Характеристики статистических данных. Числовые характеристики статистического ряда. II. Проверка домашнего задания

Отчет по лабораторным работам

по предмету «Методы и средства статистической обработки данных»

Выполнила: Галимова А.Р., гр. 4195

Проверил: Мокшин В.В.

Казань, 2013

1. Индивидуальное задание. 3

2. Планирование экспериментов. 4

2.1. Стратегическое планирование. 4

2.1.1. D - оптимальные планы.. 5

3. Основные статистические характеристики ИСД. 8

4. Оценка нормальности ИСД. 9

5. Временное прогнозирование. 13

6. Корреляционный анализ. 15

7. Кластерный анализ. 16

8. Факторный анализ. 22

9. Регрессионный анализ. 27

10. Дисперсионный анализ. 35

11. Оптимизация значений факторов и результативных показателей эффективности. 35

Выводы.. 36

Приложение. 37

Индивидуальное задание

BUF1 – на 3 места;

BUF2 − неограниченное количество мест;

GOT − экспоненциальный закон, среднее 20000 единиц времени;

VOSSТ −спец. эрл.закон, среднее в одной фазе 25 ед. вр., кол. фаз 3;

GT− равномерный закон, 225±25 единиц времени;

РК1 – экспоненциальный закон, среднее Х1=100 ед. времени;

РК2− нормальный закон, среднее Х2=90, ст. откл. 8 ед. вр.;

KAN1-KANМ– равномерный закон, 75±15 единиц времени;

Х3=М – количество каналов.

Выбор KANала для передачи по наименьшему количеству задач, по которым передана информация. Режим недоступности накладывается и снимается по KANалам независимо друг от друга.

Завершить моделирование после вывода из системы 300 задач (решённых плюс отказы).

Оптимизируемые факторы: Х1 – среднее время решения на ПК1, Х2 – среднее время решения на ПК2, Х3 – количество каналов. Х1 и Х2 менять на ±20% от указанных средних значений; Х3 от 2 до 6.

Построим модель в системе Arena

Рис.1 – Имитационная модель, построенная в системе моделирования Arena

Планирование экспериментов

Цель планирования – получить результаты с заданной достоверностью при наименьших затратах. Различают стратегическое и тактическое планирование.

Стратегическое планирование

Для стратегического планирования будем использовать концепцию «черного ящика», суть которого – абстрагирование от физической сущности процессов, происходящих в моделируемой системе и выдаче заключений о ее функционировании только на основании входных и выходных переменных. Входные, независимые переменные называются факторами. Выходные – откликами, их величина зависит от значений факторов и параметров ОИ.

Факторы в нашем случае – это показатели (параметры), которые мы будем оптимизировать; отклики – это результативные показатели эффективности функционирования моделируемой системы. Структурная схема чёрного ящика представлена на Рисунке 1.

Рис.1 Структурная схема концепции чёрного ящика

Планы второго порядка позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требует большего числа выполняемых опытов. Полный квадратичный полином при m=3 имеет вид:

D - оптимальные планы

В D -оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того, они обладают еще одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всем принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера.

Рис. 2 Геометрическая интерпретация трехфакторного плана Кифера на кубе

Стратегический план определяет количество вариантов системы, которые требуется промоделировать, и значения факторов в каждом варианте. Для 3-х оптимизируемых факторов предлагается D-оптимальный план по алгоритму Кифера, который состоит из 26 вариантов и представлен в Таблице 1.

Таблица 1 – План Кифера для 3-х факторного эксперимента

№	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	x 4	x 5	x 6
	-1	-1	-1	-1			-1
		-1	-1		-1
		-1	-1	-1	-1
	-1		-1
			-1
			-1		-1
	-1		-1	-1		-1
			-1			-1
			-1		-1	-1	-1
	-1	-1
		-1
		-1		-1
	-1

	-1			-1


	-1	-1			-1	-1
		-1				-1
		-1		-1		-1	-1
	-1				-1


	-1			-1	-1		-1

Здесь: ; ;

Вычисляем значения X 1 , X 2 , X 3 по индивидуальному заданию. По условию индивидуального задания оптимизируемые факторы: Х1 – среднее время решения на ПК1, Х2 – среднее время решения на ПК2, Х3 – количество каналов. Х1 и Х2 менять на ±20% от указанных средних значений; Х3 от 2 до 6.

На PK1 условие экспоненциального закона, среднее 100 ед.времени, следовательно значение 0 - 100, 1-120, -1 -80 (так как меняем на ±20% от указанного среднего значения.

РК2 подчиняется по условию задания нормальному закону и среднее значение 90 ед. времени и модификатором ±20 ед.времени, следовательно 0-90, 1 – 108, -1-72. Все данные заносим Таблицу 2.

Таблица 1 - Данные для факторов X 1 , X 2 , X 3

	-1
х1
х2
х3

Y 1 –Коэффициент использования ПК1 (0÷1)*100%;

Y 2 - Коэффициент использования ПК2 (0÷1)*100%;

Y 3 –Среднее общее время выполнения задач.

D-оптимальный план по алгоритму Кифера для индивидуального задания и Отклики Y 1 ,Y 2 ,Y 3 по факторам индивидуального задания, представлены в Таблице 3.

Таблица 2 - D-оптимальный план по алгоритму Кифера (для индивид.зад.)

№	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	x 4	x 5	x 6

Таблица 4 - Отклики Y 1 , Y 2 ,Y 3

№	Y 1	Y 2	Y 3
	32,24	30,41	309,16
	36,41	28,81	322,98
	43,54	26,95	322,92
	32,23	38,00	326,79
	36,42	36,00	339,98
	43,54	33,75	338,75
	32,22	45,6	344,71
	36,44	43,18	357,16
	43,54	40,56	354,91
	32,24	30,41	309,16
	36,41	28,82	310,97
	43,54	26,95	322,91
	32,23	38,00	326,79
	36,42	36,01	327,97
	32,22	45,59	344,70
	36,44	43,19	345,15
	43,54	40,56	354,91
	32,24	30,41	309,16
	36,41	28,77	314,34
	43,54	26,95	322,91
	32,23	38,00	326,79
	36,42	35,96	331,34
	43,54	33,75	338,75
	32,22	45,59	344,70
	36,44	43,14	348,51
	43,54	40,56	354,91

Основные статистические характеристики ИСД.

Основными статистическими характеристиками являются:

1. Valid N - объем выборки;

2. Mean- среднее арифметическое. Среднее значение случайной величины представляет собой наиболее типичное, наиболее вероятное ее значение, своеобразный центр, вокруг которого разбросаны все значения признака.

3. Median– медиана. Медианой является такое значение случайной величины,которое разделяет все случаи выборки на две равные почисленности части.

4. StandardDeviation- стандартное отклонение. Стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение) является мерой изменчивости (вариации) признака. Оно показывает на какую величину в среднем отклоняются случаи от среднего значения признака.

