Конспект урока "Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции". Конспект урока "уравнение касательной к графику функции" Презентация касательная к графику функции уравнение касательной

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока:

  1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
  2. Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
  3. Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Урок по теме "Касательная. Уравнение касательной"

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока:

  1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
  2. Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
  3. Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока

I Организационный момент.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.

II Актуализация материала.
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Примеры.
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.


Рисунок 1


Рисунок 2

Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4 , проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3x + b , проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа.

  1. Сформулируйте определение производной.
  2. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?

Отгадай фамилию учёного:

Ключ к ответам

Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам.
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

  • Начнём с углового коэффициента



Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А (x 0 , f(x 0 )) .
Выберем на нём точку M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) и проведем секущую AM .
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT . Другими словами AT , обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x 0 , f(x 0 )).

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Значение производной в точке х 0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0 .

Существование производной функции в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0 , f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f "(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Определение касательной : Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f - это прямая, проходящая через точку (x 0 , f(x 0 )) и имеющая угловой коэффициент f "(х 0 ) .
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х 1 , х 2 , х 3 , и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)



Рисунок 4

Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен. Поэтому f "(х 1 )>0, f "(х 2 ) = 0, f "(х 3 )

  • Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А(x 0 , f(x 0 ) ).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b .

  1. Найдём угловой коэффициент k = f "(х 0 ), получим y = f "(х0)∙x + b, f(x) = f "(х 0 )∙x + b
  2. Найдём b . b = f(x 0 ) - f "(х 0 )∙x 0 .
  3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f "(х 0 )∙x + f(x 0 ) - f "(х 0 )∙x 0 или y = f(x 0 ) + f "(х 0 )(x - x 0 )
  • Обобщение материала лекции.



- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) В каких точках графика касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?


Рисунок 5



Рисунок 6

3) На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f "(x) в точке x 0 .


Рисунок 7

2. Письменная работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)

3. Решение опорных задач.
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

  1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
  2. найдём производную функции: f "(х) = 3х 2 – 3;
  3. вычислим значение производной: f "(-2) = - 9.;
  4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y 0 = 1.
Решение:

Ответ: y = –x + 2 .

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7 , параллельной прямой у = х .
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x . Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y"(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х 0 точек касания удовлетворяет уравнению 3х 2 – 2 = 1 , откуда х 0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9 .
Ответ: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f "(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

5. Самостоятельная работа обучающего характера.

Работа в парах.


Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.

6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.
Углом пересечения графика функции y = f(x) и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.

7. Самостоятельная работа контролирующего характера. (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.

2 вариант.

  1. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 - 12х + 7 параллельна оси х?
  2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 - 4 в точке с абсциссой х 0 = - 2. Выполните рисунок.
  3. Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3 .

3 вариант.

VI Подведение итогов урока.
1. Ответы на вопросы
- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице.

Литература

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений. Составители:. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2008.

2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2008.
3. Мультимедийный диск фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/


Уроки 70-71. Уравнение касательной к графику функции

09.07.2015 5132 0

Цель: получить уравнение касательной к графику функции.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Найдите производную функции у = 3х4 – 2 cos x .

Ответ:

в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(x ) = 0, если

Ответ:

Вариант 2

1. Найдите производную функции у = 5хб + 3 sin x .

Ответ:

2. Вычислите значение производной функции в точке х = π.

Ответ:

3. Решите уравнение y ’(х) = 0, если

Ответ:

III. Изучение нового материала

Наконец перейдем к заключительному этапу изучения производной и рассмотрим на оставшихся занятиях применение производной. На этом занятии обсудим касательную к графику функции.

Понятие касательной уже рассматривалось ранее. Было показано, что график дифференцируемой в точке а функции f (х) вблизи а практически не отличается от графика касательной, а значит, он близок к секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (а + Δх; f (а + Δх)). Любая из таких секущих проходит через точку М(а; f (а)). Чтобы написать уравнение касательной, надо задать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей Δ f /Δ x при Δх → 0 стремится к числу f "(а), которое является угловым коэффициентом касательной. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх → 0.

Теперь получим уравнение касательной к графику функции f (х). Так как касательная является прямой и ее угловой коэффициент f "(а), то можно записать ее уравнение у = f "(a ) · x + b . Найдем коэффициент b из условия, что касательная проходит через точку М(а; f (а)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и получим: f (а) = f "(a ) · a + b , откуда b = f (а) - f "(а) · а. Теперь подставим найденное значение b в уравнение касательной и получим: или Это и есть уравнение касательной. Обсудим применение уравнения касательной.

Пример 1

Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f (x ) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°.

Пример 2

Напишем уравнение касательной графику функции f (х) = -х2 + 4х в точке a = 1.

f "(х) и самой функции f (x ) в точке a = 1 и получим: f "(a ) = f "(1) = -2 · 1 + 4 = 2 и f (a ) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: у = 2(х - 1) + 3 или у = 2х + 1.

Для наглядности на рисунке приведены график функции f (x ) и касательная к этой функции. Касание происходит в точке M (1; 3).

