными группами, заполняя разрешенные ядерные оболочки. При этом протонные и нейтронные оболочки заполняются независимо друг от друга. Максимальные числа нейтронов: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 и протонов: 2, 8, 20, 28, 50, 82 в заполненных оболочках получили название магических. Ядра с магическими числами протонов и нейтронов обладают многими замечательными свойствами: повышенным значением удельной энергии связи, меньшей вероятностью вступления в ядерное взаимодействие, устойчивостью по отношению к радиоактивному распаду и т. п.

Переход ядра из основного состояния в возбужденное и возвращение его в основное состояние, с точки зрения оболочечной модели, объясняется переходом нуклона с одной оболочки на другую и обратно.

При большом числе достоинств оболочечная модель ядра не способна объяснить свойства всех ядер в различных типах взаимодействий. Во многих случаях более плодотворным оказывается представление о ядре как о капле ядерной жидкости, в которой нуклоны связаны ядерными силами, кулоновскими силами и силами поверхностного натяжения . Существуют и другие модели, но ни одна из предложенных до сих пор не может считаться универсальной.

Уровни энергии (атомные, молекулярные, ядерные)

1. Характеристики состояния квантовой системы
2. Энергетические уров атомов
3. Энергетические уровни молекул
4. Энергетические уровни ядер

Характеристики состояния квантовой системы

В основе объяснения св-в атомов, молекул и атомных ядер, т.е. явлений, происходящих в элементах объема с линейными масштабами 10 -6 -10 -13 см, лежит квантовая механика. Согласно квантовой механике, всякая квантовая система (т.е. система микрочастиц, к-рая подчиняется квантовым законам) характеризуется определенным набором состояний. В общем случае этот набор состояний может быть как дискретным (дискретный спектр состояний), так и непрерывным (непрерывный спектр состояний). Характеристиками состояния изолированной системы явл. внутренняя энергия системы (всюду дальше просто энергия), полный момент количества движения (МКД) и четность.

Энергия системы.
Квантовая система, находясь в различных состояниях, обладает, вообще говоря, различной энергией. Энергия связанной системы может принимать любые значения. Этот набор возможных значений энергии наз. дискретным энергетическим спкетром, а об энергии говорят, что она квантуется. Примером может служить энергетич. спектр атома (см. ниже). Несвязанная система взаимодействующих частиц обладает непрерывным энергетическим спектром, а энергия может принимать произвольные значения. Примером такой системы явл. свободный электрон (Э) в кулоновском поле атомного ядра. Непрерывный энергетический спектр можно представить как набор бесконечно большого числа дискретных состояний, между к-рыми энергетич. зазоры бесконечно малы.

Состояние, к-рому соответствует наименьшая энергия, возможная для данной системы, наз. основным: все остальные состояния наз. возбужденными. Часто бывает удобным пользоваться условной шкалой энергии, в к-рой энергия осн. состояния считается началом отсчета, т.е. полагается равной нулю (в этой условной шкале всюду в дальнейшем энергия обозначается буквой E ). Если система, находясь в состоянии n (причем индекс n =1 присваивается осн. состоянию), обладает энергией E n , то говорят, что система находится на энергетическом уровне E n . Число n , нумерующее У.э., наз. квантовым числом. В общем случае каждый У.э. может характеризоваться не одним квантовым числом, а их совокупностью; тогда индекс n означает совокупность этих квантовых чисел.

Если состояниям n 1 , n 2 , n 3 ,..., n k соответствует одна и та же энергия, т.е. один У.э., то этот уровень называется вырожденным, а число k - кратностью вырождения.

При любых превращениях замкнутой системы (а также системы в постоянном внеш. поле) ее полная энергия энергия сохраняется неизменной. Поэтому энергия относится к т.н. сохраняющимся величинам. Закон сохранения энергии следует из однородности времени.