5. Variance– дисперсия. Дисперсия является мерой изменчивости, вариации признака и представляет собой средний квадрат отклонений случаев от среднего значения признака. В отличии от других показателей вариации дисперсия может быть разложена на составные части, что позволяет тем самым оценить влияние различных факторов на вариацию признака.

6. Standard error of mean –стандартнаяошибкасреднего. Стандартная ошибка среднего - это величина, на которую отличается среднее значение выборки от среднего значения генеральной совокупности при условии, что распределение близко к нормальному.

7. 95% confidencelimitsofmean- 95%-ый доверительный интервал для среднего. Интервал, в который с вероятностью 0,95 попадает среднее значение признака генеральной совокупности.

8. Minimum, maximum- минимальное и максимальное значения.

9. Skewness–асимметрия. Асимметрия характеризует степень смещения вариационного ряда относительно среднего значения по величине и направлению.

10. Standard error of Skewness–стандартнаяошибкаасимметрии.

11. Kurtosis– эксцесс. Эксцесс характеризует степень концентрации случаев вокруг среднего значения и является своеобразной мерой крутости кривой.

12. Standard error of Kurtosis –стандартнаяошибкаэксцесса.

Таблица 5 - Результаты описательной статистики

Оценка нормальности ИСД.

Нормальный закон является наиболее употребительным. Он применяется для представления самых различных случайных процессов, таких, как продолжительность жизни людей, изменения экономических и технических показателей.

Выскажем гипотезу, что исходные статистические данные подчинены нормальному закону, и в качестве параметров нормального закона примем оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, вычисленные по формулам.

Функция плотности нормального закона имеет вид:

; .

Если коэффициент доверия P к предположению о нормальности эмпирического распределения, который можно найти по статистическим таблицам, не меньше 0,20, то предположение о нормальности не отвергается. Если Р к <0,20, то предположение о нормальности рекомендуется отвергнуть.

Соответствие эмпирического и гипотетического распределений можно визуально проследить по графикам. При использовании критерия согласия Колмогорова предпочтительнее использовать функции распределения. Такие графики строятся и выдаются в специальных программных процедурах ППП Statistica 6.0 и Excel 2007 , на которые производится ориентация вычислений по излагаемому математическому аппарату. Представим распределение переменных на гистограммах (рис.3.-рис.8.).

На гистограммах наложена плотность нормального распределения, для проверки близости распределения к нормальному виду при помощи критерия Колмогорова-Смирнова.

Похожая информация.

Тема 2.1. Основы статистической обработки опытных данных в агрономических исследованиях. Статистические характеристики количественной и качественной изменчивости

План.

Основы статистики
Статистические характеристики количественной изменчивости
Типы статистического распределения
Методы проверки статистических гипотез

1. Основы статистики

Окружающий нас мир насыщен информацией - разнообразные потоки данных окружают нас, захватывая в поле своего действия, лишая правильного восприятия действительности. Не будет преувеличением сказать, что информация становится частью действительности и нашего сознания.

Без адекватных технологий анализа данных человек оказывается беспомощным в жестокой информационной среде и скорее напоминает броуновскую частицу, испытывающую жесткие удары со стороны и не имеющую возможности рационально принять решение.

Статистика позволяет компактно описать данные, понять их структуру, провести классификацию, увидеть закономерности в хаосе случайных явлений. Даже простейшие методы визуального и разведочного анализа данных позволяют существенно прояснить сложную ситуацию, первоначально поражающую нагромождением цифр.

Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, - с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику, физическую статистику.

Общие черты статистического метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и составляет предмет математическая статистика

Связь математической статистики с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Теория вероятностей изучает не любые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», то есть такие, для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее, теория вероятностей играет определённую роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы, которые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок измерений. В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.

Более важную роль играет теория вероятностей при статистическом исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы математической статистики, как теория статистической проверки вероятностных гипотез, теория статистической оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и так далее. Область же применения этих более глубоких статистических методов значительно уже, так как здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определённым вероятностным закономерностям.

Вероятностные закономерности получают статистическое выражение (вероятности осуществляются приближённо в виде частот, а математические ожидания - в виде средних) в силу больших чисел закона.

Чтобы выявить и оценить лучшие агротехнические приемы и сорта, изучаемые в полевом опыте, применяют статистическую обработку данных опыта, представленных в виде поделяночных числовых показателей урожайности и других свойств и качеств подопытных растений. Эти показатели характеризуют изучаемое явление и отражают результат действия исследуемых факторов, проявившихся в конкретном месте за определенный период времени, со всеми искажениями, отступлениями от истинных данных вследствие различных причин, наблюдавшихся во время проведения опыта.

Статистика в широком понимании может быть определена как наука о количественном анализе массовых явлений природы и общества, служащем для выявления их качественных своеобразий.

Статистикой называется отрасль знаний, объединяющая принципы и методы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. В этом смысле статистика включает в себя нескольких самостоятельных дисциплин: общую теорию статистики как вводный курс, теорию вероятностей и математическую статистику как науки об основных категориях и математических свойствах генеральной совокупности и их выборочных оценках.

Слово «статистика» происходит от латинского слова status - состояние, положение вещей. Первоначально оно употребляется в значении «политическое состояние». Отсюда итальянское слово stato – государство и statista – знаток государства. В научный обиход слово «статистика» вошло в 18 веке и первоначально употреблялось как «государствоведение».

В настоящее время статистика может быть определена как собирание массовых данных, их обобщение, представление, анализ и интерпретация. Это особый метод, который используется в различных сферах деятельности, в решении разнообразных задач.

Статистика позволяет выявить и измерить закономерности развития социально-экономических явлений и процессов, взаимосвязи между ними. Познание закономерностей возможно только в том случае, если изучаются не отдельные явления, а совокупности явлений, поскольку закономерности проявляются в полной мере, лишь в массе явлений. В каждом отдельном явлении необходимое – то, что присуще всем явлениям данного вида, проявляется в единстве со случайным, индивидуальным, присущим лишь этому конкретному явлению.

Закономерности, в которых необходимость неразрывно связана в каждом отдельном явлении со случайностью и лишь во множестве явлений проявляет себя закон, называются статистическими.

Соответственно предметом статистического изучения всегда выступают совокупности тех или иных явлений, включающие все множество проявлений исследуемой закономерности. В большой совокупности индивидуальные разнообразия взаимнопогашаются, и на первый план выходят закономерные свойства. Поскольку статистика призвана выявлять закономерное, она, опираясь на данные о каждом отдельном проявлении изучаемой закономерности, обобщает их и таким образом получает количественное выражение этой закономерности.

