На цьому уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлени на лінійні множники. Для цього необхідно згадати теорему Вієта та зворотну їй. Дане вміння допоможе нам швидко та зручно розкладати квадратні тричлени на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть у нас у лівій частині, називається квадратним тричленом.

Справедлива теорема:Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де – старший коефіцієнт, – коріння рівняння.

Отже, маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами на попередніх уроках.

Згадаймо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого , то .

З цієї теореми випливає таке твердження, що .

Ми бачимо, що, за теоремою Вієта, тобто підставивши дані значення у формулу вище, ми отримуємо наступний вираз

що й потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо коріння квадратного тричлена, то справедливе розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати таку рівність завдяки доведеній теоремі:

Тепер перевіримо правильність цього факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали правильно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, може бути розкладений за цією теоремою на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, чи для будь-якого рівняння можливе таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанта

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D має бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теореми неможливе.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен немає коренів, його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлену на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

Завдання №1

У цій групі ми за фактом вирішуватимемо завдання, зворотне до поставленої. Ми мали рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми діятимемо навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотне завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб було його корінням.

Для вирішення цього завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - Це квадратне рівняння, корінням якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки та перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння із заданим корінням, в якому немає будь-якого іншого коріння, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Цей спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - коріння рівняння, всі вони задовольняють умові, що .

Для наведеного квадратного рівняння , , т. е. у разі , а .

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задане коріння.

Завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен у чисельнику та тричлен у знаменнику, причому тричлени можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, серед них можуть виявитися рівні множники, які можна скоротити.

Насамперед необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти це рівняння на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки , то знак залежить від твору (має бути менше 0), у цьому прикладі , тобто задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, просто підібрати коріння буде досить складно. Але бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. е. якщо припустити, що , і підставити це значення рівняння, виходить така система: , т. е. 5-5=0. Таким чином, ми підібрали один із коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати шляхом підставки вже відомого у систему рівнянь, наприклад, , тобто. .

Таким чином, ми знайшли обидва корені квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкове завдання, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника .

Слід забути, що у своїй знаменник неспроможна дорівнювати 0, т. е. , .

Якщо ці умови будуть виконуватися, ми скоротили вихідний дріб до виду .

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння цього рівняння існує, то , питання: коли .

Для того щоб розкласти на множники, необхідно спрощувати вирази. Це потрібно для того, щоб можна було надалі скоротити. Розкладання многочлена має сенс тоді, коли його ступінь не нижче другого. Багаточлен із першим ступенем називають лінійним.

Стаття розкриє всі поняття розкладання, теоретичні основи та способи розкладу багаточлена на множники.

Теорія

Теорема 1

Коли будь-який многочлен зі ступенем n мають вигляд P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 представляють у вигляді твори з постійним множником зі старшим ступенем a n і n лінійних множників (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тоді P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , де x i, i = 1, 2, …, n - це і є коріння многочлена.

Теорема призначена для коренів комплексного типу x i, i = 1, 2, …, n та для комплексних коефіцієнтів a k, k = 0, 1, 2, …, n. Це і є основою будь-якого розкладання.

Коли коефіцієнти виду a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n є дійсними числами, тоді комплексне коріння, яке зустрічатиметься парами. Наприклад, коріння x 1 і x 2 відносяться до многочлена виду P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 вважаються комплексно сполученим, тоді інше коріння є дійсним, звідси отримуємо, що багаточлен набуде вигляду P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, де x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Зауваження

Коріння многочлена може повторюватися. Розглянемо доказ теореми алгебри, наслідки з теореми Безу.

Основна теорема алгебри

Теорема 2

Будь-який многочлен зі ступенем n має щонайменше один корінь.

Теорема Безу

Після того, як зробили поділ многочлена виду P n x = n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) тоді одержуємо залишок, який дорівнює многочлену в точці s тоді отримаємо

P n x = an x ​​n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) де Q n - 1 (x) є многочленом зі ступенем n - 1 .