Полный момент количества движения.
Эта величина явл. векторной и получается сложением МКД всех частиц, входящих в систему. Каждая частица обладает как собств. МКД - спином, так и орбитальным моментом, обусловленным движением частицы относительно общего центра масс системы. Квантование МКД приводит к тому, что его абс. величина J принимает строго определенные значения: , где j - квантовое число, к-рое может принимать неотрицательные целые и полуцелые значения (квантовое число орбитального МКД всегда целое). Проекция МКД на к.-л. ось наз. магн. квантовым числом и может принимать 2j+1 значений: m j =j, j -1,...,-j . Если к.-л. момент J явл. суммой двух др. моментов , то, согласно правилам сложения моментов в квантовой механике, квантовое число j может принимать следующие значения: j =|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2 , а . Аналогично производится суммирвоание большего числа моментов. Принято для краткости говорить о МКД системы j , подразумевая при этом момент, абс. величина к-рого есть ; о магн. квантовом числе говорят просто как о проекции момента.

При различных превращениях системы, находящейся в центрально-симметричном поле, полный МКД сохраняется, т.е., как и энергия, он относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения МКД следует из изотропии пространства. В аксиально-симметричном поле сохраняется лишь проекция полного МКД на ось симметрии.

Четность состояния.
В квантовой механике состояния системы описываются т.н. волновыми ф-циями. Четность характеризует изменение волновой ф-ции системы при операции пространственной инверсии, т.е. замене знаков координат всех частиц. При такой операции энергия не изменяется, тогда как волновая ф-ция может либо остаться неизменной (четное состояние), либо изменить свой знак на противоположный (нечетное состояние). Четность P принимает два значения, соответственно . Если в системе действуют ядерные или эл.-магн. силы, четность сохраняется в атомных, молекулярных и ядерных превращениях, т.е. эта величина также относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения четности явл. следствием симметрии пространства по отношению к зеркальным отражениям и нарушается в тех процессах, в к-рых участвуют слабые взаимодействия.

Квантовые переходы
- переходы системы из одного квантового состояния в другое. Такие переходы могут приводить как к изменению энергетич. состояния системы, так и к ее качеств. изменения. Это связанно-связанные, свободно-связанные, свободно-свободные переходы (см. Взаимодействие излучения с веществом), напр., возбуждение, деактивация, ионизация, диссоциация, рекомбинация. Это также хим. и ядерные реакции. Переходы могут происходить под действием излучения - излучательные (или радиацианные) переходы или при столкновении данной системы с к.-л. др. системой или частицей - безызлучательные переходы. Важной характеристикой квантового перехода явл. его вероятность в ед. времени, показывающая, как часто будет происходить данный переход. Эта величина измеряется в с -1 . Вероятности радиац. переходов между уровнями m и n (m>n ) с излучением или поглощением фотона, энергия к-рого равна , определяются коэфф. Эйнштейна A mn , B mn и B nm . Переход с уровня m на уровень n может происходить спонтанно. Вероятность излучения фотона B mn в этом случае равна A mn . Переходы типа под действием излучения (индуцированные переходы) характеризуются вероятностями излучения фотона и поглощения фотона , где - плотность энергии излучения с частотой .

Возможность осуществления квантового перехода с данного У.э. на к.-л. другой У.э. означает, что характерное ср. время , в течение к-рого система может находится на этом У.э., конечно. Оно определяется как величина, обратная суммарной вероятности распада данного уровня, т.е. сумме вероятностей всех возможных переходов с рассматриваемого уровня на все другие. Для радиац. переходов суммарная вероятность есть , а . Конечность времени , согласно соотношению неопределенностей , означает, что энергия уровня не может быть определена абсолютно точно, т.е. У.э. обладает нек-рой шириной. Поэтому излучение или поглощение фотонов при квантовом переходе происходит не на строго определенной частоте , а внутри нек-рого частотного интервала, лежащего в окрестности значения . Рапределение интенсивности внутри этого интервала задается профилем спектральной линии , определяющим вероятность того, что частота фотона, испущенного или поглощенного при данном переходе, равна :
(1)
где - полуширина профиля линии. Если уширение У.э. и спектральных линий вызвано только спонтанными переходами, то такое уширение наз. естественным. Если в уширении определенную роль играют столкновения системы с др. частицами, то уширение имеет комбинирвоанный характер и величина должна быть заменена суммой , где вычисляется подобно , но радиац. вероятности переходов должны быть заменены столкновительными вероятностями.