Каждый шаг исследования завершается интерпретацией полученных результатов: какое заключение можно сделать исходя из проведенного анализа, что говорят цифры – подтверждают ли они исходные предположения или открывают что-то новое? Интерпретация данных ограничена исходным материалом. Если заключения основаны на данных выборки, то она должна быть репрезентативной, чтобы выводы были отнесены к совокупности в целом. Статистика позволяет выяснить все то полезное, что содержится в исходных данных и определить, что и как можно использовать в принятии решений.

Термин вариационная статистика был введен в 1899году Дункером для обозначения методов математической статистики, применяемых при изучении некоторых биологических явлений. Несколько ранее, в 1889 году, Ф. Гальтоном был введен другой термин – биометрия (от греческих слов «биос» - жизнь и «метрейн» - измерять), обозначавший применение некоторых методов математической статистики при изучении наследственности, изменчивости и других биологических явлений. Основываясь на теории вероятностей, вариационная статистика позволяет правильно подойти к анализу количественного выражения изучаемых явлений, дать критическую оценку достоверности полученных количественных показателей, установить характер связи между изучаемыми явлениями, а, следовательно, понять их качественное своеобразие.

Важно помнить, что всякий биологический объект обладает изменчивостью. Т.е. каждый из признаков (высота растений, число зерен в колосе, содержание элементов питания) у различных особей может иметь различную степень выраженности, что свидетельствует о колеблемости или варьировании признака.

При статистическом методе исследования внимание сосредоточено не на отдельном объекте, а на группе однородных объектов, т.е. на некоторой их совокупности, объединенных для совместного изучения. Некоторое количество однородных единиц, расположенных по какому-либо одному или нескольким изменяющимся признакам, называется статистической совокупностью.

Статистические совокупности делятся на:

генеральные
выборочные

Генеральная совокупность объединяет все возможные изучаемые однородные единицы, например, растения на поле, популяции вредителей на поле, возбудители болезней растений. Выборочная совокупность представляет собой некоторую часть единиц, взятых из общей совокупности и попавших на проверку. При изучении, например, урожайности яблонь определенного сорта генеральную совокупность представляют все деревья данного сорта, возраста, произрастающие в определенных однородных условиях. Выборочная совокупность состоит из некоторого количества деревьев яблони, взятых на пробных площадках в изучаемых насаждениях.

Совершенно очевидно, что при статистических исследованиях приходится иметь дело исключительно с выборочными совокупностями. Правильность суждений о свойствах генеральной совокупности на основании анализа выборочной совокупности, прежде всего, зависит от ее типичности. Таким образом, чтобы выборка действительно отражала характерные свойства генеральной совокупности, выборочная совокупность должна объединять достаточное количество однородных единиц, обладающих свойством репрезентативности . Репрезентативность достигается случайным отбором вариант из генеральной совокупности, что обеспечивает равную возможность для всех членов генеральной совокупности попасть в состав выборки.

Статистическое изучение тех или иных явлений в своей основе имеет анализ изменчивости показателей или величин, входящих в состав статистических совокупностей. Статистические величины могут принимать разные значения, обнаруживая при этом в своей изменчивости некоторую закономерность. В связи с этим статистические величины можно определить как величины, принимающие различные значения с определенными вероятностями.

В процессе наблюдений или проведения опытов мы сталкиваемся с различными по своему роду изменчивыми показателями. Одни из них носят ярко выраженный количественный характер и легко поддаются измерениям, другие же не могут быть выражены обычным количественным путем и носят типичный качественный характер.

В связи с этим различают два типа изменчивости или варьирования:

количественная
качественная

2. Статистические характеристики количественной изменчивости

В качестве примера количественной изменчивости следует отнести: изменчивость количества колосков в колосе пшеницы, изменчивость размеров и веса семян, содержания в них жиров, белков и т.д. Примером качественного варьирования служат: изменение окраски или опушенности различных органов растения, гладкий и морщинистый горох, обладающий зеленой или желтой окраской, различная степень пораженности растений болезнями и вредителями.

Количественное варьирование в свою очередь может быть разделено на два рода: варьирование непрерывное и прерывистое .

Непрерывное варьирование объединяет случаи, когда изучаемые совокупности состоят из статистических единиц, определяемых измерениями или вычислением на основе этих измерений. Примером непрерывного варьирования можно выразить: вес и размеры семян, длина междоузлий, урожайность сельскохозяйственных культур. Во всех этих случаях изучаемые количественные показатели теоретически могут принимать все возможные значения, как целые, так и дробные между крайними своими пределами. Переход от крайнего минимального значения к максимальному теоретически является постепенным и может быть представлен сплошной линией.

При прерывистом варьировании отдельные статистические величины представляют собой совокупность отдельных элементов, выражаемую уже не измерением и не вычислением, а счетом. Примером такого варьирования могут служить изменение числа семян в плодах, числа лепестков в цветке, числа деревьев на единице площади, числа початков кукурузы на одном растении. Такого типа прерывистые варьирования называются также иногда целыми, потому, что отдельные статистические величины приобретают вполне определенные целые значения, в то время как при непрерывном варьировании эти величины могут выражаться и целыми, и дробными значениями.

Основными статистическими характеристиками количественной изменчивости являются следующие:

1.Средняя арифметическая;

Показатели изменчивости признака:

2. дисперсия;

3. стандартное отклонение;

4. коэффициент вариации;

5. Стандартная ошибка средней арифметической;

6. Относительная ошибка.

Cреднее арифметическое . При изучении варьирущих количественных показателей основной сводной величиной является их среднее арифметическое значение. Среднее арифметическое служит как для суждения об отдельных изучаемых совокупностях, так и для сравнения соответствующих совокупностей друг с другом. Полученные средние значения являются основой для построения выводов и для разрешения тех или иных практических вопросов.

Для вычисления среднего арифметического используют следующую формулу: если сумму всех вариант (x 1 + x 2 + … + x n) обозначить через Σ x i , число вариантов - через n, то средняя арифметическая определяется:

x ср. =Σ x i / n)

Среднее арифметическое дает первую общую количественную характеристику изучаемой статистической совокупности. При разрешении ряда теоретических и практических вопросов, наряду со знанием среднего значения анализируемого показателя, возникает необходимость в дополнительном установлении характера распределения вариант около этого среднего.

Объктам сельскохозяйственных и биологических исследований свойственна изменчивость признаков и свойств во времени и в пространстве. Причинами ее являются как внутренние, наследственные особенности организмов, так и различная норма их реакции на условия внешней среды.

Выявление характера рассеяния одна из основных задач статистического анализа опытных данных, который позволяет не только оценить степень разброса наблюдений, но и использовать эту оценку для анализа и интерпретации результатов исследования.

Характер группировки вариант около их среднего значения, называемый также рассеянием, может служить показателем степени изменчивости изучаемого материала. Показатели изменчивости. Лимиты (размах варьирования) это минимальное и максимальное значения признака в совокупности. Чем больше разность между ними, тем изменчивее признак.

