Znakovi paralelizma dvije prave

Teorema 1. Ako je u presjeku dva prava sekante:

dijagonalno ležeći uglovi su jednaki, ili

odgovarajući uglovi su jednaki, ili

tada je zbir jednostranih uglova 180°

prave su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokaz slučaja 1.

Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB uglovi koji leže jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i, prema tome, jedan od uglova 4 ili 6 će biti vanjski ugao trougla ABM. Neka je, radi određenosti, ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su stoga paralelne.

Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoj prvi naziv jer se na početku rasuđivanja postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) od onoga što je potrebno dokazati. To se naziva svođenjem do apsurda zbog činjenice da, argumentirajući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (apsurda). Primanje takvog zaključka primorava nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.

Odluka. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).

Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.

Iz razmatranog problema slijedi važan zaključak:
Kroz tačku koja nije na datoj pravoj, uvijek se može povući prava paralelna datoj pravoj..

Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja nije na datoj pravoj, postoji samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).

2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).

Sljedeća teorema je također tačna.

Teorema 2. Ako su dvije paralelne prave presečene sekantom, tada:

ležeći uglovi su jednaki;

odgovarajući uglovi su jednaki;

zbir jednostranih uglova je 180°.

Posljedica 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu.(vidi sl.2).

Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverz, tj. ako je data teorema tačna, tada inverzna teorema može biti netačna.

Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Inverzna teorema bi bila ova: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla uopšte ne moraju biti vertikalna.

Primjer 1 Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite te uglove.

Odluka. Neka slika 6 ispuni uslov.

POGLAVLJE III.
PARALELNE PRAVE

§ 35. ZNACI PARALELNOSTI DVE DIREKTNE PRAVE.

Teorema da su dve okomite na jednu pravu paralelne (§ 33) daje znak da su dve prave paralelne. Moguće je izvesti općenitije znakove paralelizma dvije prave.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u presjeku dvije prave s trećom unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, tada su ove prave paralelne.

Neka prave AB i CD sijeku prave EF i / 1 = / 2. Uzmite tačku O - sredinu segmenta KL sekante EF (Sl. 189).

Ispustimo okomitu OM iz tačke O na pravu AB i nastavimo je sve dok se ne seče sa pravom CD, AB_|_MN. Hajde da dokažemo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi trouglovi su međusobno jednaki. Zaista: / 1 = / 2 po uslovu teoreme; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kao vertikalni uglovi. Dakle, stranica i dva susedna ugla jednog trougla su, respektivno, jednaka strani i dva ugla koja su susedna sa njom drugog trougla; shodno tome, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / kno but / LMO je direktan, dakle, i / KNO je također direktan. Dakle, prave AB i CD su okomite na istu pravu MN, pa su paralelne (§ 33), što je trebalo dokazati.

Bilješka. Presek pravih MO i CD može se utvrditi rotacijom trougla MOL oko tačke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo da li su prave AB i CD paralelne ako su, na preseku njihove treće prave EF, odgovarajući uglovi jednaki.

Neka su neki odgovarajući uglovi jednaki, na primjer / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pošto su uglovi vertikalni; znači, / 2 će biti jednako / 1. Ali uglovi 2 i 1 su unutrašnji poprečni uglovi, a već znamo da ako su na preseku dve prave za trećinu unutrašnji poprečno ležeći uglovi jednaki, onda su ove prave paralelne. Dakle, AB || CD.

Ako su na presjeku dviju pravih trećeg odgovarajući uglovi jednaki, onda su ove dvije prave paralelne.

Na ovoj osobini se zasniva konstrukcija paralelnih linija uz pomoć ravnala i trougla za crtanje. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trougao na lenjir kao što je prikazano na crtežu 191. Trougao ćemo pomeriti tako da jedna njegova strana klizi duž lenjira, a duž bilo koje druge strane trougla povući nekoliko pravih linija. Ove linije će biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je na presjeku dviju pravih AB i CD trećom pravom zbir svih unutrašnjih jednostranih uglova jednak 2 d(ili 180°). Da li će u ovom slučaju prave AB i CD biti paralelne (Sl. 192).

Neka bude / 1 i / 2 unutrašnja jednostrana ugla i zbir do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susedni uglovi. shodno tome, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi uglovi su iznutra poprečno postavljeni. Dakle, AB || CD.

Ako je na presjeku dvije prave trećinom, zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d, tada su dvije prave paralelne.

Vježba.

Dokaži da su prave paralelne:
a) ako su spoljašnji poprečni uglovi jednaki (Sl. 193);
b) ako je zbir vanjskih jednostranih uglova 2 d(đavo 194).

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravih. Ovo je naziv za dvije prave u ravni koje se ne seku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija – to su dvije ivice pravougaonog stola, dvije ivice korice knjige, dvije trolejbuske šipke, itd. Paralelne linije igraju vrlo važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju ćete naučiti šta su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih pravih - jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U Odjeljku 1 primijetili smo da dvije prave ili imaju jednu zajedničku tačku, odnosno seku, ili nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno ne seku.

