Odaberimo pravokutni koordinatni sustav na ravnini i na apscisnu os nanesemo vrijednosti argumenta x, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x).

Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih točaka čije apscise pripadaju domeni definiranosti funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih točaka ravnine, koordinata X, na koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).

Na sl. 45 i 46 prikazani su grafovi funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je točna matematička definicija navedena gore) i nacrtanu krivulju, koja uvijek daje samo koliko-toliko točnu skicu grafa (a i tada, u pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio koji se nalazi u završnim dijelovima ravnine). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći "graf", a ne "skica grafikona".

Pomoću grafikona možete pronaći vrijednost funkcije u točki. Naime, ako je točka x = a spada u domenu definiranja funkcije y = f(x), zatim pronaći broj fa)(tj. vrijednosti funkcije u točki x = a) trebali biste to učiniti. Potrebno je kroz točku apscise x = a nacrtati ravnu crtu paralelnu s ordinatnom osi; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove točke će, prema definiciji grafa, biti jednaka fa)(Slika 47).

Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x pomoću grafa (sl. 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Grafikon funkcije jasno prikazuje ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da funkcija y = x 2 - 2x poprima pozitivne vrijednosti kada x< 0 i kod x > 2, negativno - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prihvaća na x = 1.

Nacrtati graf funkcije f(x) morate pronaći sve točke ravnine, koordinate x,na koji zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer takvih točaka ima beskonačno mnogo. Stoga je graf funkcije prikazan približno - s većom ili manjom točnošću. Najjednostavniji je način crtanja grafa pomoću nekoliko točaka. Sastoji se u tome što argument x dati konačan broj vrijednosti - recimo, x 1, x 2, x 3,..., x k i izraditi tablicu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tablica izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko točaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove točke glatkom linijom, dobivamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja s više točaka vrlo nepouzdana. Zapravo, ponašanje grafa između željenih točaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih točaka ostaje nepoznato.

Primjer 1. Nacrtati graf funkcije y = f(x) netko je sastavio tablicu vrijednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet točaka prikazano je na sl. 48.

Na temelju položaja tih točaka zaključio je da je graf funkcije ravna crta (na slici 48 prikazana isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja podupiru ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Kako bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

.

Izračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u točkama -2, -1, 0, 1, 2 točno opisane gornjom tablicom. Međutim, graf ove funkcije uopće nije ravna linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova su značenja također opisana u gornjoj tablici.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom "čistom" obliku metoda crtanja grafa pomoću nekoliko točaka nepouzdana. Stoga, da bi se nacrtao graf dane funkcije, obično se postupa na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko točaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, pomoću svojstava ove funkcije crta se krivulja kroz konstruirane točke.

Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.

Graf funkcije y = |f(x)|.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gdje f(x) - dana funkcija. Podsjetimo vas kako se to radi. Definiranjem apsolutne vrijednosti broja možemo pisati

To znači da graf funkcije y =|f(x)| može se dobiti iz grafikona, funkcije y = f(x) kako slijedi: sve točke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto točaka grafa funkcije y = f(x) s negativnim koordinatama, trebate konstruirati odgovarajuće točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koji leži ispod osi X, treba simetrično reflektirati u odnosu na os x).

Primjer 2. Grafički nacrtajte funkciju y = |x|.

Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na x< 0 (leži ispod osi x) simetrično reflektirana u odnosu na os x. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primjer 3. Grafički nacrtajte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-os u točkama 0 i 2. U intervalu (0; 2) funkcija uzima negativne vrijednosti, stoga se ovaj dio grafikona simetrično odražava u odnosu na os apscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na temelju grafa funkcije y = x 2 - 2x

Graf funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafici funkcija y = f(x) I y = g(x).

Primijetimo da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je presjek domena definicije, funkcije f(x) i g(x).