Слідство з теореми Безу

Коли корінь многочлена P n (x) вважається s тоді P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x). Дане слідство є достатнім за умови вживання для опису рішення.

Розкладання на множники квадратного тричлена

Квадратний тричлен виду a x 2 + b x + c можна розкласти на лінійні множники. тоді отримаємо, що a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) де x 1 і x 2 - це коріння (комплексні або дійсні).

Звідси видно, що розкладання зводиться до розв'язання квадратного рівняння згодом.

Приклад 1

Зробити розкладання квадратного тричлена на множники.

Рішення

Необхідно знайти коріння рівняння 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Для цього необхідно знайти значення дискримінанта за формулою, тоді отримаємо D = (-5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Звідси маємо, що

x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Звідси отримуємо, що 4 x 2 – 5 x + 1 = 4 x – 1 4 x – 1 .

Для перевірки потрібно розкрити дужки. Тоді отримаємо вираз виду:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Після перевірки приходимо до вихідного виразу. Тобто можна дійти невтішного висновку, що розкладання виконано правильно.

Приклад 2

Розкласти на множники квадратний тричлен виду 3 x 2 - 7 x - 11 .

Рішення

Отримаємо, що необхідно обчислити квадратне рівняння виду, що вийшло 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .

Щоб знайти коріння, потрібно визначити значення дискримінанта. Отримаємо, що

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (-7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6

Звідси отримуємо, що 3 x 2 – 7 x – 11 = 3 x – 7 + 181 6 x – 7 – 181 6 .

Приклад 3

Зробити розкладання многочлена 2 x 2 + 1 на множники.

Рішення

Тепер потрібно вирішити квадратне рівняння 2 x 2 + 1 = 0 та знайти його коріння. Отримаємо, що

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i

Це коріння називають комплексно сполученим, отже саме розкладання можна зобразити як 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .

Приклад 4

Зробити розкладання квадратного тричлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Рішення

Для початку необхідно вирішити квадратне рівняння виду x 2 + 1 3 x + 1 = 0 і знайти його коріння.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Отримавши коріння, запишемо

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Зауваження

Якщо значення дискримінанта негативне, то багаточлени залишаться багаточленами другого порядку. Звідси випливає, що розкладати їх не будемо на лінійні множники.

Способи розкладання на множники багаточлена ступеня вище за другий

Під час розкладання передбачається універсальний метод. Більшість випадків грунтується на слідстві з теореми Безу. Для цього необхідно підбирати значення кореня x 1 і знизити його ступінь за допомогою поділу на многочлена на 1 поділом на (x - x 1). Отриманий многочлен потребує знаходження кореня x 2 причому процес пошуку циклічний до тих пір, поки не отримаємо повне розкладання.

Якщо корінь не знайшли, застосовуються інші способи розкладання на множники: угруповання, додаткові доданки. Ця тема вважає рішення рівнянь із вищими ступенями та цілими коефіцієнтами.

Винесення загального множника за дужки

Розглянемо випадок, коли вільний член дорівнює нулю, тоді вид многочлена стає як P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

Видно, що корінь такого багаточлена дорівнюватиме x 1 = 0 , тоді можна уявити багаточлен у вигляді виразу P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Цей спосіб вважається винесенням загального множника за дужки.

Приклад 5

Виконати розкладання багаточлена третього ступеня 4 x 3 + 8 x 2 – x на множники.

Рішення

Бачимо, що x 1 = 0 - це корінь заданого многочлена, тоді можна зробити винесення х за дужки всього виразу. Отримуємо:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Переходимо до знаходження коріння квадратного тричлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Знайдемо дискримінант та коріння:

D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2

Тоді випливає, що

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Спочатку приймемо за розгляд спосіб розкладання, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 де коефіцієнта при старшому ступені дорівнює 1 .

Коли многочлен має ціле коріння, тоді його вважають дільниками вільного члена.