Definicija

Paralelizam pravih a i b označava se na sljedeći način: a || b.

Slika 98 prikazuje prave a i b okomite na pravu c. U odeljku 12 utvrdili smo da se takve prave a i b ne sijeku, odnosno da su paralelne.

Rice. 98

Uz paralelne linije, često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva segmenta se zovu paralelno ako leže na paralelnim pravima. Na slici 99, i segmenti AB i CD su paralelni (AB || CD), a segmenti MN i CD nisu paralelni. Slično, određuje se paralelizam segmenta i prave (sl. 99, b), zraka i prave, segmenta i zraka, dva zraka (slika 99, c).

Rice. 99 Znakovi paralelizma dvije prave

Direktno sa se zove secant u odnosu na prave a i b, ako ih siječe u dvije tačke (slika 100). Na presjeku pravih a i b, sekansa c formira osam uglova, koji su označeni brojevima na slici 100. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:

ukršteni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Rice. 100

Razmotrite tri znaka paralelizma dvije prave povezane s ovim parovima uglova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB ležeći uglovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je || b. Ako su uglovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su prave a i b okomite na pravu AB i, prema tome, paralelne.

Rice. 101

Razmotrimo slučaj kada uglovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povući okomitu OH na pravu liniju a (Sl. 101, c). Na pravoj b iz tačke B odvojimo odsječak VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo odsječak OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V su jednaki po dvije stranice i ugao između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), dakle ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da tačka H 1 leži na nastavku zraka OH, tj. tačke H, O i H 1 leže na istoj pravoj, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 slijedi da je ugao 6 prava linija (pošto je ugao 5 pravi ugao). Dakle, prave a i b su okomite na pravu HH 1, pa su paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa odgovarajućim uglovima jednaka, na primer ∠1 = ∠2 (Sl. 102).

Rice. 102

Kako su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa zbirom jednostranih uglova 180°, na primer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Pošto su uglovi 3 i 4 susedni, onda je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ove dvije jednakosti slijedi da su poprečni uglovi 1 i 3 jednaki, pa su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Znakovi paralelnih pravih su u osnovi načina konstruisanja paralelnih linija uz pomoć različitih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo napravili pravu liniju koja prolazi kroz tačku M i paralelna je datoj pravoj a, na pravu a apliciramo kvadrat za crtanje, a na nju ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomjerajući kvadrat duž ravnala, će osigurati da je tačka M na strani kvadrata , i nacrtati liniju b. Prave a i b su paralelne, jer su odgovarajući uglovi, označeni na slici 103 slovima α i β, jednaki.

Rice. 103 Slika 104 prikazuje metodu za konstruisanje paralelnih pravih pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Rice. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja stolarskih radova, gdje se kosina koristi za označavanje paralelnih linija (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Rice. 105

Zadaci

186. Na slici 106. prave a i b sijeku prava c. Dokazati da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a ugao 7 je tri puta veći od ugla 3.

Rice. 106

187. Prema slici 107 dokazati da je AB || D.E.

Rice. 107

188. Segmenti AB i CD seku se u zajedničkoj sredini. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

189. Koristeći podatke na slici 108, dokazati da je BC || AD.

Rice. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokaži da DE || AS.

Rice. 109

191. Odsječak VK je simetrala trougla ABC. Kroz tačku K povučena je prava linija koja siječe stranu BC u tački M tako da je BM = MK. Dokazati da su prave KM i AB paralelne.

192. U trouglu ABC, ugao A je 40°, a ugao ALL pored ugla ACB je 80°. Dokazati da je simetrala ugla ALL paralelna pravoj AB.

193. U trouglu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Prava BD je povučena kroz vrh B tako da je zraka BC simetrala ugla ABD. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

194. Nacrtaj trougao. Kroz svaki vrh ovog trokuta, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povucite pravu liniju paralelnu sa suprotnom stranom.

195. Nacrtaj trougao ABC i označi tačku D na strani AC. Kroz tačku D, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povući ravne linije paralelne sa druge dvije strane trougla.

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravih. Ovo je naziv za dvije prave u ravni koje se ne seku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija – to su dvije ivice pravougaonog stola, dvije ivice korice knjige, dvije trolejbuske šipke, itd. Paralelne linije igraju vrlo važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju ćete naučiti šta su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih pravih - jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U Odjeljku 1 primijetili smo da dvije prave ili imaju jednu zajedničku tačku, odnosno seku, ili nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno ne seku.

Definicija

Paralelizam pravih a i b označava se na sljedeći način: a || b.

Slika 98 prikazuje prave a i b okomite na pravu c. U odeljku 12 utvrdili smo da se takve prave a i b ne sijeku, odnosno da su paralelne.

Rice. 98

Uz paralelne linije, često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva segmenta se zovu paralelno ako leže na paralelnim pravima. Na slici 99, i segmenti AB i CD su paralelni (AB || CD), a segmenti MN i CD nisu paralelni. Slično, određuje se paralelizam segmenta i prave (sl. 99, b), zraka i prave, segmenta i zraka, dva zraka (slika 99, c).

