​ Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, есть ли линейная связь между изменениями значений двух переменных. В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r xy или R xy .

1. История разработки критерия корреляции

Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон .

2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.

3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа .
3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа .
4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим , в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

Например, рост ребенка зависит от его возраста, то есть чем старше ребенок, тем он выше. Если мы возьмем двух детей разного возраста, то с высокой долей вероятности рост старшего ребенка будет больше, чем у младшего. Данное явление и называется зависимостью , подразумевающей причинно-следственную связь между показателями. Разумеется, между ними имеется и корреляционная связь , означающая, что изменения одного показателя сопровождаются изменениями другого показателя.

В другой ситуации рассмотрим связь роста ребенка и частоты сердечных сокращений (ЧСС). Как известно, обе эти величины напрямую зависят от возраста, поэтому в большинстве случаев дети большего роста (а значит и более старшего возраста) будут иметь меньшие значения ЧСС. То есть, корреляционная связь будет наблюдаться и может иметь достаточно высокую тесноту. Однако, если мы возьмем детей одного возраста , но разного роста , то, скорее всего, ЧСС у них будет различаться несущественно, в связи с чем можно сделать вывод о независимости ЧСС от роста.

Приведенный пример показывает, как важно различать фундаментальные в статистике понятия связи и зависимости показателей для построения верных выводов.

4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока :

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t r превышает t крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице.

При корреляционной связи одной и той же величине одного признака соответствуют разные величины другого. Например: между ростом и весом имеется корреляционная связь, между заболеваемостью злокачественными новообразованиямии возрастом и т.д.

Существует 2 метода вычисления коэффициента корреляции: метод квадратов(Пирсона), метод рангов (Спирмена).

Наиболее точным является метод квадратов (Пирсона), при котором коэффициент корреляции определяется по формуле: , где

r ху ― коэффициент корреляции между статистическим рядом X и Y.

d х ― отклонение каждого из чисел статистического ряда X от своей средней арифметической.

d у ― отклонение каждого из чисел статистического ряда Y от своей средней арифметической.

В зависимости от силы связи и ее направления коэффициент корреляции может находиться в пределах от 0 до 1 (-1). Коэффициент корреляции, равный 0, говорит о полном отсутствии связи. Чем ближе уровень коэффициента корреляции к 1 или (-1), тем соответственно больше, теснее измеряемая им прямая или обратная связь. При коэффициенте корреляции равном 1 или (-1) связь полная, функциональная.

Схема оценки силы корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Сила связи	Величина коэффициента корреляции при наличии
	прямой связи (+)	обратной связи (-)
Связь отсутствует
Связь малая (слабая)	от 0 до +0,29	от 0 до –0,29
Связь средняя (умеренная)	от +0,3 до +0,69	от –0,3 до –0,69
Связь большая (сильная)	от +0,7 до +0,99	от –0,7 до –0,99
Связь полная (функциональная)

Для вычисления коэффициента корреляции по методу квадратов составляется таблица из 7 колонок. Разберем процесс вычисления на примере:

ОПРЕДЕЛИТЬ СИЛУ И ХАРАКТЕР СВЯЗИ МЕЖДУ

	Пора- ность зобом (V y )	d x = V x –M x	d y = V y –M y	d x d y	d x 2	d y 2
				Σ -1345 ,0	Σ 13996 ,0	Σ 313 , 47

1. Определяем среднее содержание йода в воде (в мг/л).

мг/л

2.Определяем среднюю пораженность зобом в %.

3. Определяем отклонение каждого V x от М x , т.е. d x .

201–138=63; 178–138=40 и т.д.

4. Аналогично определяем отклонение каждого V у от M у, т.е. d у.

0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 и т.д.

5. Определяем произведения отклонений. Полученное произведение суммируем и получаем.

6. d х возводим в квадрат и результаты суммируем, получаем.

7. Аналогично возводим в квадрат d у, результаты суммируем, получим

8. Наконец, все полученные суммы подставляем в формулу:

Для решения вопроса о достоверности коэффициента корреляции определяют его среднюю ошибку по формуле:

(Если число наблюдений менее 30, тогда в знаменателе n–1).

В нашем примере

Величина коэффициента корреляции считается достоверной, если не менее чем в 3 раза превышает свою среднюю ошибку.

В нашем примере

Таким образом, коэффициент корреляции не достоверен, что вызывает необходимость увеличения числа наблюдений.

Коэффициент корреляции можно определить несколько менее точным, но намного более легким способом ― методом рангов (Спирмена).

Метод Спирмена: P=1-(6∑d 2 /n-(n 2 -1))

составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд соответственно х и у. При этом представить первый ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив тех значений первого ряда, которым они соответствуют

величину признака в каждом из сравниваемых рядов заменить порядковым номером (рангом). Рангами, или номерами, обозначают места показателей (значения) первого и второго рядов. При этом числовым значениям второго признака ранги должны присваиваться в том же порядке, какой был принят при раздаче их величинам первого признака. При одинаковых величинах признака в ряду ранги следует определять как среднее число из суммы порядковых номеров этих величин

определить разность рангов между х и у (d): d = х - у

возвести полученную разность рангов в квадрат (d 2)

получить сумму квадратов разности (Σ d 2) и подставить полученные значения в формулу:

Пример: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод - метод квадратов.

Решение . Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

Стаж работы в годах	Число травм	Порядковые номера (ранги)		Разность рангов	Квадрат разности рангов
				d(х-у)	d 2

Каждый из рядов парных признаков обозначить через "х" и через "у" (графы 1-2).

Величину каждого из признаков заменить ранговым (порядковым) номером. Порядок раздачи рангов в ряду "x" следующий: минимальному значению признака (стаж до 1 года) присвоен порядковый номер "1", последующим вариантам этого же ряда признака соответственно в порядке увеличения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й порядковые номера - ранги (см. графу 3). Аналогичный порядок соблюдается при раздаче рангов второму признаку "у" (графа 4). В тех случаях, когда встречаются несколько одинаковых по величине вариант (например, в задаче-эталоне это 12 и 12 травм на 100 работающих при стаже 3-4 года и 5-6 лет, порядковый номер обозначить средним числом из суммы их порядковых номеров. Эти данные о числе травм (12 травм) при ранжировании должны занимать 2 и 3 места, таким образом среднее число из них равно (2 + 3)/2 = 2,5. Таким образом, числу травм "12" и "12" (признаку) следует раздать ранговые номера одинаковые - "2,5" (графа 4).

Определить разность рангов d = (х - у) - (графа 5)

Разность рангов возвести в квадрат (d 2) и получить сумму квадратов разности рангов Σ d 2 (графа 6).

Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по формуле:

где n - число сопоставляемых пар вариант в ряду "x" и в ряду "у"

Важнейшей целью статистики является изучение объективно существующих связей между явлениями. В ходе статистического исследования этих связей необходимо выявить причинно-следственные зависимости между показателями, т.е. насколько изменение одних показателей зависит от изменения других показателей.

Существует две категории зависимостей (функциональная и корреляционная) и две группы признаков (признаки-факторы и результативные признаки). В отличие от функциональной связи, где существует полное соответствие между факторными и результативными признаками, в корреляционной связи отсутствует это полное соответствие.

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии ).

Могут иметь место различные формы связи :

прямолинейная

криволинейная в виде: параболы второго порядка (или высших порядков)

гиперболы

показательной функции и т.д.

Параметры для всех этих уравнений связи, как правило, определяют из системы нормальных уравнений , которые должны отвечать требованию метода наименьших квадратов (МНК):

Если связь выражена параболой второго порядка (), то систему нормальных уравнений для отыскания параметров a0, a1, a2 (такую связь называют множественной, поскольку она предполагает зависимость более чем двух факторов) можно представить в виде

Другая важнейшая задача - измерение тесноты зависимости - для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

где - дисперсия в ряду выравненных значений результативного показателя ;

Дисперсия в ряду фактических значений у.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.

В статистической практике могут встречаться такие случаи, когда качества факторных и результативных признаков не могут быть выражены численно. Поэтому для измерения тесноты зависимости необходимо использовать другие показатели. Для этих целей используются так называемые непараметрические методы .

Наибольшее распространение имеют ранговые коэффициенты корреляции , в основу которых положен принцип нумерации значений статистического ряда. При использовании коэффициентов корреляции рангов коррелируются не сами значения показателей х и у, а только номера их мест, которые они занимают в каждом ряду значений. В этом случае номер каждой отдельной единицы будет ее рангом.

Коэффициенты корреляции, основанные на использовании ранжированного метода, были предложены К. Спирмэном и М. Кендэлом.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна (р) основан на рассмотрении разности рангов значений результативного и факторного признаков и может быть рассчитан по формуле

где d = Nx - Ny , т.е. разность рангов каждой пары значений х и у; n - число наблюдений.

Ранговый коэффициент корреляции Кендэла () можно определить по формуле

где S = P + Q.

К непараметрическим методам исследования можно отнести коэффициент ассоциации Кас и коэффициент контингенции Ккон, которые используются, если, например, необходимо исследовать тесноту зависимости между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков.

Для определения этих коэффициентов создается расчетная таблица (таблица «четырех полей»), где статистическое сказуемое схематически представлено в следующем виде:

Признаки

Здесь а, b, c, d - частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков ; n - общая сумма частот.

Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле

Нужно иметь в виду, что для одних и тех же данных коэффициент контингенции (изменяется от -1 до +1) всегда меньше коэффициента ассоциации.

Если необходимо оценить тесноту связи между альтернативными признаками, которые могут принимать любое число вариантов значений, применяется коэффициент взаимной сопряженности Пирсона (КП).

Для исследования такого рода связи первичную статистическую информацию располагают в форме таблицы:

Признаки

Здесь mij - частоты взаимного сочетания двух атрибутивных признаков; П - число пар наблюдений.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле

где - показатель средней квадратической сопряженности:

Коэффициент взаимной сопряженности изменяется от 0 до 1.