Переходы в квантовых системах подчиняются определенным правилам отбора, т.е. правилам, устанавливающим, как могут меняться при переходе квантовые числа, характеризующие состояние системы (МКД, четность и т.п.). Наиболее просто правила отбора формулируются для радиац. переходов. В этом случае они определяются св-вами начального и конечного состояний, а также квантовыми характеристиками излучаемого или поглощаемого фотона, в частности его МКД и четностью. Наибольшей вероятностью обладают т.н. электрические дипольные переходы. Эти переходы осуществляются между уровнями противоположной четности, полные МКД к-рых отличаются на величину (переход невозможен). В рамках сложившейся терминологии эти переходы наз. разрешенными. Все остальные типы переходов (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т.п.) наз. запрещенными. Смысл этого термина состоит лишь в том, что их вероятности оказываются много меньше вероятностей дипольных электрических переходов. Однако они не явл. запрещенными абсолютно.

Квантовые системы и их свойства.

Распределение вероятностей по энергиям в пространстве.

Статистика бозонов. Распределение Ферми-Эйнштейна.

Статистика фермионов. Распределение Ферми-Дирака.

Квантовые системы и их свойства

В классической статистике предполагается, что частицы составляющие систему подчиняются законам классической механики. Но для многих явлений при описании микрообъектов необходимо использовать квантовую механику. Если система состоит из частиц, подчиняющихся квантовой механике, то будем её называть квантовой системой.

К принципиальным отличиям классической системы от квантовой относятся:

1) Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

2) Дискретность физических величин, описывающих микрообъекты.

3) Спиновые свойства микрочастиц.

Из первого следует невозможность точного определения всех параметров системы, определяющих её состояние с классической точки зрения. Этот факт нашел отражение в соотношении неопределенностей Гейзендберга:

Для того чтобы математически описать эти особенности микрообъектов в квантовой физике, величине ставится в соответствие линейный эрмитов оператор, который действует на волновую функцию .

Собственные значения оператора определяют возможные численные значения этой физической величины, среднее по которым совпадает со значением самой величины.

Так как импульсы и коэффициенты микрочастиц системы не могут быть измерены одновременно, волновую функцию представляют либо как функцию координат:

Либо, как функцию импульсов:

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы в единице объёма:

Волновая функция, описывающая конкретную систему, находится как собственная функция оператора Гамельтона:

Стационарное уравнение Шредингера.

Нестационарное уравнение Шредингера.

В микромире действует принцип неразличимости микрочастиц.

Если волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, то функция так же удовлетворяет этому уравнению. Состояние системы не изменится при перестановки 2 частиц.

Пусть первая частица находится в состоянии а, а вторая в состоянии в.

Состояние системы описывается:

Если частицы поменять местами, то: так как перемещение частицы не должно сказаться на поведении системы.

Это уравнение имеет 2 решения:

Оказалось, что первая функция реализуется для частиц с целым спином, а вторая с полуцелым.

В первом случае 2 частицы могут находиться в одном состоянии:

Во втором случае:

Частицы первого типа называются бозонами спин целый), частицы второго типа- фемионами (для них справедлив принцип Паули.)

Фермионы: электроны, протоны, нейтроны…

Бозоны: фотоны, дейтроны…

Фермионы и бозоны подчиняются неклассической статистике. Чтобы увидеть отличия, подсчитаем число возможных состояний системы, состоящий из двух частиц с одной энергией по двум ячейкам в фазовом пространстве.

1) Классические частицы различны. Возможно проследить за каждой частицей в отдельности.