Приклад 6

Зробити розкладання виразу f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .

Рішення

Розглянемо, чи є ціле коріння. Необхідно виписати дільники числа -18. Отримаємо, що ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Звідси випливає, що цей многочлен має ціле коріння. Можна перевірити за схемою Горнера. Вона дуже зручна і дозволяє швидко отримати коефіцієнти розкладання багаточлена:

Звідси випливає, що х = 2 і х = - 3 – це коріння вихідного многочлена, який можна як твір виду:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходимо до розкладання квадратного тричлена виду x2+2x+3.

Оскільки дискримінант отримуємо негативний, отже, дійсних коренів немає.

Відповідь: f(x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Зауваження

Допускається використання підбором кореня та розподіл багаточлена на багаточлен замість схеми Горнера. Перейдемо до розгляду розкладання многочлена, що містить цілі коефіцієнти виду P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 , старший з яких дорівнює одиниці.

Цей випадок має місце для дробово-раціональних дробів.

Приклад 7

Зробити розкладання на множники f(x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Рішення

Необхідно виконати заміну змінної y = 2 x слід переходити до многочлена з коефіцієнтами рівними 1 при старшому ступені. Необхідно почати з множення виразу на 4 . Отримуємо, що

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Коли функція виду g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, що вийшла, має цілі корені, тоді їх знаходження серед дільників вільного члена. Запис набуде вигляду:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Перейдемо до обчислення функції g (y) у цих точках для того, щоб отримати в результаті нуль. Отримуємо, що

g(1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (-1) = (-1) 3 + 19 · (-1) 2 + 82 · (-1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (-2) = (-2) 3 + 19 · (-2) 2 + 82 · (-2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (-3) = (-3) 3 + 19 · (-3) 2 + 82 · (-3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

Отримуємо, що у = - 5 – це корінь рівняння виду y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, отже, x = y 2 = - 5 2 – це корінь вихідної функції.

Приклад 8

Необхідно зробити поділ стовпчиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Рішення

Запишемо та отримаємо:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Перевірка дільників займе багато часу, тому вигідніше розкласти на множники отриманого квадратного тричлена виду x 2 + 7 x + 3 . Прирівнювання до нуля і знаходимо дискримінант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Звідси слідує що

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Штучні прийоми при розкладанні багаточлена на множники

Раціональне коріння не властиве всім багаточленам. Для цього необхідно користуватися спеціальними способами для знаходження множників. Але не всі багаточлени можна розкласти або подати у вигляді твору.

Спосіб угруповання

Бувають випадки, коли можна згруповувати складові багаточлена для знаходження загального множника та винесення його за дужки.

Приклад 9

Зробити розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множники.

Рішення

Тому що коефіцієнти - цілі числа, тоді коріння імовірно теж можуть бути цілими. Для перевірки візьмемо значення 1 , - 1 , 2 і - 2 у тому, щоб обчислити значення многочлена у цих точках. Отримуємо, що

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (-1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (-2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Звідси видно, що коріння немає, необхідно використовувати інший спосіб розкладання та розв'язання.

Необхідно провести угруповання:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Після угруповання вихідного многочлена необхідно подати його як добуток двох квадратних тричленів. Для цього нам знадобиться розкласти на множники. отримуємо, що

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Зауваження

Простота угруповання не говорить про те, що вибрати доданки досить легко. Певного способу рішення немає, тому необхідно користуватися спеціальними теоремами і правилами.

Приклад 10

Зробити розкладання на множники багаточленів x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Рішення

Заданий многочлен немає цілого коріння. Слід провести угруповання доданків. Отримуємо, що

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Після розкладання на множники отримаємо, що

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Використання формул скороченого множення та бінома Ньютона для розкладання багаточлена на множники

Зовнішній вигляд часто не завжди дає зрозуміти, яким способом необхідно скористатися під час розкладання. Після того, як були зроблені перетворення, можна побудувати рядок, що складається з трикутника Паскаля, інакше їх називають біном Ньютона.