На основе примеров 1 и 2 можно сформулировать алгоритм получения уравнения касательной к графику функции у = f (x ):

1) обозначить абсциссу точки касания буквой а;

2) вычислить f (а);

3) найти f "(x ) и вычислить f "(a );

4) подставить найденные числа a , f (a ), f "(a ) в формулу y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).

Заметим, что изначально точка а может быть неизвестна и ее приходится искать из условий задачи. Тогда в алгоритме в п. 2 и 3 слово «вычислить» надо заменить словом «записать» (что иллюстрирует пример 3).

В примере 2 абсцисса а точки касания была задана напрямую. Во многих случаях точка касания определяется различными дополнительными условиями.

Пример 3

Напишем уравнения касательных, проведенных из точки A (0; 4) к графику функции f (x ) = - x 2 + 2х.

Легко проверить, что точка А не лежит на параболе. Вместе с тем неизвестны точки касания параболы и касательных, поэтому для нахождения этих точек будет использовано дополнительное условие - прохождение касательных через точку А.

Предположим, что касание происходит в точке а. Найдем производную функции: Вычислим значения производной f "(x ) и самой функции f (х) в точке касания а и получим: f ’(а) = -2а + 2 и f (a ) = -а2 + 2а. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: или Это уравнение касательной.

Запишем условие прохождения касательной через точку А, подставив координаты этой точки. Получим: 4 или 4 = а2, откуда а = ±2. Таким образом, касание происходит в двух точках В(-2; -8) и С(2; 0). Поэтому таких касательных будет две. Найдем их уравнения. Подставим значения а = ±2 в уравнение касательной. Получим: при a = 2 или ух = -2х + 4; при a = -2 или у2 = 6х + 4. Итак, уравнения касательных у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4.

Пример 4

Найдем угол между касательными, используя условия предыдущей задачи.

Проведенные касательные у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4 составляют с положительным направлением оси абсцисс углы а1 и а2 (причем tg a 1 = -2 и tg a 2 = 6) и между собой угол φ = a 1 - а2. Найдем, используя известную формулу, откуда φ = arctg 8/11.

Пример 5

Напишем уравнение касательной к графику функции параллельной прямой у = -х + 2.

Две прямые параллельны друг другу, если они имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, угловой коэффициент искомой касательной равен f ’(a ), где a - абсцисса точки касания. Поэтому для определения а имеем дополнительное условие f ’(a ) = -1.

Используя формулу для производной частного функций, найдем производную: Найдем значение производной в точке a и получим:

Получим уравнение или (а - 2)2 = 4, или а - 2 = ±2, откуда а = 4 и а = 0. Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Подставим значения а = 4 и а = 0 в уравнение касательной у = f ’(a )(x - а) + f (а). При а = 4 имеем: и касательная у1 = -(х - 4) + 3 или у1 = -х + 7. При а = 0 получим: и касательная у2 = -(х - 0) – 1 или у2 = -х - 1. Итак, уравнения касательных у1 = -х + 7 и у2 = -х - 1.

Заметим, что если f "(a ) не существует, то касательная или не существует (как у функции f (х) = |х| в точке (0; 0) - рис. а, или вертикальна (как у функции в точке (0; 0) - рис. б.


Итак, существование производной функции f (х) в точке а эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (а; f (а)) графика. При этом угловой коэффициент касательной равен f "(а). В этом заключается геометрический смысл производной.

Понятие производной позволяет проводить приближенные вычисления. Уже неоднократно отмечалось, что при Δх → 0 значения функции f (x ) и касательной к ней у(х) практически совпадают. Поэтому при Δх → 0 поведение функции f (х) в окрестности точки х0 приближенно можно описать формулой (фактически уравнение касательной). Эта формула с успехом используется для приближенных вычислений.

Пример 6

Вычислим значение функции в точке х = 2,03.

Найдем производную данной функции: f "(х) = 12х2 - 4х + 3. Будем считать, что х = а + Δх, где а = 2 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: и Теперь определим значение функции в заданной точке х = 2,03. Имеем:

Разумеется, приведенную формулу удобно использовать, если значения f (а) и f "(a ) легко вычислить.

Пример 7

Вычислим

Рассмотрим функцию Найдем производную: Будем считать, что х = а + Δх, где а = 8 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь определим значение функции в заданной точке х = 8,03. Имеем:

Пример 8

Обобщим полученный результат. Рассмотрим степенную функцию f (х) = х n и будем считать, что х = а + Δх и Δх → 0. Найдем f "(х) = n х n -1 и вычислим значения функции и ее производной в точке а, получим: f (a ) = an и f ’(a ) = nan -1 . Теперь имеем формулу f (х) = а n + nan -1 Δх. Применим ее для вычисления числа 0,98-20. Будем считать, что a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогда получим:

Разумеется, приведенную формулу можно использовать и для любых других функций, в частности тригонометрических.

Пример 9

Вычислим tg 48°.