Классические частицы.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Весь комплекс явлений, обычно понимаемый под словами «электронные свойства низкоразмерных электронных систем» имеет в основе фундаментальный физический факт: изменение энергетического спектра электронов и дырок в структурах с очень малыми размерами. Продемонстрируем основную идею размерного квантования на примере электронов, находящихся в очень тонкой металлической или полупроводниковой пленке толщиной а.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Электроны в пленке находятся в потенциальной яме глубиной, равной работе выхода. Глубину потенциальной ямы можно считать бесконечно большой, поскольку работа выхода на несколько порядков превышает тепловую энергию носителей. Типичные значения работы выхода в большинстве твердых тел имеют величину W =4 -5 э. В, на несколько порядков превышающую характерную тепловую энергию носителей, имеющий порядок величины k. T, равную при комнатной температуре 0, 026 э. В. Согласно законам квантовой механики, энергия электронов в такой яме квантуется, т. е. может принимать лишь некоторые дискретные значения En, где n может принимать целочисленные значения 1, 2, 3, …. Эти дискретные значения энергии называют уровнями размерного квантования.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Для свободной частицы с эффективной массой m*, движение которой в кристалле в направлении оси z ограничено непроницаемыми барьерами (т. е. барьерами с бесконечной потенциальной энергией), энергия основного состояния по сравнению с состоянием без ограничения возрастает на величину Это увеличение энергии называется энергией размерного квантования частицы. Энергия размерного квантования является следствием принципом неопределенности в квантовой механике. Если частица ограничена в пространстве вдоль оси z в пределах расстояния а, неопределенность zкомпоненты ее импульса возрастает на величину порядка ħ/a. Соответственно увеличивается кинетическая энергия частицы на величину E 1. Поэтому рассмотренный эффект часто называют квантово-размерным эффектом.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Вывод о квантовании энергии электронного движения относятся лишь к движению поперек потенциальной ямы (по оси z). На движение в плоскости xy (параллельно границам пленки) потенциал ямы не влияет. В этой плоскости носители движутся как свободные и характеризуются, как и в массивном образце, непрерывным квадратичным по импульсу энергетическим спектром с эффективной массой. Полная энергия носителей в квантово-размерной пленке носит смешанный дискретно непрерывный спектр

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Кроме увеличения минимальной энергии частицы квантоворазмерный эффект приводит также к квантованию энергий ее возбужденных состояний. Энергетический спектр квантово-размерной пленки - импульс носителей заряда в плоскости пленки

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Пусть электроны в системе имеют энергии, меньшие Е 2, и поэтому принадлежат нижнему уровню размерного квантования. Тогда никакой упругий процесс (например, рассеяние на примесях или акустических фононах), равно как и рассеяние электронов друг на друге, не может изменить квантовое число n , переведя электрон на вышележащий уровень, поскольку это потребовало бы дополнительных затрат энергии. Это означает, что электроны при упругом рассеянии могут изменять только свой импульс в плоскости пленки, т. е. ведут себя как чисто двумерные частицы. Поэтому квантово-размерные структуры, в которых заполнен лишь один квантовый уровень, часто называют двумерными электронными структурами.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Существуют и другие возможные квантовые структуры, где движение носителей ограничено не в одном, а в двух направлениях, как в микроскопической проволоке или нити (квантовые нити или проволоки). В этом случае носители могут свободно двигаться лишь в одном направлении, вдоль нити (назовем его осью х). В поперечном сечении (плоскость yz) энергия квантуется и принимает дискретные значения Emn (как любое двумерное движение, оно описывается двумя квантовыми числами, m и n). Полный спектр при этом тоже является дискретнонепрерывным, но лишь с одной непрерывной степенью свободы:

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Возможно, также, создание квантовых структур, напоминающих искусственные атомы, где движение носителей ограничено во всех трех направлениях (квантовые точки). В квантовых точках энергетический спектр уже не содержит непрерывной компоненты, т. е. не состоит из подзон, а является чисто дискретным. Как и в атоме, он описывается тремя дискретными квантовыми числами (не считая спина) и может быть записан в виде E =Elmn , причем, как и в атоме, энергетические уровни могут быть вырождены и зависеть лишь от одного или двух чисел. Общей особенностью низкоразмерных структур является тот факт, что, если хотя бы вдоль одного направления движение носителей ограничено очень малой областью, сравнимой по размерам с де-бройлевской длиной волны носителей, их энергетический спектр заметно меняется и становится частично или полностью дискретным.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Определения Квантовые точки – quantum dots – структуры, у которых во всех трех направлениях размеры составляют несколько межатомных расстояний (нульмерные структуры). Квантовые проволоки (нити) – quantum wires – структуры, у которых в двух направлениях размеры равны нескольким межатомным расстояниям, а в третьем – макроскопической величине (одномерные структуры). Квантовые ямы – quantum wells – структуры, у которых в одном направлении размер составляет несколько межатомных расстояний (двумерные структуры).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Минимальный и максимальный размеры Нижний предел размерного квантования определяется критическим размером Dmin, при котором в квантово-размерной структуре существует хотя бы один электронный уровень. Dmin зависит от разрыва зоны проводимости DEc в соответствующем гетеропереходе, используемом для получения квантово-размерных структур. В квантовой яме хотя бы один электронный уровень существует в том случае, если DEc превышает величину h – постоянная Планка, me* - эффективная масса электрона, DE 1 QW - первый уровень в прямоугольной квантовой яме с бесконечными стенками.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Минимальный и максимальный размеры Если расстояние между энергетическими уровнями становятся сопоставимыми с тепловой энергией k. BT , то возрастает заселенность высоких уровней. Для квантовой точки условие, при котором заселением более высоко лежащих уровней можно пренебречь записывается как E 1 QD, E 2 QD – энергии первого и второго уровня размерного квантования соответственно. Это означает, что преимущества размерного квантования могут быть полностью реализованы, если Это условие устанавливает верхние пределы для размерного квантования. Для Ga. As –Alx. Ga 1 -x. As это значение составляет 12 нм.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Важной характеристикой любой электронной системы наряду с ее энергетическим спектром является плотность состояний g(E) (количество состояний, приходящихся на единичный интервал энергии Е). Для трехмерных кристаллов плотность состояний определяют с использованием цикличных граничных условий Борна-Кармана, из которых следует, что компоненты волнового вектора электрона изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений здесь ni = 0, ± 1, ± 2, ± 3, а – размеры кристалла (в форме куба со стороной L). Объем к-пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен (2)3/V, где V = L 3 – объем кристалла.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Таким образом, число электронных состояний приходящихся на элемент объема dk = dkxdkydkz, рассчитанное на единицу объема, будет равно здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина. Число состояний, приходящихся на единичный объем в обратном пространстве, т. е. плотность состояний) не зависит от волнового вектора Иными словами, в обратном пространстве разрешенные состояния распределены с постоянной плотностью.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Функцию плотности состояний по энергии в общем случае рассчитать практически невозможно, так как изоэнергетические поверхности могут иметь довольно сложную форму. В простейшем случае изотропного параболического закона дисперсии, справедливого для краев энергетических зон можно найти число квантовых состояний, приходящихся на объем сферического слоя, заключенного между двумя близкими изоэнергетическими поверхностями, соответствующим энергиям E и E+d. E.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Объем сферического слоя в к-пространстве. dk – толщина слоя. На этот объем будут приходиться d. N состояний Учитывая связь Е и k по параболическому закону получим Отсюда плотность состояний по энергии будет равна m* - эффективная масса электрона

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Таким образом, в трехмерных кристаллах с параболическим энергетическим спектром при увеличении энергии плотность разрешенных энергетических уровней (плотность состояний) будет увеличиваться пропорционально Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне. Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий d. E

