Пирамида — это многогранник , у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.
Пирамида , Усеченная Пирамида
Правильная пирамида
Если основание пирамиды — правильный многоугольник , а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды .
Усеченная пирамида
Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды .
Многогранники. Основные элементы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.
Многогранник – это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называется ее гранями, их стороны – ее ребрами, а их вершины – вершинами многогранной поверхности. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащей одной грани, наз-ся диагоналями . Простой многогранник (двумерный или трехмерный) называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань (н-р: куб, призма, пирамиды, усеченные пирамиды и др.). Теорема Декарта – Эйлера о многогранниках. Т1: Сумма числа вершин и числа граней выпуклого многогранника на 2 единицы больше числа его ребер (В+Г=Р+2). Т2: Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна двум. Выпуклые правильные многогранники. Многогранник наз-ся правильным, если все его грани правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны и правильны. Многогранный угол наз-ся правильным, если все его двугранные углы равны между собой и все его плоские углы равны между собой. Примечание: 1. Говорят, что 2 правильных многогранника относятся к одному типу, если у них одинаковы следующие характеристики: число вершин – В, число граней – Г, число ребер – Р, число вершин у каждой грани – n, число граней в каждой вершине s. 2. Не следует путать выпуклые правильные многогранники с правильной призмой, правильной пирамидой, прав.усеченной пирамидой, т.к. у названных фигур равны только ребра оснований, а боковые ребра могут быть и не равны ребрам основания и, кроме того, не все их грани являются равными многоугольниками. Существует 5 типов правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней. Существует 4 типа (или тела Кеплера - Пуансо): Большой икосаэдр, Малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр.
Призма. Основные элементы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Построение изображения призмы.
Призма – многогранник, у которого 2 грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых 2 стороны являются соответственными сторонами оснований. Стороны боковых граней называются ребрами оснований, стороны оснований называются ребрами оснований, вершины оснований наз-ся вершинами призмы. Все равны между собой, равны и параллельны соотв.стороны оснований. Высотой призмы наз-ся расстояние между плоскостями и ее основаниями. Призма называется прямой , если её боковые ребра перпендикулярны основанию. В такой случае боковые ребра являются высотой прямой призмы. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники. Наклонная призма – призма, боковые ребра которой не перпендикулярны основанию. Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многогранник. Построение : сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.
Параллелепипед. Основные элементы. Свойства параллелепипеда. Прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб. Построение изображения парал-да и куба.
Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Эл-ты: 2 грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро – смежными. Две вершины парал-да, не принадлежащие одной грани, наз-ся противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, наз-ся диагональю парал-да. Длины трех ребер прямоугольного парал-да, имеющих общую вершину, наз-т его измерениями. Свойства : 1. В параллелепипеде все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2. Противоположные грани парал-да попарно равны и параллельны. 3. Боковые грани прямого параллелепипеда - прямоугольники. 4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, основание которого прямоугольники, параллельные и равные между собой. Прямой параллелепипед - это параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию. Однако в основании прямого параллелепипеда в общем случае лежит параллелограмм. А вот в основании прямоугольного параллелепипеда - обязательно прямоугольник. Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого – квадраты. Квадрат диагонали куба = 3*А (в квадрате), А – измерение куба. Построение: Построить параллелепипед можно с помощью обычной и треугольной линейки. Суть построений заключается в параллельном проведении всех линий геометрической фигуры; Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.
Пирамида. Основные элементы. Правильная пирамида, её свойства. Построение изображения пирамиды.
Пирамида - многогранник, одна грань которого плоский многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, а их общая вершина - вершина пирамиды.
Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра.
Пирамида называется правильной , если её основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.
Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема .
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания - диагональное сечение пирамиды.
Свойства правильной пирамиды:
1. Апофемы равны.
2. Высота проходит через центр основания.
3. Боковые ребра равны между собой
4. все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
5.площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
6. все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
7. все высоты боковых граней равны между собой
Чтобы изобразить правильную пирамиду , сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Точку S соединяют со всеми вершинами основания.
Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды: ½ h * P основания
Определение
Пирамида
– это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2...A_n\)
и \(n\)
треугольников с общей вершиной \(P\)
(не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\)
.
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)
.
Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами , многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием , точка \(P\) – вершиной .
Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром .
Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:
\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;
\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.
Теорема
Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.
Доказательство
Проведем высоту пирамиды \(PH\) . Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.
1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\) . Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Значит, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Значит, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\) .
3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\) .
Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\) .
Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) равны.
5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\) .
Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.
Следствие
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Определение
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой
.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.
Важные замечания
1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).
3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).
4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.
Определение
Пирамида называется прямоугольной , если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Важные замечания
1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.
3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)
– тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.
\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]
Теорема
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \
Следствия
Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.
1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\) ,
2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h\) .
3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\) .
4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3\) .
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.
\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]
Определение
Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2...B_n\) ), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\) , которые подобны друг другу.
Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.
Важные замечания
1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.
Введение
Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.
Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.
Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.
Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.
Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:
· Узнать исторические сведения о пирамиде
· Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру
· Найти применение в жизни и архитектуре
· Найти сходство и различие пирамид, расположенных в разных частях света
Теоретическая часть
Исторические сведения
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.
Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.
Основные понятия
Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
Боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;
Боковые ребра - общие стороны боковых граней;
Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Основные свойства правильной пирамиды
Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.
Двугранные углы при основании равны.
Двугранные углы при боковых ребрах равны.
Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.
Основные формулы пирамиды
Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
p - периметр основания;
h - апофема.
Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.
p 1 , p 2 - периметры оснований;
h - апофема.
Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;
S бок - площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;
S 1 + S 2 - площади основания
Объем пирамиды
Формула объёма используется для пирамид любого вида.
H - высота пирамиды.
Углы пирамиды
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах .
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания .
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .
Сечения пирамиды
Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.
Диагональное сечение
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.
Параллельные сечения
Теорема :
Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;
Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.
Виды пирамиды
Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания.
У правильной пирамиды:
1. боковые ребра равны
2. боковые грани равны
3. апофемы равны
4. двугранные углы при основании равны
5. двугранные углы при боковых ребрах равны
6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания
7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней
Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды .
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.
Задачи
№1. В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.
Решение задач
№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.
Рассмотрим OSB: OSB-прямоугольный прямоугольник, т. к.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Пирамида в архитектуре
Пирамида - монументальное сооружение в форме обычной правильной геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. По функциональному назначению пирамиды в древности были местом захоронения или поклонения культу. Основа пирамиды может быть треугольной, четырехугольной или в форме многоугольника с произвольным числом вершин, но наиболее распространенной версией является четырехугольная основа.
Известно немалое количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.
По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид. Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят.
Египетские пирамиды величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «Семи чудес света» пирамида Хеопса. От подножия до вершины она достигает 137, 3 м, а до того, как утратила верхушку, высота ее была 146, 7 м
Здание радиостанции в столице Словакии, напоминающее перевернутую пирамиду, было построено в 1983 г. Помимо офисов и служебных помещений, внутри объема находится достаточно вместительный концертный зал, который имеет один из самых больших органов в Словакии.
Лувр, который "молчит неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем. Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.
С понятием пирамида учащиеся сталкиваются еще задолго до изучения геометрии. Виной всему знаменитые великие египетские чудеса света. Поэтому, начиная изучение этого замечательного многогранника, большинство учеников уже наглядно представляют ее себе. Все вышеупомянутые достопримечательности имеют правильную форму. Что такое правильная пирамида , и какие свойства она имеет и пойдет речь дальше.
Вконтакте
Определение
Определений пирамиды можно встретить достаточно много. Начиная еще с древних времен, она пользовалась большой популярностью.
К примеру, Эвклид определял ее как телесную фигуру, состоящую из плоскостей, которые, начиная от одной, сходятся в определенной точке.
Герон представил более точную формулировку. Он настаивал на том, что это фигура, которая имеет основание и плоскости в виде треугольников, сходящиеся в одной точке.
Опираясь на современное толкование, пирамиду представляют, как пространственный многогранник, состоящий из определённого k-угольника и k плоских фигур треугольной формы, имеющую одну общую точку.
Разберемся более подробно, из каких элементов она состоит:
- k-угольник считают основой фигуры;
- фигуры 3-угольной формы выступают гранями боковой части;
- верхняя часть, из которой берут начало боковые элементы, называют вершиной;
- все отрезки, соединяющие вершину, называют рёбрами;
- если из вершины на плоскость фигуры опустить прямую под углом в 90 градусов, то её часть, заключенная во внутреннем пространстве — высота пирамиды;
- в любом боковом элементе к стороне нашего многогранника можно провести перпендикуляр, называемый апофемой.
Число рёбер вычисляется по формуле 2*k, где k – количество сторон k-угольника. Сколько граней у такого многогранника, как пирамида, можно определить посредством выражения k+1.
Важно! Пирамидой правильной формы называют стереометрическую фигуру, плоскость основы которой является k-угольник с равными сторонами.
Основные свойства
Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые присущи только ей. Перечислим их:
- Основа – фигура правильной формы.
