Початкові геометричні відомості

Поняття відрізка, як і поняття точки, прямої, променя та кута, відноситься до початкових геометричних відомостей. З цих понять починається вивчення геометрії.

Під "початковими відомостями" зазвичай розуміють щось елементарне та просте. У розумінні, можливо, так і є. Тим не менш, такі прості поняття часто зустрічаються і виявляються необхідними не тільки в нашому повсякденному житті, а й у виробництві, будівництві та інших галузях нашої життєдіяльності.

Почнемо з визначень.

Визначення 1

Відрізок - частина прямої, обмежена двома точками (кінцями).

Якщо кінці відрізка є точками $A$ і $B$, то утворений відрізок записують як $AB$ чи $BA$. Такому відрізку належать точки $A$ і $B$, а також усі точки прямої, що лежать між цими точками.

Визначення 2

Середина відрізка - точка відрізка, яка ділить його навпіл на два рівні відрізки.

Якщо це точка $C$, то $AC=CB$.

Вимір відрізка відбувається порівнянням з певним відрізком, прийнятим за одиницю виміру. Найчастіше використовують сантиметр. Якщо у заданому відрізку сантиметр укладається рівно чотири рази, це означає, що довжина даного відрізка дорівнює $4$ див.

Введемо просте спостереження. Якщо точка ділить відрізок на два відрізки, то довжина всього відрізка дорівнює сумі довжин цих відрізків.

Формула знаходження координати середини відрізка

Формула знаходження координати середини відрізка відноситься до курсу аналітичної геометрії на площині.

Дамо визначення координат.

Визначення 3

Координати - це певні (чи впорядковані) числа, які показують положення точки на площині, поверхні чи просторі.

У нашому випадку координати відзначаються на площині, визначеній координатними осями.

Малюнок 3. Координатна площина. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Опишемо малюнок. На площині вибрано точку, яка називається початком координат. Її позначають буквою $O$. Через початок координат проведено дві прямі (координатні осі), що перетинаються під прямим кутом, причому одна з них строго горизонтальна, а інша вертикальна. Таке становище вважається простим. Горизонтальна пряма називається віссю абсцис і означає $OX$, вертикальна - віссю ординат $OY$.

Таким чином осі визначають площину $XOY$.

Координати точок у такій системі визначаються двома числами.

Існують різні формули (рівняння), що визначають ті чи інші координати. Зазвичай у курсі аналітичної геометрії вивчають різні формули прямих, кутів, довжини відрізка та інші.

Перейдемо одразу до формули координати середини відрізка.

Визначення 4

Якщо координати точки $E(x,y)$ - це середина відрізка $M_1M_2$, то:

Малюнок 4. Формула знаходження координати середини відрізка. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Практична частина

Приклади зі шкільного курсу геометрії досить прості. Розглянемо кілька основних.

Для кращого розуміння, розглянемо спочатку елементарний наочний приклад.

Приклад 1

Маємо малюнок:

На малюнку відрізки $AC, CD, DE, EB$ рівні.

1. Серединою яких відрізків є точка $D$?
2. Яка точка є центром відрізка $DB$?

1. точка $D$ є серединою відрізків $AB$ та $CE$;
2. точка $E$.

Розглянемо інший простий приклад, у якому необхідно обчислити довжину.

Приклад 2

Крапка $B$ - середина відрізка $AC$. $AB = 9$ див. Яка довжина $AC$?

Оскільки т. $B$ ділить $AC$ навпіл, то $AB = BC= 9$ див. Отже, $AC = 9+9=18$ див.

Відповідь: 18 см.

Інші подібні приклади зазвичай ідентичні та орієнтовані на вміння зіставляти значення довжин та їх подання з діями алгебри. Нерідко в завданнях трапляються випадки, коли сантиметр не укладається рівно кількість разів у відрізок. Тоді одиницю виміру ділять на рівні частини. У нашому випадку сантиметр поділяється на 10 мм. Окремо вимірюють решту, порівнюючи з міліметром. Наведемо приклад, який демонструє такий випадок.

Як знайти координати середини відрізка
Спочатку розберемося, що таке середина відрізка.
Серединою відрізка вважають точку, яка належить даному відрізку і відстоїть однакову відстань від його кінців.

Координати такої точки нескладно знайти, якщо відомі координати кінців цього відрізку. У такому разі координати середини відрізка дорівнюють половині суми відповідних координат кінців відрізка.
Координати середини відрізка часто знаходять, вирішуючи завдання медіану, середню лінію тощо.
Розглянемо обчислення координат середини відрізка для двох випадків: коли відрізок заданий на площині та заданий у просторі.
Нехай відрізок на площині заданий двома точками з координатами та . Тоді координати середини відрізка РН розраховуються за такою формулою:

Нехай відрізок заданий у просторі двома точками з координатами та . Тоді координати середини відрізка РН розраховуються за такою формулою:

приклад.
Знайти координати точки К - середини МО, якщо М (-1; 6) і О (8; 5).

Рішення.
Оскільки точки мають дві координати, отже, відрізок заданий на площині. Використовуємо відповідні формули:

Отже, середина МО матиме координати К (3,5; 5,5).

