1.7.1. Плоскость.
Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней `n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М0(х0, у0, z0) и текущую точку М(х, у, z).
Очевидно, что ?`n = 0 (1.53)
(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).
(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).
Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).
Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:
А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.
Если D ? 0, то, разделив обе части (1.54) на -D, можно привести уравнение плоскости к виду: (1.55),
а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.
Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)
где cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm – направляющие косинусы нормали к плоскости, р – расстояние до плоскости от начала координат.
Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 легко определить как угол между нормалями этих плоскостей `n1 (А1, В1, С1) и
`n2 (А2, В2, С2): (1.57)
Из (1.57) легко получить условие перпендикулярности
А1А2 + В1 В2 + С1 С2 = 0 (1.58)
и параллельности (1.59) плоскостей и их нормалей.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости (1.54)
определяется выражением: (1.60)
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3) удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z) – текущая точка плоскости.
(1.61)
Приведем уравнение пучка плоскостей (т.е.
Множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.
(А1х + В1у + С1z + D1) + l(А2х + В2у + С2z + D2) = 0 (1.62)
Где l Î R, а в скобках - уравнения двух любых плоскостей пучка.
Контрольные вопросы.
1) Как проверить, что данная точка лежит на поверхности, заданной данным уравнением?
2) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнения других поверхностей?
3) Как расположена плоскость относительно системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) две координаты; г) одна из координат и свободный член; д) две координаты и свободный член?
1) Даны точки М1(0,-1,3) и М2(1,3,5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору Выбрать верный ответ:
а) ; б) .
2) Найти угол между плоскостями и . Выбрать верный ответ:
а) 135о, б) 45о
1.7.2. Прямая. Плоскости, нормали которых не коллинеарны, или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:
Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (1.62)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (1.63), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду (1.63`).
Поставим задачу – провести через точку М0(х0,у0,z0) прямую, параллельную вектору `S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х,у,z). Векторы и должны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.
(1.64) или (1.64`)
где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора `S. Из (1.64) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2) (она параллельна )
Или (1.64``)
(Значения дробей в (1.64) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где tR. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой
Каждому значению параметра t соответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) - значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).
Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:
Угол между прямыми: (1.65)
Условие параллельности (1.66).
перпендикулярности l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) прямых.
Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2)
(1.68)
Из (1.66) получаем условие параллельности Al + Bm + Cn = 0 (1.69)
и перпендикулярности (1.70) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).
(1.71)
контрольные вопросы.
1) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?
1) Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,3,0) и параллельной вектору Указать верный ответ:
а) ; б) .
2) Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(2,-1,3) и В(2,3,3). Указать верный ответ.
а) ; б) .
3) Найти точку пересечения прямой с плоскостью: , . Указать верный ответ:
а) (6,4,5); б) (6,-4,5).
1.7.3. Поверхности второго порядка. Если линейное уравнение в трехмерном декартовом базисе однозначно определяет плоскость, любое нелинейное уравнение, содержащее х, у, z описывает какую – то иную поверхность. Если уравнение имеет вид
Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, то оно описывает поверхность второго порядка (общее уравнение поверхности второго порядка). Выбором или преобразованием декартовых координат уравнение можно максимально упростить, приведя к одной из следующих форм, описывающих соответствующую поверхность.
1. Канонические уравнения цилиндров второго порядка, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат соответствующие кривые второго порядка, лежащие в плоскости хОу:
(1.72), (1.73), у2 = 2рх (1.74)
эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.
(Напомним, что цилиндрической называют поверхность, полученную перемещением прямой, называемой образующей, параллельно самой себе. Линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной образующей, называют направляющей – она определяет форму поверхности).
По аналогии можно записать уравнения таких же цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Оу и оси Oх. Направляющую можно задать, как линию пересечения поверхности цилиндра и соответствующей координатной плоскости, т.е. системой уравнений вида:
2. Уравнения конуса второго порядка с вершиной в начале координат:
(1.75)
(осями конуса служат оси Oz, Oy и Ох соответственно)
3. Каноническое уравнение эллипсоида: (1.76);
Частными случаями являются эллипсоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси Оz (При
а > с эллипсоид сжат, при a х2 + у2+ z2 + = r2 – уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат).
4. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида
(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части – это изменяет только положение поверхности в пространстве). Частные случаи – однополостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Oz (мнимой оси гиперболы).
5. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида
(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части).
Частные случаи – двухполостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Оz (действительной оси гиперболы).
6. Каноническое уравнение эллиптического параболоида
(p >0, q >0) (1.79)
7. Каноническое уравнение гиперболического параболоида
(p >0, q >0) (1.80)
(переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).
Отметим, что представление об особенностях (форме) этих поверхностей легко получить, рассматривая сечения этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными осям координат.
контрольные вопросы.
1) Какое множество точек в пространстве определяет уравнение ?
2) Каковы канонические уравнения цилиндров второго порядка; конуса второго порядка; эллипсоида; однополостного гиперболоида; двухполостного гиперболоида; эллиптического параболоида; гиперболического параболоида?
1) Найти центр и радиус сферы и указать верный ответ:
а) С(1,5;-2,5;2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;
2) Определить вид поверхности, заданной уравнениями: . Указать верный ответ:
а) однополостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.
б) двухполостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.
§7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Введѐм в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим уравнение первой степени (или линейное уравнение) относительно x, y, z: (7.1) Ax By Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Теорема 7.1. Любая плоскость может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (7.1). Точно так же, как и в случае прямой на плоскости, справедлива теорема, обратная теореме 7.1. Теорема 7.2. Любое уравнение вида (7.1) задаѐт в пространстве плоскость. Доказательство теорем 7.1 и 7.2 можно провести аналогично доказательству теорем 2.1, 2.2. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что плоскость и только она является поверхностью первого порядка. Уравнение (7.1) называется общим уравнением пло-скости. Его коэффициенты A, B, C трактуются геометрически как координаты вектора n , перпендикулярного плоскости, определяемой этим уравнением. Этот вектор n(A, B, C) называется вектором нормали к данной плоскости. Уравнение (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 при всевозможных значениях коэффициентов A, B, C задаѐт все плоскости, про-ходящие через точку M 0 (x0 , y0 , z0) . Оно называется уравнением связки плоскостей. Выбор конкретных значений A, B, C в (7.2) означает выбор плоскости P из связки, проходящей через точку M 0 перпендикулярно заданному вектору n(A, B, C) (рис.7.1). Пример 7.1. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точку А(1, 2, 0) параллельно векторам a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Вектор нормали n к Р ортогонален данным векторам a и b (рис. 7.2), поэтому за n можно взять их векторное n произведение: А Р i j k 2 1 1 1 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a b 2i 3 j 4k . Подставим координаты Рис. 7.2. К примеру 7.1 P M0 точки M 0 и вектора n в уравнение (7.2), получим Рис. 7.1. К уравнению уравнение плоскости связки плоскостей P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 или P: 2x 3y 4z 4 0 .◄ 1 Если два из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равны нулю, оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей. Например, при A B 0 , C 0 – плоскость P1: Cz D 0 или P1: z D / C (рис. 7.3). Она па-раллельна плоскости Oxy, ибо еѐ вектор нормали n1(0, 0, C) перпендикулярен этой плоскости. При A C 0 , B 0 или B C 0 , A 0 уравнение (7.1) определяет плоскости P2: By D 0 и P3: Ax D 0 , параллельные координатным плоскостям Oxz и Oyz, так как их векторы нормали n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) им перпендикулярны (рис. 7.3). Если только один из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равен нулю, то оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных осей (или еѐ со-держащую, если D 0). Так, плоскость P: Ax By D 0 параллельна оси Oz, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x Рис. 7.4. Плоскость P: Ax B y D 0 , параллельная оси Oz Рис. 7.3. Плоскости параллельные плоскостям координат поскольку еѐ вектор нормали n(A, B, 0) перпендикулярен оси Oz. Заметим, что она проходит через прямую L: Ax By D 0 , лежащую в плоскости Oxy (рис. 7.4). При D 0 уравнение (7.1) задаѐт плоскость, проходящую через начало координат. Пример 7.2. Найти значения параметра , при которых уравнение x (2 2) y (2 2)z 3 0 определяет плоскость P: а) параллельную одной из координатных плоскостей; б) параллельную одной из координатных осей; в) проходящую через начало координат. Запишем данное уравнение в виде x ( 2) y ( 2)( 1) z 3 0 . (7.3) При любом значении уравнение (7.3) определяет некоторую плоскость, так как коэффициенты при x, y, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. а) При 0 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную плоскости Oxy , P: z 3 / 2 , а при 2 оно определяет плоскость P , 2 параллельную плоскости Oyz , P: x 5/ 2 . Ни при каких значениях плоскость P , определяемая уравнением (7.3), не параллельна плоскости Oxz , поскольку коэффициенты при x, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. б) При 1 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную оси Oz , P: x 3y 2 0 . При остальных значениях параметра оно не определяет плоскости, параллельной только одной из координатных осей. в) При 3 уравнение (7.3) определяет плоскость P , проходящую через начало координат, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Пример 7.3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через: а) точку M (1, 3, 2) параллельно плоскости ось Оху; б) ось Ох и точку M (2, 1, 3) . а) За вектор нормали n к Р здесь можно взять вектор k (0, 0,1) – орт оси Oz, так как он перпендикулярен плоскости Оху. Подставим координаты точки M (1, 3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P: z 3 0. б) Вектор нормали n к Р ортогонален векторам i (1, 0, 0) и OM (2, 1, 3) , поэтому за n можно взять их векторное произведение: i j k n i OM 1 0 0 j 12 03 k 12 01 3 j k . 2 1 3 Подставим координаты точки О и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P: 3(y 0) (z 0) 0 или P: 3 y z 0 .◄ 3
С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.