Наконец, следует упомянуть коэффициент Фехнера , характеризующий элементарную степень тесноты связи, который целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Данный коэффициент определяется по формуле

где na - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; nb - соответственно количество несовпадений.

Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0 Кф +1,0.

Коэффициент корреляции формула

В процессе хозяйственной деятельности человека постепенно сформировался целый класс задач по выявлению различных статистических закономерностей.

Требовалось оценивать степень детерминированности одних процессов другими, требовалось устанавливать тесноту взимозависимости между разными процессами, переменными.
Корреляция – это взаимосвязь переменных друг от друга.

Для оценки тесноты зависимости был введён коэффициент корреляции.

Физический смысл коэффициента корреляции

Чёткий физический смысл коэффициент корреляции имеет, если статистические параметры независимых переменных подчиняются нормальному распределению, графически такое распределение представляет кривую Гаусса. А зависимость линейна.

Коэффициент корреляции показывает, насколько один процесс детерминирован другим. Т.е. при изменении одного процесс как часто изменяется и зависимый процесс. Совсем не изменяется – нет зависимости, изменяется сразу каждый раз – полная зависимость.

Коэффициент корреляции может принимать значения в диапазоне [-1:1]

Нулевое значение коэффициента означает, что взаимосвязи между рассматриваемыми переменными нет.
Крайние значения диапазона означают полную зависимость между переменными.

Если значение коэффициента положительное, то зависимость прямая.

При отрицательном коэффициенте – обратная. Т.е. в первом случае при изменении аргумента функция пропорционально изменяется, во втором случае – обратно пропорционально.
При нахождении значения коэффициента корреляции в середине диапазона, т.е. от 0 до 1, либо от -1 до 0, говорят о неполной функциональной зависимости.
Чем ближе значение коэффициента к крайним показателям, тем большая взаимосвязь между переменными или случайными величинами. Чем ближе значение к 0, тем меньшая взаимозависимость.
Обычно коэффициент корреляции принимает промежуточные значения.

Коэффициент корреляции является безмерной величиной

Применяют коэффициент корреляции в статистике, в корреляционном анализе, для проверки статистических гипотез.

Выдвигая некоторую статистическую гипотезу зависимости одной случайной величины от другой – вычисляют коэффициент корреляции. По нему возможно вынести суждение — имеется ли взаимосвязь между величинами и насколько она плотная.

Дело в том, что не всегда можно увидеть взаимосвязь. Зачастую величины не связаны напрямую друг с другом, а зависят от многих факторов. Однако может оказаться, что через множество опосредованных связей случайные величины оказываются взаимозависимы. Конечно, это может не означать их непосредственную связь, так, к примеру, при исчезновении посредника может исчезнуть и зависимость.

Целью корреляционного анализа является выявление оценки силы связи между случайными величинами (признаками), которые характеризует некоторый реальный процесс.
Задачи корреляционного анализа :
а) Измерение степени связности (тесноты, силы, строгости, интенсивности) двух и более явлений.
б) Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связности между явлениями. Существенные в данном аспекте факторы используют далее в регрессионном анализе.
в) Обнаружение неизвестных причинных связей.

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи .
Корреляционная связь проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятностных значений независимой переменной. Связь называется корреляционной , если каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака.
Наглядным изображением корреляционной таблицы служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладываются значения X, по оси ординат – Y, а точками показываются сочетания X и Y. По расположению точек можно судить о наличии связи.
Показатели тесноты связи дают возможность охарактеризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора.
Более совершенным показателем степени тесноты корреляционной связи является линейный коэффициент корреляции . При расчете этого показателя учитываются не только отклонения индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина этих отклонений.

Ключевыми вопросами данной темы являются уравнения регрессионной связи между результативным признаком и объясняющей переменной, метод наименьших квадратов для оценки параметров регрессионной модели, анализ качества полученного уравнения регрессии, построение доверительных интервалов прогноза значений результативного признака по уравнению регрессии.

Пример 2

Система нормальных уравнений.
a n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y x
Для наших данных система уравнений имеет вид
30a + 5763 b = 21460
5763 a + 1200261 b = 3800360
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = -3.46, a = 1379.33
Уравнение регрессии:
y = -3.46 x + 1379.33

2. Расчет параметров уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение


1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация .

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и обратная.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -3.46 x + 1379.33

Коэффициент b = -3.46 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -3.46.
Коэффициент a = 1379.33 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.
Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.
Коэффициент эластичности находится по формуле:


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения S x приведет к уменьшению среднего значения Y на 0.74 среднеквадратичного отклонения S y .
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:


Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Дисперсионный анализ.
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
∑(y i - y cp) 2 = ∑(y(x) - y cp) 2 + ∑(y - y(x)) 2
где
∑(y i - y cp) 2 - общая сумма квадратов отклонений;
∑(y(x) - y cp) 2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
∑(y - y(x)) 2 - остаточная сумма квадратов отклонений.
Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r xy .
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции :

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r xy .
1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = -0.74 2 = 0.5413
т.е. в 54.13 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 45.87 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Список литературы

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001, с. 34..89.
2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 1998, с. 17..42.
3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001, с. 5..48.