точки, не лежащие на одной прямой? а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; д) имеют три общие точки.
2. Какое из следующих утверждений верно? а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.
3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? а) Никогда; б) могу, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос; д) другой ответ.
4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось? а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) бесконечно много.
5. Выберите верное утверждение. а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.
6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) определить нельзя.
7. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c? а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) прямые а и b лежат в одной плоскости; в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя; д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.
8. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение. а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые OY и a параллельны; в) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; г) точки O и Y совпадают; д) точки Y и A совпадают.
Вариант 2.1.Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?
а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; д) имеют три общие точки.
2. Какое из следующих утверждений верно?
а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.
3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
а) Никогда; б) могу, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос; д) другой ответ.
4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) бесконечно много.
5. Выберите верное утверждение.
а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.
6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) определить нельзя.
7. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая РМ (рис.1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
В1 С1
8.Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с?
а) Никакого вывода сделать нельзя; б) прямая с проходит через точку М; в) точка М лежит на прямой с; г) прямая с не проходит через точку М; д) другой ответ.
9. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c?
а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) прямые а и b лежат в одной плоскости; в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя; д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.
10. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение.
а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые OY и a параллельны; в) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; г) точки O и Y совпадают; д) точки Y и A совпадают.
лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру? 2.Верно ли, что линейный угол ВАС двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла? 3. Верно ли, что угол ВАС - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендекулярны его ребру, а точки Е и С лежат на гранях угла? 4. Линейный угол двугранного угла равен 80 градусов. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани? 5. Угол АВС - линейный угол двугранного угла с ребром альфа. Перпендекулярна ли прямая альфа плоскости АВС? Верно ли, что все прямые, перпендекулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
Аксиомы стереометрии.
А1.Через любые три точки, не лежащие на данной прямой, проходит плоскость, и притом только одна;
Сл.1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна;
Сл.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна;
Сл.3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
А2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости ;
А3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Основные фигуры стереометрии – точки (А, В, С…) , прямые (а, b, c…) , плоскости ( …) , многогранники и тела вращения.
Под секущей плоскостью объемной фигуры будем понимать плоскость, по обе стороны которой имеются точки данной фигуры.
За меру расстояния между точкой, прямой и плоскостью будем принимать длину их общего перпендикуляра.
2. Взаимное расположение прямых в пространстве.
В пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться .
| 1А | Опр.Параллельными прямыми в пространстве называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. По сл. 3.Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. | |
| 1Б | Т 1 (о транзитивности). Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. | |
| 2А | По сл.2.Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна | |
| 3А | Опр. Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости. | |
| Т 2 (Признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися. | ||
| 3Б | Опр.Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми. | |
| 3В | Опр. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, имеющий концы на данных прямых и перпендикулярный к ним (расстояние между скрещивающимися прямыми). |
- Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
В пространстве прямая и плоскость могут быть параллельными, пересекаться или прямая целиком может лежать в плоскости .
| 1А | Опр.Прямая называется параллельной плоскости , если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. | |
| 1Б | Т 3 (Признак параллельности прямой и плоскости) . Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой лежащей в этой плоскости. | |
| 2А | Опр. Прямая называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна к любой пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. | |
| 2Б | Т 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости) Если прямая, пересекающая с плоскость, перпендикулярна к каким-нибудь двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой лежащей в этой плоскости. | |
| 2В | Т 5 (о двух параллельных прямых, перпендикулярных третьей). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. | |
| 2Г | Опр. Углом между прямой и плоскостью называется угол, между данной прямой и её проекцией на плоскость. | |
| 2Д | Опр.Всякая иная прямая, отличная от перпендикуляра и пересекающая плоскость, называется наклонной к этой плоскости (рис. см. ниже). Опр.Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной. Т 6 (о длине перпендикуляра и наклонной). 1) Перпендикуляр, проведённый к плоскости короче наклонной к этой плоскости; 2) Равным наклонным соответствуют равные проекции; 3) Из двух наклонных больше та, проекция которой больше. | |
| 2Е | Т 7 (о трёх перпендикулярах). Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Т 8 (обратная). Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной и перпендикулярно ей, перпендикулярна и проекции наклонной на данню плоскость. | |
| 3А | По аксиоме 2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости |
- Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
В пространстве плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
| 1А | Опр. Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются. | |
| Т 9 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. | ||
| 1Б | Т 10 Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей 1). | |
| 1В | Т 11 Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны (свойство параллельных плоскостей 2). | |
| 2А | По аксиоме 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой ). | |
| 2Б | Т 12 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. | |
| 2В | Опр.Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум лучам. Угол, образованный этими лучами называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. |
I5 Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.