Відповідь.До (3,5; 5,5).

Після кропіткої праці я раптом помітив, що розміри веб-сторінок досить великі, і якщо так піде далі, то можна тихо мирно озвіріти. про поділ відрізка в цьому відношенні, і, як окремий випадок, про поділ відрізка навпіл.

Це завдання з тих чи інших причин не вписалося в інші уроки, але зараз є чудова можливість розглянути її докладно і неквапливо. Приємна новина полягає в тому, що ми трохи відпочинемо від векторів і зосередимо увагу на точках та відрізках.

Формули поділу відрізка у цьому відношенні

Поняття поділу відрізка у цьому відношенні

Нерідко обіцяного зовсім чекати не доводиться, відразу розглянемо пару точок і, очевидне неймовірне - відрізок:

Розглянута задача справедлива як для відрізків площини, так і для відрізків простору. Тобто, демонстраційний відрізок можна як завгодно розмістити на площині чи просторі. Для зручності пояснень я намалював його горизонтально.

Що робитимемо з цим відрізком? На цей раз пиляти. Хтось пиляє бюджет, хтось пиляє чоловіка, хтось пиляє дрова, а ми почнемо пиляти відрізок на дві частини. Відрізок ділиться на дві частини за допомогою деякої точки, яка, зрозуміло, розташована прямо на ньому:

У даному прикладі точка ділить відрізок ТАКИМ чином, що відрізок вдвічі коротший від відрізка . ЩЕ можна сказати, що точка ділить відрізок у відношенні («один до двох»), рахуючи від вершини .

Сухою математичною мовою цей факт записують наступним чином: , або частіше у вигляді звичної пропорції: . Ставлення відрізків прийнято стандартно позначати грецькою літерою «лямбда», у разі: .

Пропорцію нескладно скласти і в іншому порядку: - цей запис означає, що відрізок вдвічі довший відрізка , але якогось принципового значення для вирішення завдань це не має. Можна так, а можна так.

Зрозуміло, відрізок легко розділити в якомусь іншому відношенні, і як закріплення поняття другий приклад:

Тут справедливе співвідношення: . Якщо скласти пропорцію навпаки, тоді отримуємо: .

Після того, як ми розібралися, що означає розділити відрізок у цьому плані, перейдемо до розгляду практичних завдань.

Якщо відомі дві точки площини , то координати точки , яка ділить відрізок щодо , виражаються формулами:

Звідки взялися дані формули? У курсі аналітичної геометрії ці формули суворо виводяться з допомогою векторів (куди ж без них? =)). Крім того, вони справедливі не тільки для декартової системи координат, але і для довільної системи афінної координат (див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Таке універсальне завдання.

Приклад 1

Знайти координати точки , що ділить відрізок щодо , якщо відомі точки

Рішення: У цій задачі . За формулами поділу відрізка в даному відношенні, знайдемо точку:

Відповідь:

Зверніть увагу на техніку обчислень: спочатку потрібно окремо обчислити чисельник та окремо знаменник. В результаті часто (але далеко не завжди) виходить трьох-або чотириповерховий дріб. Після цього позбавляємося багатоповерховості дробу і проводимо остаточні спрощення.

У задачі не потрібно будувати креслення, але його завжди корисно виконати на чернетці:

Справді, співвідношення виконується, тобто відрізок втричі коротший від відрізка . Якщо пропорція не очевидна, то відрізки завжди можна виміряти тупою звичайною лінійкою.

Рівноцінний другий спосіб вирішення: у ньому відлік починається з точки і справедливим є ставлення: (Людськими словами, відрізок втричі довше відрізка). За формулами розподілу відрізка у цьому відношенні:

Відповідь:

Зауважте, що у формулах необхідно перемістити координати точки на перше місце, оскільки маленький трилер починався саме з неї.

Також видно, що другий спосіб раціональніший через більш простих обчислень. Але все-таки це завдання найчастіше вирішують у «традиційному» порядку. Наприклад, якщо за умовою дано відрізок, то передбачається, що ви складете пропорцію, якщо дано відрізок, то «негласно» мається на увазі пропорція.

А другий метод я привів з тієї причини, що часто умова завдання намагаються навмисно підплутати. Саме тому дуже важливо виконувати чорновий креслення щоб, по-перше, правильно проаналізувати умову, а по-друге, з метою перевірки. Прикро припускатися помилок у такому простому завданні.

Приклад 2

Дано крапки . Знайти:

а) точку, що ділить відрізок щодо;
б) точку , що ділить відрізок щодо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Іноді зустрічаються завдання, де невідомий один із кінців відрізка:

Приклад 3

Крапка належить відрізку. Відомо, що відрізок вдвічі довший відрізка . Знайти точку , якщо .