- Ребра пирамиды, ограничивающие боковые элементы, имеют равные числовые значения.
- Боковые элементы – равнобедренные треугольники.
- Основание высоты фигуры попадает в центр многоугольника, при этом он одновременно является центральной точкой вписанной и описанной .
- Все боковые рёбра наклонены к плоскости основы под одинаковым углом.
- Все боковые поверхности имеют одинаковый угол наклона по отношению к основе.
Благодаря всем перечисленным свойствам, выполнение вычислений элементов намного упрощается. Исходя из приведенных свойств, обращаем внимание на два признака:
- В том случае, когда многоугольник вписывается в окружность, боковые грани будут иметь с основой равные углы.
- При описании окружности около многоугольника, все рёбра пирамиды, исходящие из вершины, будут иметь равную длину и равные углы с основой.
В основе лежит квадрат
Правильная четырёхугольная пирамида – многогранник, у которого в основе лежит квадрат.
У неё четыре боковых грани, которые по своему виду являются равнобедренными.
На плоскости квадрат изображают , но основываются на всех свойствах правильного четырёхугольника.
К примеру, если необходимо связать сторону квадрата с его диагональю, то используют следующую формулу: диагональ равна произведению стороны квадрата на корень квадратный из двух.
В основе лежит правильный треугольник
Правильная треугольная пирамида – многогранник, в основании которого лежит правильный 3-угольник.
Если основание является правильным треугольником, а боковые рёбра равны ребрам основания, то такая фигура называется тетраэдром.
Все грани тетраэдра являются равносторонними 3-угольниками. В данном случае необходимо знать некоторые моменты и не тратить на них время при вычислениях:
- угол наклона ребер к любому основанию равен 60 градусов;
- величина всех внутренних граней также составляет 60 градусов;
- любая грань может выступить основанием;
- , проведённые внутри фигуры, это равные элементы.
Сечения многогранника
В любом многограннике различают несколько видов сечения плоскостью. Зачастую в школьном курсе геометрии работают с двумя:
- осевое;
- параллельное основе.
Осевое сечение получают при пересечении плоскостью многогранника, которая проходит через вершину, боковые рёбра и ось. В данном случае осью является высота, проведённая из вершины. Секущая плоскость ограничивается линиями пересечения со всеми гранями, в результате получаем треугольник.
Внимание! В правильной пирамиде осевым сечением является равнобедренный треугольник.
Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в результате получаем второй вариант. В этом случае имеем в разрезе фигуру, подобную основе.
К примеру, если в основании лежит квадрат, то сечение параллельно основе также будет квадратом, только меньших размеров.
При решении задач при таком условии используют признаки и свойства подобия фигур, основанные на теореме Фалеса . В первую очередь необходимо определить коэффициент подобия.
Если плоскость проведена параллельно основе, и она отсекает верхнюю часть многогранника, то в нижней части получают правильную усеченную пирамиду. Тогда говорят, что основы усеченного многогранника являются подобными многоугольниками. В этом случае боковые грани являются равнобокими трапециями. Осевым сечением также является равнобокая .
Для того чтобы определить высоту усеченного многогранника, необходимо провести высоту в осевом сечении, то есть в трапеции.
Площади поверхностей
Основные геометрические задачи, которые приходится решать в школьном курсе геометрии, это нахождение площадей поверхности и объема у пирамиды.
Значение площади поверхности различают двух видов:
- площади боковых элементов;
- площади всей поверхности.
Из самого названия понятно, о чём идёт речь. Боковая поверхность включает в себя только боковые элементы. Из этого следует, что для ее нахождения необходимо просто сложить площади боковых плоскостей, то есть площади равнобедренных 3-угольников. Попробуем вывести формулу площади боковых элементов:
- Площадь равнобедренного 3-угольника равна Sтр=1/2(aL), где а – сторона основания, L – апофема.
- Количество боковых плоскостей зависит от вида k-го угольника в основании. К примеру, правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковые плоскости. Следовательно, необходимо сложить площади четырёх фигур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Выражение упрощено таким способом потому, что значение 4а=Росн, где Росн – периметр основы. А выражение 1/2*Росн является её полупериметром.
- Итак, делаем вывод, что площадь боковых элементов правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: Sбок=Росн*L.
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из суммы площадей боковых плоскостей и основания: Sп.п.= Sбок+Sосн.
Что касается площади основания, то здесь формула используется соответственно виду многоугольника.
Объем правильной пирамиды равен произведению площади плоскости основания на высоту, разделенную на три: V=1/3*Sосн*Н, где Н – высота многогранника.
Что такое правильная пирамиды в геометрии
Свойства правильной четырехугольной пирамиды