Приклад 11

Зробити розкладання многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множники.

Рішення

Необхідно виконати перетворення виразу на вигляд

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

На послідовність коефіцієнтів суми в дужках вказує вираз x + 14.

Отже, маємо x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Після застосування різниці квадратів, отримаємо

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Розглянемо вираз, що знаходиться у другій дужці. Зрозуміло, що там коней немає, тож слід застосувати формулу різниці квадратів ще раз. Отримуємо вираз виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Приклад 12

Розкласти на множники x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Рішення

Займемося перетворенням виразу. Отримуємо, що

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необхідно застосувати формулу скороченого множення різниці кубів. Отримуємо:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Спосіб заміни змінної при розкладанні многочлена на множники

При заміні змінної виробляється зниження ступеня і розкладання многочлена на множники.

Приклад 13

Зробити розкладання на множники многочлена виду x 6 + 5 x 3 + 6 .

Рішення

За умовою видно, що необхідно провести заміну y = x3. Отримуємо:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Коріння отриманого квадратного рівняння дорівнює y = - 2 і y = - 3 тоді

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Потрібно застосувати формулу скороченого множення суми кубів. Отримаємо вирази виду:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Тобто отримали потрібне розкладання.

Розглянуті вище випадки допоможуть у розгляді та розкладі багаточлена на множники різними способами.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

На цьому уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлени на лінійні множники. Для цього необхідно згадати теорему Вієта та зворотну їй. Дане вміння допоможе нам швидко та зручно розкладати квадратні тричлени на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть у нас у лівій частині, називається квадратним тричленом.

Справедлива теорема:Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де – старший коефіцієнт, – коріння рівняння.

Отже, маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами на попередніх уроках.

Згадаймо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого , то .

З цієї теореми випливає таке твердження, що .

Ми бачимо, що, за теоремою Вієта, тобто підставивши дані значення у формулу вище, ми отримуємо наступний вираз

що й потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо коріння квадратного тричлена, то справедливе розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати таку рівність завдяки доведеній теоремі:

Тепер перевіримо правильність цього факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали правильно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, може бути розкладений за цією теоремою на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, чи для будь-якого рівняння можливе таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанта

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D має бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теореми неможливе.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен немає коренів, його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлену на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

Завдання №1

У цій групі ми за фактом вирішуватимемо завдання, зворотне до поставленої. Ми мали рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми діятимемо навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотне завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб було його корінням.

Для вирішення цього завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - Це квадратне рівняння, корінням якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки та перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння із заданим корінням, в якому немає будь-якого іншого коріння, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Цей спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - коріння рівняння, всі вони задовольняють умові, що .

Для наведеного квадратного рівняння , , т. е. у разі , а .

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задане коріння.

Завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен у чисельнику та тричлен у знаменнику, причому тричлени можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, серед них можуть виявитися рівні множники, які можна скоротити.

Насамперед необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти це рівняння на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки , то знак залежить від твору (має бути менше 0), у цьому прикладі , тобто задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, просто підібрати коріння буде досить складно. Але бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. е. якщо припустити, що , і підставити це значення рівняння, виходить така система: , т. е. 5-5=0. Таким чином, ми підібрали один із коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати шляхом підставки вже відомого у систему рівнянь, наприклад, , тобто. .

Таким чином, ми знайшли обидва корені квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкове завдання, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника .

Слід забути, що у своїй знаменник неспроможна дорівнювати 0, т. е. , .

Якщо ці умови будуть виконуватися, ми скоротили вихідний дріб до виду .

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння цього рівняння існує, то , питання: коли .

Розкладання багаточленів для отримання твору іноді видається заплутаним. Але це не так складно, якщо розібратися в покроковому процесі. У статті докладно розказано, як розкласти на множники квадратний тричлен.

