Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

Формулы приведения:

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Пример:

Вычислить

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен "+". Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

И еще один момент: формул приведения достаточно много по количеству, и сразу предостережем Вас от заучивания их всех наизусть. В этом абсолютно нет необходимости – существует , позволяющее легко применять формулы приведения.

Итак, запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Эти формулы можно переписать с использованием градусов и радиан. Для этого достаточно вспомнить про связь между градусами и радианами , и везде заменить π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Цель этого пункта заключается в том, чтобы показать, как формулы приведения используются на практике при решении примеров.

Для начала стоит сказать, что существует бесконечное число способов представления угла под знаком тригонометрических функций в виде и . Это связано с тем, что угол может принимать любое значение. Покажем это на примере.

Для примера возьмем угол под знаком тригонометрической функции равным . Этот угол можно представить как , или как , или как , или еще множеством других способов.

А теперь давайте посмотрим, какие формулы приведения нам придется использовать в зависимости от представления угла. Для примера возьмем .

Если мы представим угол как , то этому представлению отвечает формула приведения вида , откуда получаем . Мы здесь можем указать значение тригонометрической функции: .

Для представления мы уже будем использовать формулу вида , которая нас приводит к следующему результату: .

Наконец, , так как соответствующая формула приведения имеет вид .

В заключение этих рассуждений стоит особо отметить, что существуют определенные удобства при использовании представлений угла, в которых угол имеет величину от 0 до 90 градусов (от 0 до пи пополам радиан).

Рассмотрим еще пример применения формул приведения.

Пример.

Используя формулы приведения, представьте через синус, а также через косинус острого угла.

Решение.

Чтобы применить формулы приведения, нам нужно угол 197 градусов представить в виде или , причем по условию задачи угол должен быть острым. Это можно сделать двумя способами: или . Таким образом, или .

Обратившись к соответствующим формулам приведения и , получаем и .

Ответ:

и .

Мнемоническое правило

Как мы уже упоминали выше, формулы приведения заучивать наизусть необязательно. Если внимательно на них посмотреть, то можно выявить закономерности, из которых можно получить правило, позволяющее получить любую из формул приведения. Его называют мнемоническим правилом (мнемоника – искусство запоминания).

Мнемоническое правило содержит три этапа:

Сразу стоит сказать, что для применения мнемонического правила нужно очень хорошо уметь определять знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям , так как делать это придется постоянно.

Разберем применение мнемонического правила на примерах.

Пример.

Используя мнемоническое правило, запишите формулы приведения для и , считая угол углом первой четверти.

Решение.

Первый шаг правила нам делать не придется, так как углы под знаками тригонометрических функций уже записаны в нужном виде.

Определим знак функций и . При условии, что - угол первой четверти, угол тоже является углом первой четверти, а угол - углом второй четверти. Косинус в первой четверти имеет знак плюс, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. На этом этапе искомые формулы будут иметь вид и . Со знаками разобрались, можно переходить к заключительному шагу мнемонического правила.

Так как аргумент функции косинус имеет вид , то название функции нужно поменять на кофункцию, то есть, на синус. А аргумент тангенса имеет вид , следовательно, название функции нужно оставить прежним.

В итоге имеем и . Можно заглянуть в таблицу формул приведения, чтобы убедиться в правильности полученных результатов.

Ответ:

и .

Для закрепления материала рассмотрим решение примера с конкретными углами.

Пример.

Используя мнемоническое правило, приведите к тригонометрическим функциям острого угла.

Решение.

Для начала представим угол 777 градусов в виде, необходимом для применения мнемонического правила. Это можно сделать двумя способами: или .

Исходный угол является углом первой четверти, синус для этого угла имеет знак плюс.

Для представления название синуса нужно оставить прежним, а для представления вида синус придется поменять на косинус.

В итоге имеем и .

Ответ:

и .

В заключение этого пункта рассмотрим пример, иллюстрирующий важность правильного представления угла под знаком тригонометрических функций для применения мнемонического правила: угол должен быть острым!!!

Вычислим тангенс угла . В принципе, обратившись к материалу статьи значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса , мы можем сразу дать ответ на вопрос задачи: .

Если мы представим угол как или как , то можно воспользоваться мнемоническим правилом: и , что приводит нас к тому же результату.

А вот что может получиться, если взять представление угла , например, вида . При этом мнемоническое правило приведет нас к такому результату . Этот результат неверен, а объясняется это тем, что для представления мы не имели права применять мнемоническое правило, так как угол не является острым.