Рассмотрим функцию f (x ) = tg x и найдем производную: Будем считать, что х = a + Δ х, где a = 45° = π/4 и (еще раз обратим внимание на то, что в тригонометрии углы обычно измеряют в радианах). Найдем значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь вычислим (учтено, что π = 3,14).

IV. Контрольные вопросы

1. Уравнение касательной к графику функции.

2. Алгоритм выведения уравнения касательной.

3. Геометрический смысл производной.

4. Применение уравнения касательной для приближенных вычислений.

V. Задание на уроках

§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9 (а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.

VI. Задание на дом

§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.

VII. Творческие задания

1. В каких точках х касательные к графикам функций параллельны?

Ответ: х = -1, х = 3.

2. При каких х касательные к графикам функций у = 3 cos 5 x - 7 и у = 5 cos 3 x + 4 параллельны?

Ответ:

3. Под какими углами пересекаются кривые у = х2 и

Ответ: π/2 и arctg 3/5.

4. Под какими углами пересекаются кривые у = cos x и у = sin х?

Ответ:

5. К параболе у = 4 - х2 в точке с абсциссой х = 1 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью ординат.

Ответ: (0; 5).

6. К параболе у = 4х - х2 в точке с абсциссой х = 3 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Ответ: (9/2; 0).

7. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе у = х2.

Ответ:

8. К графику функции у = 3х2 + 3х + 2 проведены касательные с угловыми коэффициентами k 1 = 0 и k 2 = 15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки касания.

Ответ: у = 12х - 4.

9. Найдите уравнения прямых, касающихся одновременно парабол у = х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х - 11.

Ответ: у = 7х - 11 и у = х - 2.

10. Напишите уравнение общей касательной к параболам у = -3х2 + 4х + 4 и у = -3х2 + 16х - 20.

Ответ: у = -2х + 7.

11. Касательная к графику функции у = х2 - 4х - 3 проведена в точке х = 0. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Ответ: 9/8.

12. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х = 2.

Ответ: 1.

VIII. Подведение итогов уроков

Разделы: Математика

Цели.

  • Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
  • Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
  • Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.

Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.

Ход урока

По картам у учащихся повторение теоретического материала.

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)

2. Сформулируйте правила нахождения производной.

(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))

8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.

(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)

9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.

(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)

10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?

Индивидуальная работа.

Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).

Уровень А.

Вариант 1.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.

2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .

Вариант 2.

1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

2. Как в В. 1.

3. Найдите производную функции:

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.

Итог урока.

Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.

Домашнее задание дается индивидуально:

а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Возмите производную функций:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовите схему исследования функции.

Класс: 10

Презентация к уроку























Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

  1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
  2. Развивать логическое мышление, математическую речь.
  3. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

  1. Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)
  2. Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
  3. Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)
  4. Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

(Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; ., т.е.

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

  • Что называется касательной к графику функции в точке?
  • В чем заключается геометрический смысл производной?
  • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

  1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
  4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.
Открытый урок алгебры в 11 классе 19.10. 2011 г.

Учитель: Горбунова С. В.

Тема урока: Уравнение касательной к графику функции.

Цели урока


  1. Уточнить понятие «касательной».

  2. Вывести уравнение касательной.

  3. Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции
у = f (x)».

  1. Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

  2. Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.

Оборудование: компьютер, презентация, проектор, интерактивная доска, карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Структура урока:


  1. О.Н. У.

  2. Сообщение темы урока

  3. Повторение изученного материала

  4. Постановка проблемы.

  5. Объяснение нового материала.

  6. Создание алгоритма «составления уравнения касательной».

  7. Историческая справка.

  8. Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.

  9. Домашнее задание.

  10. Самостоятельная работа с самопроверкой

  11. Подведение итогов урока.

  12. Рефлексия
Ход урока

1. О.Н.У.

2. Сообщение темы урока

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.(слайд 2)


  • Плохих идей не бывает

  • Мыслите творчески

  • Рискуйте

  • Не критикуйте
Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран. Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала (слайд 3).

Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

^ 4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: (слайд 6)

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач
^ 5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.(у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а)) и пусть существует производная f "(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (да, k = f "(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f "(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f "(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)


  1. (а, f (а)) – точка касания

  2. f "(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент

  3. (х,у) – любая точка касательной
И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма (слайд 11).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:


  1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

  2. Вычислим f(a).

  3. Найдем f "(х) и вычислим f "(а).

  4. Подставим найденные значения числа а, f(а), f "(а) в уравнение касательной.

  5. y = f(a) + f "(а) · (x-a).
(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

  1. Историческая справка (слайд 12).
Внимание на экран. Расшифруйте слово

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

8. Закрепление (слайд 16-18).

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.


  1. а = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f "(x) = 2х – 3,
    f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;

  4. y = 9 – 5 · (x + 1),
y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f"(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x 1 ;у 1), (х 2 ; у 2)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f"(x) в точке а = -2.

Решение: график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Домашнее задание (слайд 19).

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

^ 9.Самостоятельная работа

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.


  • Что называется касательной к графику функции в точке?

  • В чём заключается геометрический смысл производной?

  • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
11. Рефлексия:

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Читайте также