Багатьом незрозуміло, як розкласти на множники квадратний тричлен, і навіщо це робиться. Спочатку може здатися, що це марна справа. Але в математиці нічого не робиться просто так. Перетворення необхідне спрощення висловлювання і зручності обчислення.

Багаточлен, що має вигляд – ax²+bx+c, називається квадратним тричленом.Доданок «a» має бути негативним або позитивним. Насправді цей вираз називається квадратним рівнянням. Тому іноді кажуть і інакше: як розкласти квадратне рівняння.

Цікаво!Квадратним багаточленом називають через найбільший його ступінь – квадрат. А тричленом - через 3-х складових доданків.

Деякі інші види багаточленів:

• лінійний двочлен (6x+8);
• кубічний чотиричлен (x³+4x²-2x+9).

Розкладання квадратного тричлена на множники

Спочатку вираз дорівнює нулю, потім потрібно знайти значення коренів x1 і x2. Коріння може не бути, може бути один або два корені. Наявність коренів визначається дискримінантом. Його формулу треба знати напам'ять: D=b2-4ac.

Якщо результат D виходить негативний, коріння немає. Якщо позитивний – кореня два. Якщо в результаті вийшов нуль – корінь один. Коріння теж обчислюється за формулою.

Якщо при обчисленні дискримінанта виходить нуль, можна застосовувати будь-яку формулу. Насправді формула просто скорочується: -b / 2a.

Формули щодо різних значень дискримінанта різняться.

Якщо D позитивний:

Якщо D дорівнює нулю:

Онлайн калькулятори

В інтернеті є онлайн-калькулятор. З його допомогою можна виконати розкладання на множники. На деяких ресурсах надається можливість подивитися рішення покроково. Такі послуги допомагають краще зрозуміти тему, але потрібно постаратися добре вникнути.

Корисне відео: Розкладання квадратного тричлена на множники

Приклади

Пропонуємо переглянути прості приклади, як розкласти квадратне рівняння на множники.

Приклад 1

Тут показано, що в результаті вийде два x, тому що D позитивний. Їх і треба підставити у формулу. Якщо коріння вийшло негативне, знак у формулі змінюється на протилежний.

Нам відома формула розкладання квадратного тричлена на множники: a(x-x1)(x-x2). Ставимо значення у дужки: (x+3)(x+2/3). Перед складником ступеня немає числа. Це означає, що там одиниця, вона опускається.

Приклад 2

Цей приклад наочно показує, як розв'язувати рівняння, що має один корінь.

Підставляємо значення, що вийшло:

Приклад 3

Дано: 5x²+3x+7

Спочатку обчислимо дискримінант, як у попередніх випадках.

D = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.

Дискримінант негативний, отже, коріння немає.

Після отримання результату варто розкрити дужки та перевірити результат. Повинен з'явитися вихідний тричлен.

Альтернативний спосіб вирішення

Деякі люди так і не змогли потоваришувати з дискримінантом. Можна ще одним способом розкласти квадратний тричлен на множники. Для зручності спосіб показано на прикладі.

Дано: x²+3x-10

Ми знаємо, що повинні вийти 2 дужки: (_) (_). Коли вираз має такий вигляд: x²+bx+c, на початку кожної дужки ставимо x: (x_)(x_). Дві числа, що залишилися – твір, що дає «c», тобто в цьому випадку -10. Дізнатися, які це числа, можна лише шляхом підбору. Підставлені числа повинні відповідати доданку, що залишився.

Наприклад, перемноження наступних чисел дає -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ні.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ні.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ні.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Підходить.

Отже, перетворення виразу x2+3x-10 має такий вигляд: (x-2)(x+5).

Важливо!Варто уважно стежити, щоб не переплутати знаки.

Розкладання складного тричлена

Якщо "a" більше одиниці, починаються складнощі. Але все не так важко, як здається.

Щоб виконати розкладання на множники, потрібно спочатку подивитися, чи можна щось винести за дужку.