Рішення: З умови випливає, що точка ділить відрізок щодо , рахуючи від вершини , тобто, справедлива пропорція: . За формулами розподілу відрізка у цьому відношенні:

Зараз нам невідомі координати точки: , але це не є особливою проблемою, тому що їх легко виразити з наведених вище формул. У загальному вигляді висловлювати нічого не варто, набагато простіше підставити конкретні числа і акуратно розібратися з обчисленнями:

Відповідь:

Для перевірки можна взяти кінці відрізка і, користуючись формулами у прямому порядку, переконатися, що при співвідношенні дійсно вийде точка . І, звичайно ж, звичайно, не зайвим буде креслення. А щоб остаточно переконати вас у користі картатого зошита, простого олівця та лінійки, пропоную хитре завдання для самостійного розв'язання:

Приклад 4

Крапка . Відрізок у півтора рази коротший від відрізка. Знайти точку , якщо відомі координати точок .

Рішення наприкінці уроку. Воно, до речі, не єдине, якщо підете відмінним від зразка шляхом, це не буде помилкою, головне, щоб збіглися відповіді.

Для просторових відрізків все буде так само, тільки додасться ще одна координата.

Якщо відомі дві точки простору , то координати точки , яка поділяє відрізок щодо , виражаються формулами:
.

Приклад 5

Дані точки. Знайти координати точки , що належить відрізку , якщо відомо, що .

Рішення: З умови випливає відношення: . Даний приклад взятий з реальної контрольної роботи, і його автор дозволив собі невелику витівку (раптом хто спіткнеться) - пропорцію в умові раціональніше було записати так: .

За формулами координат середини відрізка:

Відповідь:

Тривимірні креслення з метою перевірки виконувати значно складніше. Однак завжди можна зробити схематичний малюнок, щоб розібратися хоча б за умови – які відрізки необхідно співвідносити.

Що стосується дробів у відповіді, не дивуйтеся, звичайно. Багато разів говорив, але повторюся: у вищій математиці заведено орудувати звичайними правильними і неправильними дробами. Відповідь у вигляді піде, але варіант із неправильними дробами більш стандартний.

Розмінна задача для самостійного розв'язання:

Приклад 6

Дані точки. Знайти координати точки , якщо відомо, що вона ділить відрізок щодо .

Рішення та відповідь наприкінці уроку. Якщо важко зорієнтуватися у пропорціях, виконайте схематичне креслення.

У самостійних і контрольних роботах розглянуті приклади зустрічаються як власними силами, і складовою великих завдань. У цьому сенсі типове завдання знаходження центру тяжкості трикутника.

Різновид завдання, де невідомий один із кінців відрізка, розбирати не бачу особливого сенсу, тому що все буде схоже на плоский випадок, хіба що обчислень трохи більше. Краще згадаємо роки шкільні:

Формули координат середини відрізка

Навіть непідготовлені читачі можуть пам'ятати, як розділити відрізок навпіл. Завдання розподілу відрізка на дві рівні частини – це окремий випадок розподілу відрізка в цьому відношенні. Дворучна пилка працює найдемократичнішим чином, і кожному сусідові за партою дістається однаковою палицею:

У цей урочистий час стукають барабани, вітаючи визначну пропорцію. І загальні формули чудовим чином перетворюються на щось знайоме і просте:

Зручним моментом є той факт, що координати кінців відрізка можна безболісно переставити:

У загальних формулах такий розкішний номер, як знаєте, не минає. Та й тут у ньому немає особливої ​​потреби, так, приємна дрібниця.

Для просторового випадку справедлива очевидна аналогія. Якщо дані кінці відрізка , то координати його середини виражаються формулами:

Приклад 7

Паралелограм заданий координатами своїх вершин. Знайти точку перетину його діагоналей.

Рішення: Бажаючі можуть виконати креслення Графіті особливо раджу тим, хто капітально забув шкільний курс геометрії.

За відомою властивістю діагоналі паралелограма своєю точкою перетину діляться навпіл, тому завдання можна вирішити двома способами.

Спосіб перший: Розглянемо протилежні вершини. . За формулами розподілу відрізка навпіл знайдемо середину діагоналі:

Не складає ніяких труднощів. Для їхнього розрахунку існує простий вираз, який легко запам'ятати. Наприклад, якщо координати кінців якого-небудь відрізка відповідно дорівнюють (х1; у1) і (х2; у2) відповідно, то координати його середини розраховуються як середнє арифметичне цих координат, тобто:

Ось і вся складність.
Розглянемо розрахунок координат центру однієї з відрізків на конкретному прикладі, як і просили.

Завдання.
Знайти координати якоїсь точки М, якщо вона є серединою (центром) відрізка КР, кінців якого мають такі координати: (-3; 7) і (13; 21) відповідно.

Рішення.
Використовуємо розглянуту вище формулу:

Відповідь. М (5; 14).

За допомогою даної формули можна знайти не тільки координати середини будь-якого відрізка, але і його кінців. Розглянемо приклад.

Завдання.
Дано координати двох точок (7; 19) і (8; 27). Знайти координати одного з кінців відрізка, якщо попередні дві точки є його кінцем та серединою.

Рішення.
Позначимо кінці відрізка К і Р, яке середину S. Перепишемо формулу з урахуванням нових назв:

Підставимо відомі координати та обчислимо окремі координати: