Известны все стороны треугольника найти медиану. Медиана набора чисел это. Мода. Медиана. Генеральная и выборочная средняя

Мода и медиана – особого рода средние, которые используются для изучения структуры вариационного ряда. Их иногда называют структурными средними, в отличие от рассмотренных ранее степенных средних.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мода имеет большое практическое применение и в ряде случаев только мода может дать характеристику общественных явлений.

Медиана – это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которой достигла половина единиц совокупности. Применение медианы наряду со средней или вместо нее целесообразно при наличии в вариационном ряду открытых интервалов, т.к. для вычисления медианы не требуется условное установление границ отрытых интервалов, и поэтому отсутствие сведений о них не влияет на точность вычисления медианы.

Медиану применяют также тогда, когда показатели, которые нужно использовать в качестве весов, неизвестны. Медиану применяют вместо средней арифметической при статистических методах контроля качества продукции. Сумма абсолютных отклонений варианты от медианы меньше, чем от любого другого числа.

Рассмотрим расчет моды и медианы в дискретном вариационном ряду:

Определить моду и медиану.

Мода Мо = 4 года, так как этому значению соответствует наибольшая частота f = 5.

Т.е. наибольшее число рабочих имеют стаж 4 года.

Для того, чтобы вычислить медиану, найдем предварительно половину суммы частот. Если сумма частот является числом нечетным, то мы сначала прибавляем к этой сумме единицу, а затем делим пополам:

Медианой будет восьмая по счету варианта.

Для того, чтобы найти, какая варианта будет восьмой по номеру, будем накапливать частоты до тех пор, пока не получим сумму частот, равную или превышающую половину суммы всех частот. Соответствующая варианта и будет медианой.

Ме = 4 года.

Т.е. половина рабочих имеет стаж меньше четырех лет, половина больше.

Если сумма накопленных частот против одной варианты равна половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Вычисление моды и медианы в интервальном вариационном ряду

Мода в интервальном вариационном ряду вычисляется по формуле

где Х М0 - начальная граница модального интервала,

h м 0 – величина модального интервала,

f м 0 , f м 0-1 , f м 0+1 – частота соответственно модального интервала, предшествующего модальному и последующего.

Модальным называется такой интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Пример 1

Группы по стажу	Число рабочих, чел	Накопленные частоты

Определить моду и медиану.

Модальный интервал , т.к. ему соответствует наибольшая частота f = 35. Тогда:

Хм 0 =6, fм 0 =35

h м 0 =2, fм 0-1 =20

fм 0+1 =11

Вывод: Наибольшее число рабочих имеет стаж примерно 6,7 лет.

Для интервального ряда Ме вычисляется по следующей формуле:

где Хм е – нижняя граница медиального интервала,

hм е – величина медиального интервала,

– половина суммы частот,

fм е – частота медианного интервала,

Sм е-1 –сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному.

Медианный интервал – такой интервал, которому соответствует кумулятивная частота, равная или превышающая половину суммы частот.

Определим медиану для нашего примера.

т.к 82>50, то медианный интервал .

Хм е =6, fм е =35,

hм е =2, Sм е-1 =47,

Вывод: Половина рабочих имеет стаж меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж больше, чем 6,16 лет.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей. Наиболее известные - медиана, квартили, децили, перцентили.

1) Самый известный квантиль - медиана , делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Медиана для дискретного ряда.

Для определения медианы в дискретном ряду сначала порядковый номер медианы по формуле: , а затем о пределяют, какое значение признака обладает накопленной частотой, равной номеру медианы.

Если ряд содержит четное число элементов, то номер медианы будет нецелым числом и медиана будет равна средней из двух значений признака, находящихся в середине. Номер первого из этих признаков - целая часть номера медианы, для второго - номер медианы, округленный до целого числа.

Медиана для интервального ряда

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана.

Для этого:

1) определяется номер медианы по формуле: ,

2) затем по накопленной частоте определяется интервал, в который входит элемент с таким номером,

3) затем — значение медианы по формуле:

- — искомая медиана

- — нижняя граница интервала, который содержит медиану

- i — ширина интервала (верхняя граница интервала - нижняя граница)

- — сумма частот или число элементов в группе

Накопленная частота интервала, предшествующего медианному

- — частота медианного интервала

Пример . Найти моду и медиану для интервального ряда.

Решение :

1) Определим моду

В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит, что модальный возраст студентов равен 27 годам.

2) Определим медиану.

Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит, что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

2) Квартили

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равные по количеству элементов части.

Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) , квартиль третьего порядка (верхний квартиль) . Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой. Второй квартиль делит совокупность на две равные части и является медианой.

Для расчёта квартилей можно поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

медиана

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифм. среднее 2-го и 3-го элеметов, а за нижнюю арифм. среднее 7-го и 8-го элементов.