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Вычислим плотность состояний для двумерной системы. Полная энергия носителей для изотропного параболического закона дисперсии в квантово-размерной пленке, как показано выше, имеет смешанный дискретно непрерывный спектр В двумерной системе состояния электрона проводимости определяются тремя числами (n, kx, ky). Энергетический спектр разбивается на отдельные двумерные подзоны En, соответствующие фиксированным значениям n.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Кривые постоянной энергии представляют собой в обратном пространстве окружности. Каждому дискретному квантовому числу n соответствует абсолютное значение z-компоненты волнового вектора Поэтому объем в обратном пространстве, ограниченный замкнутой поверхностью данной энергии Е в случае двумерной системы разбивается на ряд сечений.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Определим зависимость плотности состояний от энергии для двумерной системы. Для этого при заданном n найдем площадь S кольца, ограниченного двумя изоэнергетическими поверхностями, соответствующие энергиям E и E+d. E: Здесь Величина двумерного волнового вектора, соответствующая данным n и E; dkr – ширина кольца. Так как одному состоянию в плоскости (kxky) соответствует площадь где L 2 – площадь двумерной пленки толщиной а, число электронных состояний в кольце, рассчитанное на единицу объема кристалла, будет равно с учетом спина электрона

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Поскольку здесь - энергия, соответствующая дну n-ой подзоны. Таким образом, плотность состояний в двумерной пленке где Q(Y) – единичная функция Хевисайда, Q(Y) =1 при Y≥ 0 и Q(Y) =0 при Y

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в двумерной пленке можно также представить в виде - целая часть, равная числу подзон, дно которых находится ниже энергии Е. Таким образом, для двумерных пленок с параболическим законом дисперсии плотность состояний в любой подзоне постоянна и не зависит от энергии. Каждая подзона дает одинаковый вклад в общую плотность состояний. При фиксированной толщине пленки плотность состояний меняется скачком, когда не изменится на единицу.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Зависимость плотности состояний двумерной пленки от энергии (а) и толщины а (б).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности В случае произвольного закона дисперсии или при другом виде потенциальной ямы зависимости плотности состояния от энергии и толщины пленки могут отличаться от приведенных выше, однако основная особенность – немонотонный ход – сохранится.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Вычислим плотность состояний для одномерной структуры – квантовой нити. Изотропный параболический закон дисперсии в этом случае можно записать в виде х направлена вдоль квантовой нити, d – толщина квантовой нити вдоль осей y и z, kx - одномерный волновой вектор. m, n – целые положительные числа, характеризующие где ось квантовые подзоны. Энергетический спектр квантовой нити разбивается, таким образом, на отдельные перекрывающиеся одномерные подзоны (параболы). Движение электронов вдоль оси x оказывается свободном (но с эффективной массой), а вдоль двух других осей движение ограничено.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Энергетический спектр электронов для квантовой нити

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Число квантовых состояний, приходящихся на интервал dkx , рассчитанное на единицу объема где энергия, соответствующая дну подзоны с заданными n и m.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Таким образом Следовательно При выводе этой формулы учтено спиновое вырождение состояний и то, что одному интервалу d. E соответствуют два интервала ±dkx каждой подзоны, для которой (E-En, m) > 0. Энергия E отсчитывается от дна зоны проводимости массивного образца.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Зависимость плотности состояний квантовой нити от энергии. Цифры у кривых показывают квантовые числа n и m. В скобках указаны факторы вырождения уровней подзон.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии В пределах отдельной подзоны плотность состояний уменьшается с увеличением энергии. Полная плотность состояний представляет собой суперпозицию одинаковых убывающих функций (соответствующих отдельным подзонам), смещенных по оси энергии. При Е = E m, n плотность состояний равна бесконечности. Подзоны с квантовыми числами n m оказываются дважды вырожденными (только для Ly = Lz d).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии При трехмерном ограничении движения частиц мы приходим к задаче о нахождении разрешенных состояний в квантовой точке или нульмерной системе. Используя приближение эффективной массы и параболический закон дисперсии, для края изотропной энергетической зоны спектр разрешенных состояний квантовой точки с одинаковым размерам d вдоль всех трех координатных осей будет иметь вид n, m, l = 1, 2, 3 … - положительные числа, нумерующие подзоны. Энергетический спектр квантовой точки представляет собой набор дискретных разрешенных состояний, соответствующих фиксированным n, m, l.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Число состояний в подзоны, соответствующих одному набору n, m, l , рассчитанное на единицу объема, Полное число состояний, имеющих одинаковую энергию, рассчитанное на единицу объема Вырождение уровней в первую очередь определяется симметрией задачи. g – фактор вырождения уровня

