Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать «в лицо» неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения есть квадратный трёхчлен , а правая — число 0. Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты , и не равны 0. Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю .

Коэффициент по определению не может быть равным нулю , так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты или .

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1) , где ;
2) , где ;
3) , где .

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член , то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов или равен нулю .

В этом определении есть очень важное словосочетание «хотя бы один из коэффициентов … равен нулю «. Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю .

Исходя из этого возможны три варианта : или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1)
2)
3)

Решение уравнения

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители , так как в левой части уравнения у членов и есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа — нуль.

А затем будет работать правило «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл» . Всё очень просто!

Итак, план решения .
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом «произведение равно нулю…»

Уравнения подобного типа я называю «подарок судьбы» . Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю , а левую часть можно разложить на множители .

Решаем уравнение по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители , для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение .

2) В уравнении мы видим, что слева стоит произведение , а справа нуль .

Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом «произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл «.

При переводе этого правила на язык математики получим два уравнения или .

Мы видим, что уравнение распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ().

Решим второе уравнение . Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение .

Мы нашли , а нам надо найти . Чтобы избавиться от множителя , надо обе части уравнения разделить на .

Если один и двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю.

III. Работа над новым материалом.

Объяснить прием умножения для случаев, когда в середине записи многозначного числа есть нули, ученики могут сами: например, учитель предлагает вычислить произведение чисел 907 и 3. Ученики записывают решение в столбик, рассуждая: «Пишу число 3 под единицами.

Умножаю на 3 число единиц: трижды семь – 21, это 2 дес. и 1 ед.; пишу 1 под единицами, а 2 дес. запоминаю. Умножаю десятки: 0 умножить на 3, получится 0, да ещё 2, получится 2 десятка, пишу 2 под десятками. Умножаю сотни: 9 умножить на 3, получится 27, пишу 27. Читаю ответ: 2 721».

Для закрепления материала ученики решают примеры из задания 361 с подробным объяснением. Если учитель видит, что дети разобрались с новым материалом хорошо, то он может предложить краткое комментирование.

Учитель. Будем объяснять решение кратко, называть только число единиц каждого разряда первого множителя, которые умножаете, и результат, не называя какого разряда эти единицы. Умножим 4 019 на 7. Объясняю: 9 умножу на 7, получу 63, 3 пишу, 6 запоминаю. 1 умножаю на 7, получается 7, да еще 6 – это 13, 3 пишу, 1 запоминаю. Ноль умножить на 7, получается ноль, да ещё 1, получу 1, пишу 1. 4 умножу на 7, получу 28, пишу 28. Читаю ответ: 28 133.

Ф и з к у л ь т м и н у т к а

IV. Работа над пройденным материалом.

1. Решение задач.

Задачу 363 учащиеся решают с комментированием. После чтения задачи записывается краткое условие.

Учитель может предложить учащимся решить задачу двумя способами.

О т в е т: 7 245 ц зерна убрал всего.

Задачу 364 дети решают самостоятельно (с последующей проверкой).

1) 42 · 10 = 420 (ц) – пшеницы

2) 420: 3 = 140 (ц) – ячменя

3) 420 – 140 = 280 (ц)

О т в е т: на 280 ц пшеницы больше.

2. Решение примеров.

Задание 365 дети выполняют самостоятельно: записывают выражения и находят их значения.

V. Итоги урока.

Учитель. Ребята, что нового узнали на уроке?

Дети. Мы познакомились с новым приемом умножения.

Учитель. Что повторяли на уроке?

Дети. Решали задачи, составляли выражения и находили их значения.

Домашнее задание: задания 362, 368; тетрадь № 1, с. 52, № 5–8.

У р о к 58
Умножение чисел, запись которых
оканчивается нулями

Цели: познакомить с приемом умножения на однозначное число многозначных чисел, оканчивающихся одним или несколькими нулями; закрепить умение решать задачи, примеры на деление с остатком; повторить таблицу единиц времени.

«Параллельность двух прямых» - Доказать, что AB || CD. C – секущая для а и b. ВС – биссектриса угла ABD. Будут ли m || n? Примеры параллельностей в реальной жизни. Параллельны ли прямые? Назовите пары: - накрест лежащих углов; - соответственных углов; - односторонних углов; Первый признак параллельности прямых. Доказать, что АС || BD.

«Два мороза» - Ну, думаю, погоди у меня теперь. Два мороза. А к вечеру встретились опять в чистом поле. Покачал головой Мороз - Синий нос и говорит: - Э, молод ты, брат, и глуп. Пусть, как оденется, да узнает, каков Мороз - Красный нос. Поживи с моё, так узнаешь, что топор лучше шубы греет. Ну, думаю, доберёмся до места, тут я тебя и прихвачу.

«Линейное уравнение с двумя переменными» - Определение: Линейное уравнение с двумя переменными. Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения: Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? -Что называется уравнением с двумя переменными? Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными.

«Интерференция двух волн» - Интерференция. Причина? Опыт Томаса Юнга. Интерференция механических волн на воде. Длина волны. Интерференция света. Устойчивая интерференционная картина наблюдается при условии когерентности налагающихся волн. Радиотелескоп-интерферометр, расположенный в Нью-Мексико, США. Применение интерференции. Интерференция механических волн звука.