Rice. 99 Znakovi paralelizma dvije prave

Direktno sa se zove secant u odnosu na prave a i b, ako ih siječe u dvije tačke (slika 100). Na presjeku pravih a i b, sekansa c formira osam uglova, koji su označeni brojevima na slici 100. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:

ukršteni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Rice. 100

Razmotrite tri znaka paralelizma dvije prave povezane s ovim parovima uglova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB ležeći uglovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je || b. Ako su uglovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su prave a i b okomite na pravu AB i, prema tome, paralelne.

Rice. 101

Razmotrimo slučaj kada uglovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povući okomitu OH na pravu liniju a (Sl. 101, c). Na pravoj b iz tačke B odvojimo odsječak VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo odsječak OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V su jednaki po dvije stranice i ugao između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), dakle ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da tačka H 1 leži na nastavku zraka OH, tj. tačke H, O i H 1 leže na istoj pravoj, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 slijedi da je ugao 6 prava linija (pošto je ugao 5 pravi ugao). Dakle, prave a i b su okomite na pravu HH 1, pa su paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa odgovarajućim uglovima jednaka, na primer ∠1 = ∠2 (Sl. 102).

Rice. 102

Kako su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa zbirom jednostranih uglova 180°, na primer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Pošto su uglovi 3 i 4 susedni, onda je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ove dvije jednakosti slijedi da su poprečni uglovi 1 i 3 jednaki, pa su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Znakovi paralelnih pravih su u osnovi načina konstruisanja paralelnih linija uz pomoć različitih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo napravili pravu liniju koja prolazi kroz tačku M i paralelna je datoj pravoj a, na pravu a apliciramo kvadrat za crtanje, a na nju ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomjerajući kvadrat duž ravnala, će osigurati da je tačka M na strani kvadrata , i nacrtati liniju b. Prave a i b su paralelne, jer su odgovarajući uglovi, označeni na slici 103 slovima α i β, jednaki.

Rice. 103 Slika 104 prikazuje metodu za konstruisanje paralelnih pravih pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Rice. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja stolarskih radova, gdje se kosina koristi za označavanje paralelnih linija (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Rice. 105

Zadaci

186. Na slici 106. prave a i b sijeku prava c. Dokazati da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a ugao 7 je tri puta veći od ugla 3.

Rice. 106

187. Prema slici 107 dokazati da je AB || D.E.

Rice. 107

188. Segmenti AB i CD seku se u zajedničkoj sredini. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

189. Koristeći podatke na slici 108, dokazati da je BC || AD.

Rice. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokaži da DE || AS.

Rice. 109

191. Odsječak VK je simetrala trougla ABC. Kroz tačku K povučena je prava linija koja siječe stranu BC u tački M tako da je BM = MK. Dokazati da su prave KM i AB paralelne.

192. U trouglu ABC, ugao A je 40°, a ugao ALL pored ugla ACB je 80°. Dokazati da je simetrala ugla ALL paralelna pravoj AB.

193. U trouglu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Prava BD je povučena kroz vrh B tako da je zraka BC simetrala ugla ABD. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

194. Nacrtaj trougao. Kroz svaki vrh ovog trokuta, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povucite pravu liniju paralelnu sa suprotnom stranom.

195. Nacrtaj trougao ABC i označi tačku D na strani AC. Kroz tačku D, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povući ravne linije paralelne sa druge dvije strane trougla.

AB i WithD prešao trećom linijom MN, tada uglovi formirani u ovom slučaju dobivaju sljedeće nazive u parovima:

odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

unutrašnji poprečni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;

vanjski poprečno ležeći uglovi: 1 i 7, 2 i 8;

unutrašnji jednostrani uglovi: 3 i 6, 4 i 5;

vanjski jednostrani uglovi: 1 i 8, 2 i 7.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali po dokazanom ∠ 4 = ∠ 6.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Odgovarajući uglovi 2 i 6 su isti, jer je ∠ 2 = ∠ 4, i ∠ 4 = ∠ 6. Takođe vodimo računa da su ostali odgovarajući uglovi jednaki.

4. Suma unutrašnji jednostrani uglovi 3 i 6 će biti 2d jer je zbir susjedni uglovi 3 i 4 jednako je 2d = 180 0 , a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također provjerite da zbir uglova 4 i 5 jednako je 2d.

5. Suma vanjski jednostrani ugloviće biti 2d jer su ti uglovi jednaki unutrašnji jednostrani uglovi kao uglovi vertikalno.

Iz gore dokazanog opravdanja dobijamo inverzne teoreme.

Kada, na preseku dve prave proizvoljne treće linije, dobijemo da:

1. Unutrašnji poprečni uglovi su isti;

ili 2. Vanjski poprečni uglovi su isti;

ili 3. Odgovarajući uglovi su isti;

ili 4. Zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2d = 180 0 ;

ili 5. Zbir vanjskih jednostranih je 2d = 180 0 ,

tada su prve dvije linije paralelne.