Доказательство формул приведения

Формулы приведения отражают периодичность, симметричность и свойства сдвига на углы и . Сразу заметим, что все формулы приведения можно доказывать, отбросив в аргументах слагаемое , так как оно означает изменение угла на целое число полных оборотов, а это не изменяет значения тригонометрических функций. Это слагаемое и служит отражением периодичности.

Первый блок из 16 формул приведения напрямую следует из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . На них даже не стоит останавливаться.

Переходим к следующему блоку формул. Сначала докажем первые две из них. Остальные следуют из них. Итак, докажем формулы приведения вида и .

Рассмотрим единичную окружность. Пусть начальная точка A после поворота на угол переходит в точку A 1 (x, y) , а после поворота на угол - в точку A 2 . Проведем A 1 H 1 и A 2 H 2 – перпендикуляры к прямой Ox .

Несложно видеть, что прямоугольные треугольники OA 1 H 1 и OA 2 H 2 равны по гипотенузе и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников и расположения точек A 1 и A 2 на единичной окружности становится видно, что если точка A 1 имеет координаты x и y , то точку A 2 имеет координаты −y и x . Тогда определения синуса и косинуса позволяют нам записать равенства и , откуда следует, что и . Этим доказаны рассматриваемые формулы приведения для любого угла .

Учитывая, что и (при необходимости смотрите статью основные тригонометрические тождества), а также только что доказанные формулы, получаем и . Так мы доказали две следующие формулы приведения.

Для доказательства формул приведения с аргументом достаточно его представить как , после чего использовать доказанные формулы и свойства тригонометрических функций с противоположными аргументами. Например, .

Аналогично доказываются и все остальные формулы приведения на базе уже доказанных путем двукратного применения. Например, представляется как , а - как . А и - как и соответственно.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите значение выражения:

В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

Задача B11 — 1 вариант

Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

Теперь смотрим на знаменатель:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

Осталось разобраться с последним элементом:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

Задача B14 — 2 вариант

Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

Как запомнить формулы приведения тригонометрических функций? Это легко, если использовать ассоциацию.Данная ассоциация придумана не мной. Как уже говорилось, хорошая ассоциация должна «цеплять», то есть вызывать яркие эмоции. Не могу назвать эмоции, вызываемые этой ассоциацией, позитивными. Но она дает результат — позволяет запоминать формулы приведения, а значит, имеет право на существование. В конце концов, если она вам не понравится, вы же ее можете не использовать, правильно?

Формулы приведения имеют вид: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запоминаем, что +α дает движение против часовой стрелки, — α — движение по часовой стрелке.

Для работы с формулами приведения нужны два пункта:

1) ставим знак, который имеет начальная функция (в учебниках пишут: приводимая. Но, чтобы не запутаться, лучше назвать ее начальной), если считать α углом I четверти, то есть маленьким.

2) Горизонтальный диаметр — π±α, 2π±α, 3π±α… — в общем, когда нет дроби — название функции не меняет. Вертикальный π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α…- когда дробь есть — название функции меняет: синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс и котангенс — на тангенс.

Теперь, собственно, ассоциация:

вертикальный диаметр (есть дробь) —

пьяный стоит. Что с ним случится рано

или поздно? Правильно, упадет.

Название функции изменится.

Если же диаметр горизонтальный — пьяный уже лежит. Спит, наверное. С ним уже ничего не случится, он уже принял горизонтальное положение. Соответственно, название функции не меняется.

То есть sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) и т.д. дают ±cosα,

а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

Как , уже знаем.

Как это работает? Смотрим на примерах.

1) cos(π/2+α)=?

Становимся на π/2. Поскольку +α — значит, идем вперед, против часовой стрелки. Попадаем во II четверть, где косинус имеет знак «-«. Название функции меняется («пьяный стоит», значит — упадет). Итак,

cos(π/2+α)=-sin α.

Становимся на 2π. Так как -α — идем назад, то есть по часовой стрелке. Попадаем в IV четверть, где тангенс имеет знак «-«. Название функции не меняется (диаметр горизонтальный, «пьяный уже лежит»). Таким образом, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Примеры, в которых функция возводится в четную степень, решаются еще проще. Четная степень «-» убирает, то есть надо только выяснить, меняется название функции или остается. Диаметр вертикальный (есть дробь, «пьяный стоит», упадет), название функции меняется. Получаем: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.

– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:

угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов

* * *

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

2. Запомните следующее:

функция изменяется на кофункцию

функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Вот и всё!

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

***

В статье на решение был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.