медиана

1 квартиль 3 квартиль

Расчет квартилей для дискретного ряда :

Расчет квартилей для дискретного ряда:

1. В дискретном ряду сначала определяют номера (позиции) квартилей :

позиция 1-го квартиля

позиция 3-го квартиля

2. Если номер квартиля - целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, номер квартиля равен 20, его значение будет равно значению признака с S =20 (накопленной частотой равной 20).

Если номер квартиля - нецелое число, то квартилем будет условное число между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма, состоящая из значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между значением этого элемента и значением следующего элемента.

Например, если номер квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 (0,25) разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

Расчет квартилей для интервального ряда:

Для расчета квартилей для интервального ряда:

1) Определяем номер квартиля,

2) Определяем квартильный интервал,

3) Рассчитываем квартиль по формуле:

Нижняя граница интервала, содержащего первый квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов
- нижняя граница интервала, содержащего третий квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов
- ширина интервала
- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему первый квартиль
- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему третий квартиль
- частота интервала, содержащего первый квартиль
- частота интервала, содержащего третий квартиль

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Краткая теория

Наиболее широкое применение в статистике имеют структурные средние, к числу которых относятся мода и медиана (непараметрические средние).

Мода - величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). К моде (Мо) прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение (цена на рынке, по которой было совершено наибольшее число продаж данного товара, номер обуви, который пользуется наибольшим спросом у покупателей и т. д.). Мода используется только в совокупностях большой численности. В дискретном ряду мода находится как варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальном ряду сначала находится модальный интервал, то есть интервал, обладающий наибольшей частотой, а затем – приближенное значение модальной величины признака по формуле:

– нижняя граница модального интервала

- величина модального интервала

– частота интервала, предшествующего модальному

– частота модального интервала

– частота интервала, следующего за модальным

Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей. Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили - на 100 частей.

Медиана - величина признака у единицы, находящейся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными значениями признака, то медиана (Me) находится как серединное значение признака.

Если ряд распределения дискретный, то медиана находится как серединное значение признака (например, если число значений нечетное – 45, то соответствует 23 значению признака в ряду значений, расположенных в порядке возрастания, если число значений четное – 44, то медиана соответствует полусумме 22 и 23 значений признака).

Если ряд распределения интервальный, то первоначально находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частот делят пополам и на основании последовательного накопления (суммирования) частот интервалов, начиная с первого, находят интервал, где расположена медиана. Значение медианы в интервальном ряду вычисляют по формуле:

- нижняя граница медианного интервала

- величина медианного интервала

Сумма частот ряда

– сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному

– частота медианного интервала

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величины , 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и , остальные 25% превосходят . Квартили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Для интервального ряда:

Децилем называется структурная переменная, делящая распределение на 10 равных частей по числу единиц в совокупности. Децилей 9, а децильных групп 10. Децили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы и квартилей.

В целом общая формула для расчета квантилей в интервальном ряду такова:

– порядковый номер квантиля

– размерность квантиля (на сколько частей эти квартили делят совокупность)

– нижняя граница квантильного интервала

– ширина квантильного интервала

Накопленная частота предквантильного интервала

Для дискретного ряда номер квантиля можно найти по формуле:

Пример решения задачи

Условие задачи 1 (дискретный ранжированный ряд)

В результате исследований установлен среднемесячный доход жильцов одного подъезда:

Определите:

Модальный и медианный доход, квантили и децили дохода.

Решение задачи

Имеем уже ранжированный ряд - значения дохода жильцов распределены по возрастанию.

Мода - наиболее часто встречающееся значение. В данном случае имеем ряд с двумя модами.

Медиана - такое значение признака, которое делит упорядоченное множество данных пополам.

Квартили - значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величины ; 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и ; остальные 25% превосходят .

Дицили делят ряд на 10 равных частей:

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК .

Условие задачи 2 (интервальный ряд)

Для определения среднего размера вклада в кредитном учреждении были получены следующие данные:

Рассчитайте структурные средние (моду, медиану, квартили).

Решение задачи

Вычислим моду размера вклада:

Мода - варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Мода вычисляется по формуле:

Начало модального интервала

Величина интервала

Частота модального интервала

Частота интервала, предшествующего модальному

Частота интервала, следующего за модальным

Таким образом, наибольшее количество вкладов имеют размер 30,7 тыс.р.

Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Расчет медианы производится по формуле:

Начало (нижняя граница) медианного интервала

Величина интервала

Сумма всех частот ряда

Частота медианного интервала

Сумма накопленных частот вариантов до медианного

Таким образом, половина вкладов имеет размер до 28 тыс.р., другая половина - более 28 тыс.р.

Вычислим квантили:

Таким образом 25% вкладов меньше 20,8 тыс.р., 25% вкладов лежат в интервале от 20,8 тыс.р. до 28 тыс.р., 25% лежат в интервале от 28 тыс.р. до 33 тыс.р., 25% больше величины в 33 тыс.р.