«Признак перпендикулярности двух плоскостей» - Упражнение 6. Перпендикулярность плоскостей. Ответ: Да. Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны? Упражнение 1. Найдите углы ADB и ACB. Ответ: 90о, 60о. Упражнение 10. Упражнение 3. Упражнение 7. Упражнение 9. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

«Неравенства с двумя переменными» - Геометрической моделью решений неравенства является средняя область. Цель урока: Решения неравенств с двумя переменными. 1.Построить график уравнения f(х, у) = 0 . Для решения неравенств с двумя переменными используется графический метод. Окружности разбили плоскость на три области. Неравенство с двумя переменными чаще всего имеет бесконечное множество решений.

Наряду со сложением, важными операциями является умножение и деление. Вспомним хотя бы задачи на определение, во сколько раз у Маши яблок больше, чем у Саши, или на нахождение количества произведенных деталей в год, если известно количество производимых в сутки деталей.

Умножение – это одно из четырех основных арифметических действий , в ходе которого одно число умножаемся на другое. Иными словами, запись 5 · 3 = 15 значит, что число 5 было сложено 3 раза, т.е. 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

Умножение регулируется системой правил .

1. Произведение двух отрицательных чисел равно положительному числу. Чтобы найти модуль произведения, необходимо перемножить модули этих чисел.

(- 6) · (- 6) = 36; (- 17,5) · (- 17,4) = 304,5

2. Произведение двух чисел с разными знаками равняется отрицательному числу. Чтобы найти модуль произведения, необходимо перемножить модули этих чисел.

(- 5) · 6 = - 30; 0,7 · (- 8) = - 21

3. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Верно и обратное: произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю.

2,73 · 0 = 0; (- 345,78) · 0 = 0

Опираясь на изложенный материал, попробуем решить уравнение 4 ∙ (х – 5) = 0.

1. Раскроем скобки и получим 4х – 20 = 0.

2. Перенесем (-20) в правую часть (не забудем при этом поменять знак на противоположный) и
получим 4х = 20.

3. Найдем х, сократив обе части уравнения на 4.

4. Итого: х = 5.

Но, зная правило № 3, мы можем гораздо быстрее решить наше уравнение.

1. Наше уравнение равно 0, а по правилу № 3 произведение равно 0, елси один из множителей равен 0.

2. Множителя у нас два: 4 и (х – 5). 4 не равно 0, значит, х – 5 = 0.

3. Решаем получившееся простое уравнение: х – 5 = 0. Значит, х = 5.

Умножение опирается на два закона – переместительный и сочетательный законы.

Переместительный закон: для любых чисел а и b верно равенство ab = ba:

(- 6) · 1,2 = 1,2 · (- 6), т.е. = - 7,2.

Сочетательный закон: для любых чисел a, b и c верно равенство (ab)c = a(bc).

(- 3) · (- 5) · 2 = (- 3) · (2 · (- 5)) = (- 3) · (- 10) = 30.

Арифметическое действие, обратное умножению, это деление . Если компоненты умножения называются множителями , то у деления число, которое делится, называется делимым , число, на которое делим, – делителем , а результат – частным .

12: 3 = 4, где 12 – это делимое, 3 – делитель, 4 – частное.

Деление, аналогично умножению, регулируется правилами .

1. Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

- 12: (- 3) = 4

2. Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получится нуль. Делить на нуль нельзя.

0: 23 = 0; 23: 0 = ХХХХ

Основываясь на правилах деления, попробуем решить пример - 4 х (- 5) – (- 30) : 6 = ?

1. Выполняем умножение: -4 х (-5) = 20. Значит, наш пример примет вид 20 – (-30) : 6 = ?

2. Выполняем деление (-30) : 6 = -5. Значит, наш пример примет вид 20 – (-5) = ?.

3. Выполняем вычитание 20 – (-5) = 20 + 5 = 25.

Итак, наш ответ 25.

Знание умножения и деления, наряду со сложением и вычитанием, позволяет решать разнообразные уравнения и задачи, а также отлично ориентироваться в окружающем нас мире цифр и операций.

Закрепим материал, решив уравнение 3 ∙ (4х – 8) = 3х – 6.

1. Раскроем скобки 3 ∙ (4х – 8) и получим 12х – 24. Наше уравнение приобрело вид 12х – 24 = 3х – 6.

2. Приведем подобные. Для этого перенесем все компоненты с х влево, а все числа вправо.
Получим 12х – 24 = 3х – 6 → 12х – 3х = -6 + 24 →9х = 18.

НЕ забываем при перенесении компонента из одной части уравнения в другую менять знаки на противоположные.

3. Решаем получившееся уравнение 9х = 18, откуда х = 18: 9 = 2. Итак, наш ответ 2.

4. Чтобы убедиться в правильности нашего решения, проведем проверку:

3 ∙ (4х – 8) = 3х – 6

3 · (4 ∙ 2 – 8) = 3 ∙ 2 – 6

3 ∙ (8 – 8) = 6 – 6

0 = 0, значит, наш ответ верен.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.