Введите функцию, для которой надо найти интеграл
Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.
Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
Sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
Cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
X*arcsin(x)
Арккосинус
X*arccos(x)
Применение логарифма
X*log(x, 10)
Натуральный логарифм
Экспонента
Tg(x)*sin(x)
Котангенс
Ctg(x)*cos(x)
Иррациональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
X*arctg(x)
Арккотангенс
X*arсctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
Ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x
или |x|
)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e
число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция - экспонента от x
(что и e
^x
)
log(x)
or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x)
, надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)
=log(x)/log(10))
pi
Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x)
или x^2
Функция - Квадрат x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5
, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
Другие функции:
floor(x)
Функция - округление x
в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:
Находим: x 1 = -2, x 2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).
Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:
По формуле Ньютона-Лейбница находим:
Найти площадь области, ограниченной эллипсом .
Решение.
Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем
Применим подстановку x = a sin t , dx = a cos t dt . Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t , a = a sin t . Можно положить α = 0 и β = π /2.
Находим одну четвертую искомой площади
Отсюда S = πab .
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = - x 2 + x + 4 и y = - x + 1.
Решение.
Найдем точки пересечения линий y = -x 2 + x + 4, y = -x + 1, приравнивая ординаты линий: -x 2 + x + 4 = -x + 1 или x 2 - 2x - 3 = 0. Находим корни x 1 = -1, x 2 = 3 и соответствующие им ординаты y 1 = 2, y 2 = -2.
По формуле площади фигуры получаем
Определить площадь, ограниченную параболой y = x 2 + 1 и прямой x + y = 3.
Решение.
Решая систему уравнений
находим абсциссы точек пересечения x 1 = -2 и x 2 = 1.
Полагая y 2 = 3 - x и y 1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем
Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r 2 = a 2 cos 2 φ .
Решение.
В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f (φ ) и двумя полярными радиусами φ 1 = ʅ и φ 2 = ʆ , выразится интегралом
В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади
Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .
Вычислить длину дуги астроиды x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Решение.
Запишем уравнение астроиды в виде
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Положим x 1/3 = a 1/3 cos t , y 1/3 = a 1/3 sin t .
Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды
x = a cos 3 t , y = a sin 3 t , (*)
где 0 ≤ t ≤ 2π .
Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L , соответствующую изменению параметра t от 0 до π /2.
Получаем
dx = -3a cos 2 t sin t dt , dy = 3a sin 2 t cos t dt .
Отсюда находим
Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π /2, получаем
Отсюда L = 6a .
Найти площадь, ограниченную спиралью Архимеда r = aφ и двумя радиусами-векторами, которые соответствуют полярным углам φ 1 и φ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Решение.
Площадь, ограниченная кривой r = f (φ ) вычисляется по формуле , где α и β - пределы изменения полярного угла.
Таким образом, получаем
(*)
Из (*) следует, что площадь, ограниченная полярной осью и первым витком спирали Архимеда (φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Аналогичным образом находим площадь, ограниченную полярной осью и вторым витком спирали Архимеда (φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Искомая площадь равна разности этих площадей
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x 2 и x = y 2 .
Решение.
Решим систему уравнений
и получим x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, откуда точки пересечения кривых O (0; 0), B (1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA :
Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) ; б) .
Решение.
а) На отрезке функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x , находим
б) На отрезке , функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок разделить на два и [π , 2π ], в каждом из которых функция сохраняет знак.
По правилу знаков, на отрезке [π , 2π ] площадь берется со знаком минус.
В итоге, искомая площадь равна
Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a .
Решение.
Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Ox площади OAB , равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.
Обозначим объем тела вращения через V x ; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a - абсциссы точек B и A . Из уравнения эллипса находим . Отсюда
Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b , объем тела равен )
Найти площадь, ограниченную параболами y 2 = 2 px и x 2 = 2 py .
Решение.
Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x (x 3 - 8p 3) = x (x - 2p )(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Находим корни уравнений:
Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p .
Искомую площадь находим по формуле
Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= }