Neka bodovi (x 0, y 1) I (x 0, y 2) redom pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. g 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koje točke na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Prema tome, graf funkcije y = f(x) + g(x) mogu se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake točke ( x n, y 1) grafika funkcije y = f(x) točka (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž osi na po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju uzimaju se u obzir samo takve točke x n za koje su obje funkcije definirane y = f(x) I y = g(x).

Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se zbrajanje grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)

Primjer 4. Na slici je metodom zbrajanja grafova konstruiran graf funkcije
y = x + sinx.

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za iscrtavanje grafa funkcije odabiremo točke s apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim točkama i smjestimo rezultate u tablicu.

1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija – polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. Neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju apscisi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osi i razvučene duž osi Oy.

Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakcijsko-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riješenje.

Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.

Primjer 3.

Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Riješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.

Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.

Primjer 4.

Nacrtajte graf funkcije y = 1/x 2 .

Riješenje.

Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku ​​“dijeljenja” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku ​​faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviša točka na desnoj polovici grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. To znači da je naša pretpostavka netočna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveću vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate crtati graf funkcija?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Na području definicije funkcije snage y = x p vrijede formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija snage i njihovih grafova

Funkcija stepena s eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije potencije y = x p jednak nuli, p = 0, tada je funkcija potencije definirana za sve x ≠ 0 i konstanta je jednaka jedan:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funkcija potencije s prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Ovaj pokazatelj se također može napisati u obliku: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Graf funkcije snage y = x n s prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ....

Domena: -∞ < x < ∞
Višestruka značenja: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Točke infleksije: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 1, funkcija je inverzna: x = y
za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stupnja n:

Funkcija potencije s prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Ovaj se pokazatelj također može napisati u obliku: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... - prirodno. Svojstva i grafovi takvih funkcija dati su u nastavku.

Graf funkcije potencije y = x n s prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....

Domena: -∞ < x < ∞
Višestruka značenja: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
za x ≤ 0 monotono opada
za x ≥ 0 monotono raste
Ekstremi: minimum, x = 0, y = 0
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 2, kvadratni korijen:
za n ≠ 2, korijen stupnja n:

Funkcija potencije s negativnim cijelim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju potencije y = x p = x n s cjelobrojnim negativnim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, tada se može prikazati kao:

Graf potencije y = x n s negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....

Domena: x ≠ 0
Višestruka značenja: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono opada
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
kada je n = -1,
na n< -2 ,

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....

Domena: x ≠ 0
Višestruka značenja: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0: monotono opada
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
pri n = -2,
na n< -2 ,

Funkcija stepena s racionalnim (frakcijskim) eksponentom

Razmotrimo funkciju potencije y = x p s racionalnim (frakcijskim) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 prirodan broj. Štoviše, n, m nemaju zajedničkih djelitelja.

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je neparan

Neka je nazivnik razlomljenog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p definirana je i za pozitivne i za negativne vrijednosti argumenta x. Razmotrimo svojstva takvih funkcija snage kada je eksponent p unutar određenih granica.

P-vrijednost je negativna, p< 0

Neka racionalni eksponent (s neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ...) bude manji od nule: .

Grafovi funkcija snage s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... - neparno.

Neparni brojnik, n = -1, -3, -5, ...

Predstavljamo svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni cijeli broj.

Domena: x ≠ 0
Višestruka značenja: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono opada
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni broj .

Domena: x ≠ 0
Višestruka značenja: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0: monotono opada
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojnik, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Višestruka značenja: -∞ < y < +∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вниз
za x > 0: konveksno prema gore
Točke infleksije: x = 0, y = 0
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom unutar 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Višestruka značenja: 0 ≤ y< +∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно убывает
za x > 0: monotono raste
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksan prema gore za x ≠ 0
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Znak: za x ≠ 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = 1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Indeks p je veći od jedan, p > 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... - neparno.

Neparni brojnik, n = 5, 7, 9, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 5, 7, 9, ... - nepar prirodno, m = 3, 5, 7 ... - nepar prirodno.