Наприклад, вираз: 3x²+9x-30. Тут виноситься за дужку число 3:

3(x²+3x-10). В результаті виходить вже відомий тричлен. Відповідь виглядає так: 3(x-2)(x+5)

Як розкладати, якщо доданок, який знаходиться у квадраті негативний? У разі за дужку виноситься число -1. Наприклад: -x²-10x-8. Після вираз виглядатиме так:

Схема мало відрізняється від попередньої. Є лише кілька нових моментів. Допустимо, дано вираз: 2x²+7x+3. Відповідь також записується у 2-х дужках, які потрібно заповнити (_) (_). У 2-у дужку записується x, а в 1-у те, що залишилося. Це так: (2x_)(x_). В іншому повторюється попередня схема.

Число 3 дають числа:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Вирішуємо рівняння, підставляючи дані числа. Підходить останній варіант. Отже, перетворення виразу 2x2+7x+3 виглядає так: (2x+1)(x+3).

Інші випадки

Перетворити вираз вийде який завжди. При другому способі рішення рівняння не буде потрібно. Але можливість перетворення доданків у твір перевіряється лише через дискримінант.

Варто потренуватися вирішувати квадратні рівняння, щоб при використанні формул не виникало труднощів.

Корисне відео: розкладання тричлена на множники

Висновок

Користуватися можна будь-яким способом. Але краще обоє відпрацювати до автоматизму. Також навчитися добре вирішувати квадратні рівняння та розкладати багаточлени на множники потрібно тим, хто має намір пов'язати своє життя з математикою. На цьому будуються всі математичні теми.

Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільних завдань, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Яка формула розкладання квадратного тричлена на множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.

Загальна формула

Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється розв'язком квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити кількома методами – знаходженням дискримінанта, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосіб розв'язання. Перші два способи вивчаються у середній школі.

Загальна формула виглядає так:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм виконання завдання

Щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму на вирішення, вміти знаходити рішення графічно чи шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанта. Якщо даний квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:

1) Зрівняти вихідний вираз до нуля, щоб отримати рівняння.

2) Навести подібні доданки (якщо є така необхідність).

3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати у разі, якщо наперед відомо, що коріння - цілі та невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів дорівнює максимальному ступеню рівняння, тобто квадратного рівняння коренів два.

4) Підставити значення ху вираз (1).

5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.

Приклади

Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричлена приклади:

необхідно розкласти вираз:

Вдамося до нашого алгоритму:

1) х 2 -17х +32 = 0

2) подібні доданки зведені

3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанта:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Підставимо знайдене нами коріння в основну формулу для розкладання:

(Х-2,155) * (Х-14,845)

5) Тоді відповідь буде такою:

х 2 -17х +32 = (х-2,155) (х-14,845)

Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулам Вієта:

14,845 . 2,155=32

Для цих коренів застосовується теорема Вієта, вони знайшли правильно, отже отримане нами розкладання на множники теж правильно.

Аналогічно розкладемо 12х2+7х-6.

х 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

У попередньому випадку рішення були нецілими, але дійсними числами, які легко знайти, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо складніший приклад, у якому коріння буде комплексним: розкласти на множники х 2+4х+9. За формулою Вієта коріння знайти не вийде, і дискримінант негативний. Коріння буде на комплексній площині.

D=-20

Виходячи з цього, отримуємо корені, що нас цікавлять, -4+2i*5 1/2 і -4-2i * 5 1/2, оскільки (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Отримуємо розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.

Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х2-14х+7.

Маємо рівняння 23х2 -14х+7 =0

D=-448

Значить, коріння 14+21,166i та 14-21,166i. Відповідь буде такою:

23х2 -14х+7 = 23 (х- 14-21,166i )*(х- 14+21,166i ).

Наведемо приклад, який можна вирішити без допомоги дискримінанта.

Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х2-32х+255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в цьому випадку підібрати коріння.

x 1 = 15

x 2 = 17

Значить х 2 -32х +255 = (Х-15) (Х-17).