Дисперсия S 2 и стандартное отклонение S . Эти статистические характеристики являются основными мерами вариации (рассеяния) изучаемого признака. Дисперсия (средний квадрат) – это частное от деления суммы квадратов отклонений Σ (x –x) 2 на число всех измерений без единицы:

Σ (x – x) 2 / n -1

Стандартное, или среднее квадратическое, отклонение получают путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

S = √ S 2

Стандартное отклонение характеризует собой степень изменчивости изучаемого материала, меру степени влияния на признак различных второстепенных причин его варьирования, выраженных в абсолютных мерах, т.е. в тех же единицах измерения, что и отдельные значения вариант. В связи с этим стандартное отклонение может быть использовано только при сравнении изменчивости статистических совокупностей, варианты которых выражены в одинаковых единицах измерения.

В статистике принято считать, что диапазон изменчивости в совокупностях достаточно большого объема, которые находятся под постоянным влиянием множества разнообразных и разнонаправленных факторов (биологические явления), не выходят за пределы 3S от среднего арифметического значения. О таких совокупностях говорят, что они подчиняются нормальному распределению вариант.

Ввиду того, что диапазон изменчивости для каждой исследуемой биологической совокупности находится в пределах 3S от среднего арифметического, то чем больше величина стандартного отклонения, тем больше изменчивость признака в исследуемых совокупностях. Стандартное отклонение используется как самостоятельный показатель, так и в качестве основы для вычисления других показателей.

При сравнении изменчивости разнородных совокупностей необходимо пользоваться мерой варьирования, представляющей собой отвлеченное число. Для этой цели в статистике введен коэффициент вариации , под которым понимают стандартное отклонение, выраженное в процентах к средней арифметической данной совокупности:

V = S / x × 100%.

Коэффициент вариации позволяет дать объективную оценку степени варьирования при сравнении любых совокупностей. При изучении количественных признаков он позволяет выделить из них наиболее устойчивые. Изменчивость считают незначительной, если коэффициент вариации не превышает 10%, средней – если он от 10% до 20%, и значительной – если он более 20%.

На основании рассмотренных показателей приходим к суждению о качественном своеобразии всей генеральной совокупности. Очевидно, что степень надежности наших суждений о генеральной совокупности будет зависеть, прежде всего, от того, насколько в той или иной части выборочной совокупности ее индивидуальные, а также случайные особенности не мешают проявлению общих закономерностей и свойств изучаемого явления.

В связи с тем, что при проведении опытных работ и научных исследований в большинстве случаев мы не можем оперировать с очень большими по численному составу выборками, то возникает необходимость определения возможных ошибок в наших характеристиках изучаемого материала на основе этих выборок. Необходимо отметить, что под ошибками в данном случае следует понимать не погрешности в вычислениях тех или иных статистических показателей, а пределы возможных колебаний их значений по отношению ко всей совокупности .

Сопоставление отдельных найденных значений статистических показателей с возможными пределами их отклонений и служит, в конечном счете, критерием оценки надежности для полученных выборочных характеристик. Разрешение этого важного как в теоретическом, так и в практическом отношениях вопроса дает теория статистических ошибок.

Подобно тому, как распределяются варианты вариационного ряда около своего среднего, так же будут распределяться и частные значения средних, полученных из отдельных выборок. Т. е., чем сильнее будут варьировать изучаемые объекты, тем сильнее будут варьировать и частные значения. Вместе с тем, чем на большем числе вариант будут получены частные значения средних, тем ближе они будут к истинному значению среднего арифметического всей статистической совокупности. На основании выше изложенного ошибка выборочной средней (стандартная ошибка) является мерой отклонения выборочной средней от средней генеральной совокупности. Ошибки выборки возникают в результате неполной репрезентативности выборочной совокупности, а также при перенесении данных, полученных при изучении выборки, на всю генеральную совокупность. Величина ошибки зависит от степени изменчивости изучаемого признака и объема выборки.

Стандартная ошибка прямо пропорциональна выборочному стандартному отклонению и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений:

S X = S / √ n

Ошибки выборки выражают в тех же единицах измерения, что и варьирующий признак и показывает те пределы, в которых может заключаться истинное значение среднего арифметического изучаемой генеральной совокупности. Абсолютная ошибка выборочной средней используется для установления доверительных границ в генеральной совокупности, достоверности выборочных показателей и разности, а также для установления объема выборки в научно-исследовательской работе.

Ошибка среднего может быть использована для получения показателя точности исследования - относительной ошибки выборочной средней. Это ошибка выборки, выраженная в процентах от соответствующей средней:

S X , % = S x / x ср × 100

Результаты считаются вполне удовлетворительными, если величина относительной ошибки не превышает 3-5% и соответствует удовлетворительному уровню, при 1-2% - очень высокая точность, 2-3% - высокая точность.

3. Типы статистического распределения

Частота проявления определенных значений признака в совокупности называется распределением. Различают эмпирические и теоретические распределения частот совокупности результатов наблюдений. Эмпирическое распределение – это распределение результатов измерений, полученных при изучении выборки. Теоретическое распределение предполагает распределение измерений на основании теории вероятностей. К их числу относятся: нормальное (Гауссово) распределение, распределение Стьюдента (t – распределение), F – распределение, распределение Пуассона, биноминальное.

Наибольшее значение в биологических исследованиях имеет нормальное или Гауссово распределение – это совокупность измерений, в котором варианты группируются вокруг центра распределения и их частоты равномерно убывают вправо и влево от центра распределения (x). Отдельные варианты отклоняются от средней арифметической симметрично, и размах вариации в обе стороны не превышает 3 σ . Нормальное распределение характерно для совокупностей, на членов которых суммарно влияет бесконечно большое количество разнообразных и разнонаправленных факторов. Каждый фактор вносит определенную часть в общую изменчивость признака. Бесконечные колебания факторов обусловливают изменчивость отдельных членов совокупностей.

Данный критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (а руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

В реальных исследованиях некорректное использование критерия Стьюдента осложняется также и тем, что подавляющее большинство исследователей не только не проверяют гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, но не выполняют проверку и первого ограничения: нормальности в обеих сравниваемых группах. В итоге авторы таких публикаций вводят в заблуждение относительно истинных результатов проверки равенства средних как себя, так и своих читателей. Добавим к этому ещё и игнорирование проблемы множественных сравнений, когда авторы проводят попарные сравнения для трёх и большего числа сравниваемых групп. Отметим, что подобной статистической неряшливостью страдают не только начинающие аспиранты и соискатели, но и специалисты облечённые различными академическими и руководящими регалиями: академики, ректоры университетов, доктора и кандидаты наук, и многие другие учёные.

Результатом игнорирования ограничений для t-критерия Стьюдента является заблуждение авторов статей и диссертаций, а далее и читателей этих публикаций, относительно истинного соотношения генеральных средних сравниваемых групп. Так в одном случае принимается вывод о значимом различии средних, когда они на самом деле не различаются, в другом наоборот, принимается вывод об отсутствии значимого различия средних, когда такое различие имеется.

Почему важно Нормальное распределение? Нормальное распределение важно по многим причинам. Распределение многих статистик является нормальным или может быть получено из нормальных с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. Точная форма нормального распределения (характерная «колоколообразная кривая») определяется только двумя параметрами: средним и стандартным отклонением.

Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68% всех его наблюдений лежат в диапазоне ± 1 стандартное отклонение от среднего, а диапазон; ± 2 стандартных отклонения содержит 95% значений. Другими словами, при нормальном распределении, стандартизованные наблюдения, меньшие -2 или большие +2, имеют относительную частоту менее 5% (Стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение (корень из дисперсии)). Если у вас имеется доступ к пакету STATISTICA, Вы можете вычислить точные значения вероятностей, связанных с различными значениями нормального распределения, используя Вероятностный калькулятор; например, если задать z-значение (т.е. значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение) равным 4, соответствующий вероятностный уровень, вычисленный STATISTICA будет меньше.0001, поскольку при нормальном распределении практически все наблюдения (т.е. более 99,99%) попадут в диапазон ± 4 стандартных отклонения.

Графическое выражение этого распределения называется Гауссовой кривой, или кривой нормального распределения. Опытным путем установлено, что такая кривая часто повторяет форму гистограмм, получающихся при большом числе наблюдений.

Форма кривой нормального распределения и ее положение определяются двумя величинами: генеральной средней и стандартным отклонением.

В практических исследованиях непосредственно формулой не пользуются, а прибегают к помощи таблиц.

Максимум, или центр, нормального распределения лежит в точке x = μ точка перегиба кривой находится при x1= μ - σ и x2= μ + σ , при n = ± ∞ кривая достигает нулевого значения. Размах колебаний от μ вправо и влево зависит от величины σ и укладывается в пределах трех стандартных отклонений:

1. В области пределов μ + σ находится 68,26% всех наблюдений;

2. Внутри пределов μ + 2 σ находится 95,46% всех значений случайной величины;

3. В интервале μ + 3σ находится 99,73%, практически все значения признака.

Все ли статистики критериев нормально распределены? Не все, но большинство из них либо имеют нормальное распределение, либо имеют распределение, связанное с нормальным и вычисляемое на основе нормального, такое как t, F или хи-квадрат. Обычно эти критериальные статистики требуют, чтобы анализируемые переменные сами были нормально распределены в совокупности. Многие наблюдаемые переменные действительно нормально распределены, что является еще одним аргументом в пользу того, что нормальное распределение представляет "фундаментальный закон". Проблема может возникнуть, когда пытаются применить тесты, основанные на предположении нормальности, к данным, не являющимся нормальными. В этих случаях вы можете выбрать одно из двух. Во-первых, вы можете использовать альтернативные "непараметрические" тесты (так называемые "свободно распределенные критерии", см. раздел Непараметрическая статистика и распределения). Однако это часто неудобно, потому что обычно эти критерии имеют меньшую мощность и обладают меньшей гибкостью. Как альтернативу, во многих случаях вы можете все же использовать тесты, основанные на предположении нормальности, если уверены, что объем выборки достаточно велик. Последняя возможность основана на чрезвычайно важном принципе, позволяющем понять популярность тестов, основанных на нормальности. А именно, при возрастании объема выборки, форма выборочного распределения (т.е. распределение выборочной статистики критерия, этот термин был впервые использован в работе Фишера, Fisher 1928a) приближается к нормальной, даже если распределение исследуемых переменных не является нормальным. Этот принцип иллюстрируется следующим анимационным роликом, показывающим последовательность выборочных распределений (полученных для последовательности выборок возрастающего размера: 2, 5, 10, 15 и 30), соответствующих переменным с явно выраженным отклонением от нормальности, т.е. имеющих заметную асимметричность распределения.

Однако по мере увеличения размера выборки, используемой для получения распределения выборочного среднего, это распределение приближается к нормальному. Отметим, что при размере выборки n=30, выборочное распределение "почти" нормально (см. на близость линии подгонки).

Статистическая надежность, или уровень вероятности – это площадь под кривой, ограниченная от среднего на t стандартных отклонений, выраженная в процентах от всей площади. Иными словами, это вероятность появления значения признака, лежащего в области μ + t σ. Уровень значимости – это вероятность того, что значение изменяющегося признака находится вне пределов μ + t σ, то есть, уровень значимости указывает вероятность отклонения случайной величины от установленных пределов варьирования. Чем больше уровень вероятности, тем меньше уровень значимости.

В практике агрономических исследований считается возможным пользоваться вероятностями 0,95 – 95% и 0,99 – 99%, которым называют доверительными, то есть такие, которым можно доверять и уверенно пользоваться. Так, при вероятности 0,95 – 95% возможность сделать ошибку 0,05 – 5%, или 1 на 20; при вероятности 0,99 – 99% - соответственно 0,01 – 1%, или 1 на 100.

Аналогичный подход применим и к распределению выборочных средних, так как всякое исследование сводится к сравнению средних величин, подчиняющихся закону нормального распределения. Средняя μ, дисперсия σ 2 и стандартное отклонение σ – параметры генеральной совокупности при n > ∞. Выборочные наблюдения позволяют получить оценки этих параметров. Для больших выборок (n>20-30, n>100) закономерности нормального распределения объективны для их оценок, то есть в области x ± S находится 68,26%, x ± 2S - 95,46%, x ± 3S – 99,73% всех наблюдений. Средняя арифметическая и стандартное отклонение причисляют к основным характеристикам, при помощи которых задается эмпирическое распределение измерений.

4. Методы проверки статистических гипотез

Выводы из любого сельскохозяйственного или биологического эксперимента нужно оценить с учетом их значимости, или существенности. Такую оценку проводят путем сравнения вариантов опыта друг с другом, либо с контролем (стандартом), или с теоретически ожидаемым распределением.

Статистическая гипотеза научное предположение о тех или иных статистических законах распределения рассматриваемых случайных величин, которое может быть проверено на основе выборки. Сравнивают совокупности путем проверки нулевой гипотезы – об отсутствии реального различия между фактическими и теоретическими наблюдениями, пользуясь наиболее подходящим статистическим критерием. Если в результате проверки различия между фактическими и теоретическими показателями близки к нулю или находятся в области допустимых значений, то нулевая гипотеза не опровергается. Если же различия оказываются в критической для данного статистического критерия области, невозможны при нашей гипотезе и поэтому несовместимы с ней, нулевая гипотеза опровергается.