Domena: -∞ < x < ∞
Višestruka značenja: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Točke infleksije: x = 0, y = 0
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 4, 6, 8, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 4, 6, 8, ... - par prirodno, m = 3, 5, 7 ... - neparno prirodno.

Domena: -∞ < x < ∞
Višestruka značenja: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono raste
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1, y(-1) = 1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je paran

Neka je nazivnik razlomačkog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njegova svojstva podudaraju se sa svojstvima funkcije potencije s iracionalnim eksponentom (vidi sljedeći odjeljak).

Funkcija potencije s iracionalnim eksponentom

Promotrimo funkciju potencije y = x p s iracionalnim eksponentom p. Svojstva takvih funkcija razlikuju se od gore navedenih po tome što nisu definirana za negativne vrijednosti argumenta x. Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva ovise samo o vrijednosti eksponenta p i ne ovise o tome je li p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Funkcija potencije s negativnim eksponentom p< 0

Domena: x > 0
Višestruka značenja: y > 0
Monotonija: monotono opada
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Ograničenja: ;
Privatno značenje: Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcija potencije s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator manji od jedne 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Višestruka značenja: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno prema gore
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikator je veći od jednog p > 1

Domena: x ≥ 0
Višestruka značenja: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno prema dolje
Točke infleksije: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x = 0, y = 0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Vidi također:

Duljina segmenta na koordinatnoj osi određena je formulom:

Duljina segmenta na koordinatnoj ravnini nalazi se pomoću formule:

Da biste pronašli duljinu segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu, koristite sljedeću formulu:

Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu os koristi se samo prva formula, za koordinatnu ravninu - prve dvije formule, za trodimenzionalni koordinatni sustav - sve tri formule) izračunavaju se pomoću formula:

Funkcija– ovo je dopisivanje obrasca g= f(x) između varijabilnih veličina, zbog čega svaka razmatrana vrijednost neke varijabilne veličine x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenoj vrijednosti druge varijable, g(ovisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednost funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja tu jednu vrijednost argumenta x može odgovarati samo jedna vrijednost zavisne varijable na. Međutim, ista vrijednost na može se dobiti s različitim x.

Funkcijska domena– ovo su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično ovo x), za koju je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Označeno je područje definicije D(g). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Područje definiranja funkcije inače se zove područje dopuštenih vrijednosti ili VA, koje ste odavno uspjeli pronaći.

Raspon funkcija su sve moguće vrijednosti zavisne varijable dane funkcije. Određeni E(na).

Funkcija se povećava na interval u kojem većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Funkcija se smanjuje na intervalu u kojem manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.

Intervali konstantnog predznaka funkcije- to su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.

Funkcijske nule– to su vrijednosti argumenta pri kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim točkama graf funkcije siječe apscisnu os (OX os). Vrlo često potreba za pronalaženjem nula funkcija znači potrebu jednostavnog rješavanja jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnosti predznaka znači potrebu jednostavnog rješavanja nejednadžbe.

Funkcija g = f(x) se zovu čak x

To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Graf parne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ordinatnu os op-amp-a.

Funkcija g = f(x) se zovu neparan, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji x iz domene definicije vrijedi jednakost:

To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta, vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ishodište.

Zbroj korijena parnih i neparnih funkcija (sjecišta x-osi OX) uvijek je jednak nuli, jer za svaki pozitivan korijen x ima negativan korijen - x.

Važno je napomenuti: neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve se funkcije nazivaju opće funkcije, i za njih nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava nije zadovoljena.