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Вырождение уровней в первую очередь определяется симметрией задачи. Например, для рассматриваемого случая квантовой точки с одинаковыми размерами во всех трех измерениях, уровни будут трехкратно вырождены, если два квантовых числа равны между собой и не равны третьему, и шестикратно вырождены, если все квантовые числа не равны между собой. Конкретный вид потенциала также может приводить к дополнительному, так называемому случайному вырождению. Например, для рассматриваемой квантовой точки, к трехкратному вырождению уровней E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), связанному с симметрией задачи, добавляется случайное вырождение E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 как в первом, так и во втором случаях), связанное с видом ограничивающего потенциала (бесконечная прямоугольная потенциальная яма).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Распределение числа разрешенных состояний N в зоне проводимости для квантовой точки с одинаковыми размерами во всех трех измерениях. Цифры обозначают квантовые числа; в скобках указаны факторы вырождения уровней.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Свойства равновесных электронов в полупроводниках зависят от фермиевской функции распределения, которая определяет вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е EF – уровень Ферми или электрохимический потенциал, Т – абсолютная температура, k –постоянная Больцмана. Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми лежит в запрещенной зоне энергий и значительно удален от дна зоны проводимости Ес (Ec – EF) > k. T. Тогда в распределении Ферми-Дирака единицей в знаменателе можно пренебречь и оно переходит в распределение Максвелла-Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости g(E), функция Ферми-Дирака для трех температур и функция Максвелла-Больцмана для трехмерного электронного газа. При Т = 0 функция Ферми-Дирака имеет вид разрывной функции. Для Е EF функция равна нулю и соответствующие квантовые состояния совершенно свободны. При Т > 0 функция Ферми. Дирака размывается в окрестности энергии Ферми, где она быстро изменяется от 1 до 0 и это размытие пропорционально k. T, т. е. тем больше, чем выше температура. (Рис. 1. 4. Гуртов)

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Концентрация электронов в зоне проводимости находится путем суммирования по всем состояниям Отметим, что в качестве верхнего предела в этом интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Но так как функция Ферми-Дирака для энергий E >EF экспоненциально быстро убывает с увеличением энергии, то замена верхнего предела на бесконечность не меняет значения интеграла. Подставляя в интеграл значения функций, получим -эффективная плотность состояний в зоне проводимости

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Двумерные электронные системы Определим концентрацию носителе заряда в двумерном электронном газе. Поскольку плотность состояний двумерного электронного газа Получим Здесь также верхний предел интегрирования взят равным бесконечности, учитывая резкую зависимость функции распределения Ферми-Дирака от энергии. Интегрируя где

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Двумерные электронные системы Для невырожденного электронного газа, когда В случае сверхтонких пленок, когда можно учитывать заполнение лишь нижней подзоны При сильном вырождении электронного газа, когда где n 0 - целая часть

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Следует отметить, что в квантово-размерных системах за счет меньшей плотности состояний условие полного вырождения не требует экстремально высоких концентраций или низких температур и достаточно часто реализуется в экспериментах. Например, в n-Ga. As при N 2 D = 1012 см-2 вырождение будет иметь место уже при комнатной температуре. В квантовых нитях интеграл для расчета, в отличие от двумерного и трехмерного случаев не вычисляется аналитически произвольном вырождении, и простые формулы могут быть написаны лишь в предельных случаях. В невырожденном одномерном электронном газе в случае сверхтонких нитей, когда можно учитывать заполнение лишь наинизшего уровня с энергией Е 11 концентрация электронов где одномерная эффективная плотность состояний