Принятие нулевой гипотезы означает, что данные не противоречат предположению об отсутствии различий между фактическими и теоретическими показателями. Опровержение гипотезы означает, что эмпирические данные несовместимы с нулевой гипотезой и верна другая, альтернативная гипотеза. Справедливость нулевой гипотезы проверяется вычислением статистических критериев проверки для определенного уровня значимости.

Уровень значимости характеризует, в какой мере мы рискуем ошибиться, отвергая нулевую гипотезу, т.е. какова вероятность отклонения от установленных пределов варьирования случайной величины. Поэтому, чем больше уровень вероятности, тем меньше уровень значимости.

Понятие о вероятности неразрывно связано с понятием о случайном событии. В сельскохозяйственных и биологических исследованиях вследствие присущей живым организмам изменчивости под влиянием внешних условий появление события может быть случайным либо неслучайным. Неслучайными будут такие события, которые выходят за пределы возможных случайных колебаний выборочных наблюдений. Это обстоятельство позволяет определить вероятность появления как случайных, так и неслучайных событий.

Таким образом, вероятность – мера объективной возможности события, отношение числа благопрятных случаев к общему числу случаев. Уровень значимости показывает вероятность, с которой проверяемая гипотеза может дать ошибочный результат. В практике сельскохозяйственных исследований считается возможным пользоваться вероятностями 0,95 (95%) и 0.99 (99%), которым соответствуют следующие уровни значимости 0,05 – 5% и 0,01 – 1%. Эти вероятности получили название доверительных вероятностей, т.е. таких, которым можно доверять.

Статистические критерии, используемые для оценки расхождения между статистическими совокупностями, бывают двух видов:

1) параметрические (для оценки совокупностей, имеющих нормальное распределение);

2) непараметрические (применяют к распределениям любой формы).

В практике сельскохозяйственных и биологических исследований встречаются два типа опытов.

В некоторых опытах варианты связаны друг с другом одним или несколькими условиями, контролируемыми исследователем. Вследствие этого опытные данные варьируют не независимо, а сопряженно , так как влияние условий, связывающих варианты, проявляется, как правило, однозначно. К такого типа опытам относятся, например, полевое испытание с повторностями, каждая из которых располагается на участке сравнительно одинакового плодородия. В таком опыте сопоставлять варианты друг с другом можно только в пределах повторения. Другой пример связанных наблюдений – изучение фотосинтеза; здесь объединяющим условием являются особенности каждого подопытного растения.

Наряду с этим часто сравнивают совокупности, варианты которых изменяются независимо друг от друга. Несопряженными, независимыми являются варьирование признаков растений, выращенных в разных условиях; в вегетационных опытах повторностями служат сосуды одноименных вариантов, и любой сосуд одного варианта можно сравнивать с любым сосудом другого.

Статистическая гипотеза - некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона в рамках данной выборки.

Пример статистической гипотезы: "генеральная совокупность распределена по нормальному закону", "различие между дисперсиями двух выборок незначимо" и т.д.

При аналитических расчетах часто необходимо выдвигать и проверять гипотезы. Проверка статистической гипотезы осуществляется с помощью статистического критерия в соответствии со следующим алгоритмом:

Гипотеза формулируется в терминах различия величин. Например, есть случайная величина x и константа a. Они не равны (арифметически), но нужно установить, значимо ли статистически между ними различие?

Существует два типа критериев:

Необходимо отметить, что знаки ≥, ≤, = здесь используются не в арифметическом, а в «статистическом» смысле. Их необходимо читать «значимо больше», «значимо меньше», «различие незначимо».

Метод по критерию t-Стъюдента

При сравнении средних двух независимых выборок применяют метод по t – критерию Стьюдента , предложенный английским ученым Ф. Госсетом. С помощью данного метода оценивается существенность разности средних (d = x 1 – x 2). Он основан на расчете фактических и табличных значений и их сравнении.

В теории статистики ошибка разности или суммы средних арифметических независимых выборок при одинаковом числе наблюдений (n 1 + n 2) определяется по формуле:

S d = √ S X1 2 + S X2 2 ,

где S d - ошибка разности или суммы;

S X1 2 и S X2 2 - ошибки сравниваемых средних арифметических.

Гарантией надежности вывода о существенности или несущественности различий между средними арифметическими служит отношение разницы к ее ошибке. Это отношение получило название критерия существенности разности:

t = x 1 – x 2 / "√ S X1 2 + S X2 2 = d / S d .

Теоретическое значение критерия t находят по таблице, зная число степеней свободы Y = n 1 + n 2 – 2 и принятый уровень значимости.

Если t факт ≥ t теор, нулевая гипотеза об отсутствии существенности различий между средними опровергается, а если различия находятся в пределах случайных колебаний для принятого уровня значимости – не опровергается.

Метод интервальной оценки

Интервальная оценка характеризуется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Для этого следует определить доверительные интервалы для возможных значений средней генеральной совокупности. При этом, x является точечной оценкой генеральной средней, тогда точечную оценку генеральной средней можно записать так: x ± t 0,5 *S X , где t 0,5 *S X предельная ошибка выборочной средней при данном числе степеней свободы и принятом уровне значимости.

Доверительный интервал это такой интервал, который с заданной вероятностью покрывает оцениваемый параметр. Центр интервала – выборочная оценка точки. Пределы, или доверительные границы, определяются средней ошибкой оценки и уровнем вероятности – x - t 0,5 *S X и x + t 0,5 *S X . Значение критерия Стьюдента для различных уровней значимости и числа степеней свободы приводятся в таблице.

Оценка разности средних сопряженных рядов

Оценку разности средних для сопряженных выборок вычисляют разностым методом. Сущность состоит в том, что оценивается существенность средней разности путем попарного сравнения вариантов опыта. Для нахождения S d разностным методом вычисляют разность между сопряженными парами наблюдений d, определяют значение средней разности (d = Σ d / n) и ошибку средней разности по формуле:

S d = √ Σ (d - d) 2 / n (n – 1)

Критерий существенности вычисляют по формуле: t = d / S d . Число степеней свободы находят по равенству Y= n-1, где n-1 – число сопряженных пар.

Контрольные вопросы

Что такое вариационная статистика (математическая, биологическая статистика, биометрия)?
Что называется совокупностью? Виды совокупностей.
Что называется изменчивостью, вариацией? Виды изменчивости.
Дайте определение вариационного ряда.
Назовите статистические показатели количественной изменчивости.
Расскажите о показателях изменчивости признака.
Как вычисляется дисперсия, ее свойства?
Какие вы знаете теоретические распределения?
Что такое среднее квадратическое отклонение, его свойства?
Какие вы знаете закономерности нормального распределения?
Назовите показатели качественной изменчивости и формулы их вычисления.
Что такое доверительный интервал и статистическая надежность?
Что такое абсолютная и относительная ошибка выборочной средней, как их вычислить?
Коэффициент вариации и его вычисление при количественной и качественной изменчивости.
Назовите статистические методы проверки гипотез.
Дайте определение статистической гипотезы.
Что такое нулевая и альтернативная гипотеза?
Что такое доверительный интервал?
Что такое сопряженные и независимые выборки?
Как вычисляется интервальная оценка параметров генеральной совокупности?

Лабораторная работа №9

Статистический анализ данных

Цель работы: научиться обрабатывать статистические данные в электронных таблицах с помощью встроенных функций; изучить возможности Пакета анализа в MS Excel 2010 и его некоторые инструменты: Генерация случайных чисел, Гистограмма, Описательная статистика.

Теоретическая часть

Очень часто для обработки данных, полученных в результате обследования большого числа объектов или явлений (статистических данных ), используются методы математической статистики.

Современная математическая статистика подразделяется на две обширные области: описательную и аналитическую статистику . Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Аналитическая статистика называется также теорией статистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности

Полученный в результате обследования набор чисел называетсястатистической совокупностью.

Выборочной совокупностью (или выборкой ) называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой производится выборка. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Для статистической обработки результаты исследования объектов представляют в виде чисел x 1 , x 2 , …, x k . Если значение x 1 наблюдалось n 1 раз, значение x 2 наблюдалось n 2 раз, и т.д., то наблюдаемые значения x i называются вариантами , а числа их повторений n i называются частотами . Процедура подсчета частот называется группировкой данных.

Объем выборки n равен сумме всех частот n i :

Относительной частотой значения x i называется отношение частоты этого значения n i к объему выборки n :

Статистическим распределением частот (или просто распределением частот ) называется перечень вариант и соответствующих им частот, записанных в виде таблицы:

			…
			…

Распределением относительных частот называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот.

Основные статистические характеристики.

Современные электронные таблицы имеют огромный набор средств для анализа статистических данных. Наиболее часто используемые статистические функции встраиваются в основное ядро программы, то есть эти функции доступны с момента запуска программы. Другие более специализированные функции входят в дополнительные подпрограммы. В частности, в Excel, такая подпрограмма называется Пакетом анализа. Команды и функции пакета анализа называют Инструментами анализа. Мы ограничимся изучением нескольких основных встроенных статистических функций и наиболее полезных инструментов анализа из пакета анализа в электронной таблице Excel.

Среднее значение.

Функция СРЗНАЧ вычисляет выборочное (или генеральное) среднее, то есть среднее арифметическое значение признака выборочной (или генеральной) совокупности. Аргументом функции СРЗНАЧ является набор чисел, как правило, задаваемый в виде интервала ячеек, например, =СРЗНАЧ (А3:А201).

ЛЕКЦИЯ 2

Базовые понятия математической статистики. Выборочный метод. Числовые характеристики статистических рядов Точечные статистические оценки и требования к ним. Метод доверительных интервалов. Проверка статистических гипотез.

Глава 3.
БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Выборочный метод

В этой главе приводится краткий обзор основных понятий и результатов математической статистики, которые используются в курсе эконометрики.

Одной из центральных задач математической статистики является выявление закономерностей в статистических данных, на базе которых можно строить соответствующие модели и принимать обдуманные решения. Первая задача математической статистики заключается в разработке методов сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных опытов. Вторая задача математической статистики заключается в разработке методов обработки и анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Элементами такого анализа, в частности, являются: оценка параметров известной функции распределения, проверка статистических гипотез о виде распределения и т.д.

Между математической статистикой и теорией вероятностей имеется тесная взаимосвязь. Теория вероятностей широко применяется при статистическом изучении массовых явлений, которые могут и не относится к категории случайных. Это осуществляется через теорию выборочного метода. Здесь вероятностных закономерностям подчиняются не сами изучаемые явления, а методы их исследования. Кроме того, теория вероятностей играет важную роль при статистическом исследовании вероятностных явлений. В этих случаях сами изучаемые явления подчиняются вполне определенным вероятностным закономерностям.

Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений или экспериментов. Например, нужно провести контроль качества изготовленной партии деталей или исследовать качество технологического процесса. Можно, конечно, провести сплошное обследование, т.е. обследовать каждую деталь партии. Однако если деталей слишком много, то провести сплошное обследование физически невозможно, а если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. Поэтому приходится из всей совокупности объектов для обследования отбирать только часть, т.е. проводить выборочное обследование. Таким образом, на практике часто приходится давать оценку параметров большой совокупности по небольшому числу выбранных случайным образом элементов.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью . Та часть объектов, которая была отобрана из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или более кратко – выборкой . Договоримся, обозначать объем выборки буквой n , а объем генеральной совокупности буквой N .

Выборка, в общем случае, образуется для оценки каких-либо характеристик генеральной совокупности. Однако не всякая выборка может давать реальное представление о генеральной совокупности. Например, детали, как правило изготовляются рабочими разной квалификации. Если на контроль попадут только детали, изготовленные рабочими более низкой квалификации, то представление о качестве всей продукции будет «заниженным», если только детали, изготовленные рабочими более высокой квалификации, то это представление будет завышенным.

Для того чтобы по данным выборки можно было уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности необходимо, чтобы объекты выборки правильно ее представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности . Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (или представительной ) .

Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора . При случайном отборе все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку . В этом случае, в силу закона больших чисел , можно утверждать, что выборка будет репрезентативной. Например, о качестве зерна судят по небольшой ее пробе. Хотя число наудачу отобранных зерен мало по сравнению со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико. Следовательно, характеристики выборочной совокупности будут по вероятности мало чем отличаться от характеристик генеральной совокупности.

Различают повторные и бесповторные выборки . В первом случае отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Во втором – отобранный в выборку объект не возвращается в генеральную совокупность. Если объем выборки значительно меньше объема генеральной совокупности, то обе выборки будут практически эквивалентны.

Во многих случаях для анализа тех или иных экономических процессов важен порядок получения статистических данных. Но при рассмотрении так называемых пространственных данных порядок их получения не играет существенной роли. Кроме того, результаты выборочных значений x 1 , x 2 , …, x n количественного признака X генеральной совокупности, записанные в порядке их регистрации, обычно труднообозримы и неудобны для дальнейшего анализа. Задачей описания статистических данных является получение такого их представления, которое позволит наглядно выявить вероятностные характеристики. Для этого применяются различные формы упорядочения и группировки данных.

Статистический материал, получающийся в результате наблюдений (измерений) можно записать в виде таблицы, состоящей из двух строк. В первой строке отмечается номер измерения, во втором – полученной значение. Такая таблица называется простым статистическим рядом :

		…	i	…	n
x 1	x 2	…	x i	…	x n

Однако при большом числе измерений статистический ряд трудно анализировать. Поэтому результаты наблюдений необходимо каким-либо образом упорядочить . Для этого наблюдаемые значения располагают в порядке их возрастания:

где . Такой статистический ряд называется ранжированным .