Linearna funkcija je funkcija koja se može dati formulom:

Graf linearne funkcije je prava linija i u općem slučaju izgleda ovako (naveden je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za tu priliku k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratne funkcije (parabola)

Graf parabole dan je kvadratnom funkcijom:

Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x 1 ; 0) i ( x 2 ; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX; ako postoji samo jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje os OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe os OY u točki s koordinatama: (0; c). Graf kvadratne funkcije (parabole) može izgledati ovako (na slici su prikazani primjeri koji ne iscrpljuju sve moguće vrste parabola):

pri čemu:

• ako je koeficijent a> 0, u funkciji g = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
• ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili točka u kojoj kvadratni trinom doseže najveću ili najmanju vrijednost):

Vrhovi Igrek (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimum ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratnog trinoma:

Grafovi ostalih funkcija

Funkcija snage

Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:

Obrnuto proporcionalan je funkcija dana formulom:

Ovisno o predznaku broja k Grafikon obrnuto proporcionalne ovisnosti može imati dvije temeljne opcije:

Asimptota je linija kojoj se graf funkcije beskonačno približava, ali se ne siječe. Asimptote za grafove obrnute proporcionalnosti prikazane na gornjoj slici su koordinatne osi kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne siječe.

Eksponencijalna funkcija s bazom A je funkcija dana formulom:

a Graf eksponencijalne funkcije može imati dvije temeljne opcije (također dajemo primjere, vidi dolje):

Logaritamska funkcija je funkcija dana formulom:

Ovisno o tome je li broj veći ili manji od jedan a Graf logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:

Graf funkcije g = |x| kako slijedi:

Grafovi periodičkih (trigonometrijskih) funkcija

Funkcija na = f(x) Zove se periodički, ako postoji takav broj različit od nule T, Što f(x + T) = f(x), za bilo koga x iz domene funkcije f(x). Ako funkcija f(x) je periodičan s periodom T, tada funkcija:

Gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednak nuli, također periodičan s periodom T 1, koji se određuje formulom:

Većina primjera periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Predstavljamo grafove glavnih trigonometrijskih funkcija. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije g= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije g= grijeh x nazvao sinusoida:

Graf funkcije g=cos x nazvao kosinus. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Budući da se sinusni grafikon neograničeno nastavlja duž OX osi lijevo i desno:

Graf funkcije g= tg x nazvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.

I na kraju, graf funkcije g=ctg x nazvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.

• leđa
• Naprijed

Kako se uspješno pripremiti za CT iz fizike i matematike?

Za uspješnu pripremu za CT iz fizike i matematike, između ostalog, potrebno je ispuniti tri najvažnija uvjeta:

1. Proučite sve teme i ispunite sve testove i zadatke dane u obrazovnim materijalima na ovoj stranici. Da biste to učinili, ne trebate baš ništa, naime: svaki dan posvetite tri do četiri sata pripremi za CT iz fizike i matematike, proučavanju teorije i rješavanju zadataka. Činjenica je da je CT ispit na kojem nije dovoljno samo poznavati fiziku ili matematiku, već je potrebno znati brzo i bez grešaka riješiti velik broj zadataka različite tematike i različite složenosti. Ovo posljednje se može naučiti samo rješavanjem tisuća problema.
2. Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. Zapravo, i to je vrlo jednostavno učiniti, u fizici postoji samo oko 200 potrebnih formula, au matematici još nešto manje. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje zadataka osnovne razine složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti većinu CT-a u pravo vrijeme. Nakon ovoga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.
3. Prisustvujte svim trima fazama probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT može se posjetiti dva puta kako bi se odlučilo za obje opcije. Opet, na CT-u, osim sposobnosti brzog i učinkovitog rješavanja zadataka, te poznavanja formula i metoda, morate znati i pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage, i što je najvažnije, ispravno ispuniti obrazac za odgovore, bez brkanje brojeva odgovora i zadataka ili vlastitog prezimena. Također, tijekom RT-a važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u problemima, koji se nespremnoj osobi na DT-u može učiniti vrlo neobičnim.

Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke, kao i odgovorno proučavanje završnih testova obuke, omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste grešku?

Ako mislite da ste pronašli grešku u materijalima za obuku, pišite o tome e-poštom (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po Vašem mišljenju greška. Također opišite koja je greška na koju se sumnja. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.

Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izgradnja vrlo složenih grafikona
• Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola mjerila, boja linija
• Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
• Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
• Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikazivanje grafova za daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, te za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj web stranici je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen pri korištenju drugih preglednika.