Чем отличается этот справочный материал от аналогов?
Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.
Что нужно уметь на данный момент?
Самое элементарное:
Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .
Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?
Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.
Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.
Начинаем!
На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :
– уравнение плоскости вида .
– функция плоскости в явном виде .
Давайте с неё и начнём:
Распространенные уравнения плоскостей
Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.
– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.
Для самостоятельной разминки:
Пример 1
Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.
Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.
Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:
Пример 2
Построить плоскость
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые
значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.
Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую
плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Пример 3
Построить плоскости
а) ;
б) .
Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Пример 4
Построить плоскость
Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:
Готово.
Уравнение плоскости в отрезках
Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:
Пример 5
Построить плоскость
Решение
: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые
значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все
значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна
:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром
. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей
цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими
цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии
поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :
Пример 8
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие
цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими
цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Пример 9
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые
значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность
– с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все
значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую
цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими
цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.
Пример 10
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.
Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .
Пример 11
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение
: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра
):
Напоминаю полезный технический приём
: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Проекции.
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Пример 12
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)
Гиперболические цилиндры
Направляющими
таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола
из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:
Эллипсоид. Сфера и шар
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси
эллипсоида), которые в общем случае различны
. Эллипсоидом называют как поверхность
, так и тело
, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)
Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет вид Ax + Ву + Cz + D = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A, В, C должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz алгебраическую поверхность первого порядка .
Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости - геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными .
Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость.
◄ Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость π задана своей точкой М 0 и ненулевым вектором n, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других - из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости. Какому из этих множеств принадлежит произвольная точка M пространства, зависит от знака скалярного произведения nM 0 M . Если точка M принадлежит плоскости (рис. 5.1, а), то угол между векторами n и M 0 M прямой, и поэтому, согласно теореме 2.7, их скалярное произведение равно нулю:
nM 0 M = 0
Если же точка M не принадлежит плоскости, то угол между векторами n и M 0 M острый или тупой, и поэтому nM 0 M > 0 или nM 0 M
Обозначим координаты точек M 0 , M и вектора n через (х 0 ; у 0 ; z 0), (х; у; z) и {A; В; C} соответственно. Так как M 0 M = {х - х 0 0; у - у 0 ; z - z 0 }, то, записывая скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.14) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов n и M 0 M , получаем условие принадлежности точки M рассматриваемой плоскости в виде
A(x - х 0) + В(у - у 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)
Раскрытие скобок дает уравнение
Ax + Ву + Cz + D = 0, (5.3)
где D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 и хотя бы один из коэффициентов A, В, или C отличен от нуля, так как вектор n = {A; В; C} ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка.
Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометрическим образом уравнения Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, является плоскость. Выберем три числа (х = х 0 , у = у 0 , z = z 0), удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существуют. Например, при A ≠ 0 можно положить у 0 = 0, z 0 = 0 и тогда х 0 = - D/A. Выбранным числам соответствует точка M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 следует, что D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, что равносильно (5.2). Равенство (5.2) можно рассматривать как критерий ортогональности векторов n = {A; В; C} и M 0 M , где точка M имеет координаты (х; у; z). Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору n = {A; В; C}, и не выполнен для остальных точек пространства. Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости.
Уравнение Ax + Ву + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, В, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; В; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости . Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.
По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких-либо вычислений.
Пример 5.1. Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-вектору точки A(2; 5; 7) и проходящей через точку М 0 (3; - 4; 1).
Поскольку ненулевой вектор OA = {2; 5; 7} перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х - 3) + 5(у + 4) + 7(z- 1) = 0. Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоскости 2х + 5у + 7z + 7 = 0.