Поскольку некоторые значения статистического ряда могут иметь одинаковые значения, то их можно объединить. Тогда каждому значению x i будет поставлено в соответствие число n i , равное частоте появлений данного значения:

x 1	x 2	…	x k
n 1	n 2	…	n k

Такой ряд называется сгруппированным .

Ранжированный и сгруппированный ряд называется вариационным . Наблюдаемые значения x i называются вариантами , а число всех наблюдений варианты n i – частотой . Число всех наблюдений n называется объемом вариационного ряда. Отношение частоты n i к объему ряда n называется относительной частотой :

Кроме дискретных вариационных рядов, применяются и интервальные вариационные ряды. Для построения такого ряда необходимо определить величину интервалов и в соответствии сними группировать результаты наблюдений:

[x 1 , x 2 ]	(x 2 , x 3 ]	(x 3 , x 4 ]	…	(x k-1 , x k ]
n 1	n 2	n 3	…	n k

Интервальный вариационный ряд строят обычно в тех случаях, когда число наблюдавшихся вариантов очень велико. Обычно такая ситуация возникает при наблюдении за непрерывной величиной (например, измерение какой-либо физической величины). Между интервальными и дискретными вариационными рядами существует определенная взаимосвязь: любой дискретный ряд можно записать в виде интервального и наоборот.

Для графического описания дискретного вариационного ряда использую полигон . Для построения полигона в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (x i ,n i ) или (x i ,w i ). Затем эти точки соединяют отрезками. Полученная ломаная линия называется полигоном (см., например, рис. 3.1а).

Для графического описания интервального вариационного ряда используют гистограмму . Для ее построения по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на этих отрезках, как на основании, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующего интервала. В результате получается фигура, состоящая из прямоугольников, которая и называется гистограммой (см., например, рис. 3.1б).

а	б
Рис. 3.1

Числовые характеристики статистического ряда

Построение вариационного ряда – лишь первый шаг к осмыслению ряда наблюдений. Этого недостаточно для полного исследования распределения изучаемого явления. Наиболее удобным и полным методом является аналитической способ исследования ряда, состоящий в вычислении числовых характеристик. Числовые характеристики, применяемые для исследования вариационных рядов, аналогичны тем, которые применяются в теории вероятностей.

Наиболее естественной характеристикой вариационного ряда является понятие средней величины . В статистике используют несколько видов средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Наиболее распространенным является понятие средней арифметической величины :

Если по данным наблюдений построен вариационный ряд, то используется понятие средней взвешенной арифметической величины :

. (3.3)

Средняя арифметическая величина обладает теми же самыми свойствами, что и математическое ожидание.

В качестве меры рассеяния значений наблюдаемой величины вокруг своего среднего значения принимают величину

, (3.4)

которая, как и в теории вероятностей, называется дисперсией . Величина

называется средним квадратичным отклонением (или стандартным отклонением ). Статистическая дисперсия обладает теми же самыми свойствами, что и вероятностная дисперсия, и для ее вычисления можно использовать альтернативную формулу

. (3.6)

Пример 3.1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (таб. 3.1).

Таблица 3.1

Найти среднее арифметическое и стандартное отклонение. Постройте гистограмму частот.

Решение. Для расчета средней арифметической и дисперсии строим расчетную таблицу (табл. 3.4):

Таблица 3.4

x i	n i	n i x i	n i x i 2






Сумма

Здесь вместо x i взяты середины соответствующих интервалов. По данным таблицы находим:

, ,

Построим гистограмму частот по исходным данным (рис. 3.3). â

Рассматривая основные статистические характеристики ряда, оценивают центральную тенденцию выборки и колеблемость, или вариацию. Центральную тенденцию выборки позволяют оценить такие статистические характеристики, как среднее арифметическое значение, мода, медиана. Средняя величина характеризует групповые свойства, является центром распределения, занимает центральное положение в общей массе варьирующих значений признака.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют путем суммирования всех измерений и деления суммы на число измерений по формуле: = ,

где – сумма всех значений x i , n – общее число измерений.

Модой (Мо) называют результат выборки или совокупности, наиболее часто встречающейся в этой выборке. Для интервального вариационного ряда модальный интервал выбирается по наибольшей частоте. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7 модой является 4, потому что встречается чаще других чисел.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, принято считать, что группа не имеет моды. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 модой является 4,5. Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существуют две моды. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7 модами являются 3 и 5.

Медиана (Ме) – результат измерения, который находится в середине ранжированного ряда. Медиана делит упорядоченное множество пополам так, что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая – меньше. Если ряд чисел содержит нечетное количество значений, то медианой является среднее значение. Например, в ряду чисел: 6, 9, 11 , 19, 31 медиана число 11.

Если данные содержат четное количество измерений, то медианой является число, составляющее среднее между двумя центральными значениями. Например, в ряду чисел: 6, 9, 11, 19, 31, 48 медиана равна (11+19): 2 = 15.

Моду и медиану используют для оценки среднего при измерении в шкалах порядка (а моду также и в номинальных шкалах).

К характеристикам вариации, или колеблемости, результатов измерений относят размах, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и др.

Все средние характеристики дают общую характеристику ряда результатов измерений. На практике нас часто интересует, как сильно каждый результат отклоняется от среднего значения. Однако легко можно представить, что две группы результатов измерений имеют одинаковые средние, но различные значения измерений. Например, для ряда 3, 6, 3 – среднее значение = 4, для ряда 5, 2, 5 также среднее значение = 4, несмотря на существенное различие этих рядов.

Поэтому средние характеристики всегда необходимо дополнять показателями вариации, или колеблемости. Самой простой характеристикой вариации является размах варьирования, определяемый как разность между наибольшим и наименьшим результатами измерений. Однако он улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Чтобы дать обобщающую характеристику, можно вычислить отклонения от среднего результата. Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

где Х – наибольший показатель; X – наименьший показатель; К – табличный коэффициент (приложение 4).

Среднее квадратическое отклонение (оно называется также стандартным отклонением) имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Однако для сравнения колеблемости двух и более совокупностей, имеющих различные единицы измерения, эта характеристика не пригодна. Для этого используется коэффициент вариации.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Вычисляется он по формуле: V = . 100%

Колеблемость результатов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации считают небольшой (0–10%), средней (11–20%) и большой (>20%).

Коэффициент вариации имеет важное значение, так как, будучи величиной относительной (измеряется в процентах), позволяет сравнивать между собой колеблемость результатов измерений, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации можно использовать лишь в том случае, если измерения выполнены в шкале отношений.

Еще один показатель рассеивания – стандартная (средняя квадратическая) ошибка средней арифметической . Этот показатель (обычно он обозначается символами m или S) характеризует колеблемость средней.

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:

где σ – стандартное отклонение результатов измерения, n – объем выборки.