I6 Если две точки А и В прямой лежат в плоскости a, то каждая точка прямой а лежит в плоскости a. (В этом случае будем говорить, прямая а лежит в плоскости a или что плоскостьa проходит через прямую а.
I7 Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.
I8 Существует, по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Уже из этих 8 аксиом можно вывести несколько теорем элементарной геометрий, которые наглядно очевидны и, поэтому, в школьном курсе геометрии не доказываются и даже иногда из логических соображений включаются в аксиомы того или иного школьного курса
Например:
1. Две прямые имеют не более одной общей точки.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей
Доказательство: (для понта):
По I 7 $ В, которая тоже принадлежит a и b,т.к. А,В " a, то по I 6 АВ "b. Значит прямая АВ является общий для двух плоскостей.
3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.
4. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.
ЗАМЕЧАНИЕ : С помощью этих аксиом можно доказать немного теорем и большинство из них вот такие простые. В частности из этих аксиом нельзя доказать, что множество геометрических элементов бесконечно.
ГРУППА II Аксиомы порядка.
Если на прямой даны три точки, то одна из них может находиться к двум другим в отношении «лежать между», которое удовлетворяет следующим аксиомам:
II1 Если В лежит между А и С, то А,В, С- различные точки одной прямой и В лежит между С и А.
II2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что В лежит между А и С.
II3 Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими
По Гильберту над отрезком АВ(ВА) понимается пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка лежащая между точками А и В называется внутренней точкой отрезка АВ(ВА).
ЗАМЕЧАНИЕ: Но из II 1- II 3 пока не следует, что у всякого отрезка есть внутренние точки, но из II 2, Þ что у отрезка есть внешние точки.
II4 (аксиома Паша) Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А,В,С. Тогда если прямая, а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.
Сл.1 : Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка D на прямой АС, лежащая между А и С.
Док-во : I 3 Þ$ т.Е не лежащая на прямой АС
Сл.2. Если С лежит на отрезке АД и В между А и С, то В лежит между А и Д, а С между В и Д.Теперь можно доказать два утверждения
Сл3 Утверждение II 4 имеет место и в случае, если точки А, В и С лежат на одной прямой.
И самое интересное.
Сл.4 . Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других ее точек (самост.).
Однако нельзя установить, что множество точек прямой несчетное.
Аксиомы I и II групп позволяют ввести такие важные понятия как полуплоскость, луч, полупространство и угол . Сначала докажем теорему.
Тh1 . Прямая а, лежащая в плоскости a, разделяет множество точек этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если т. А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.
Идея: вводится отношение, а именно, т. А и В Ïа находятся в отношенииΔ, если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а или эти точки совпадают. Затем рассматривалися множества классов эквивалентности по отношению Δ. Доказывается, что их только два при помощи несложных рассуждений.
Опр1 Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой называется полуплоскостью с границай а.
Аналогично можно ввести понятия луча и полупространства.
Луч-h , а прямая- .
Опр2 Угол - это пара лучей h и k, исходящих из одной т. О и не лежащих на одной прямой. т.О называется вершиной угла, а лучи h и k сторонами угла. Обозначаем обычным образом: Ðhk.
Точка M называется внутренней точкой угла hk, если точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей и точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей . Множество всех внутренних точек называется внутренней областью угла .
Внешняя область угла - бесконечное множество, т.к. все точки отрезка с концами на разных сторонах угла являются внутренними. Следующее свойство из методических соображений часто включают в аксиомы.
Свойство: Если луч исходит из вершины угла и проходит хотя бы через одну внутреннюю точку этого угла, то он пересекает любой отрезок с концами на разных сторонах угла. (Самост.)
ГРУППА III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)
На множестве отрезков и углов вводится отношение конгруэнтности или равенства (обозначается “=”), удовлетворяющее аксиомам:
III 1 Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из т. А / , то $ т.В / , принадлежащая данному лучу, т. что АВ=А / В / .
III 2 Если А / В / =АВ и А // В // =АВ, то А / В / =А // В // .
III 3 Пусть А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / В / и ВС=В / С / , тогда АС=А / С /
Опр3 Если О / - точка,.h / -луч, исходящий из этой точки, а l / -полуплоскость с границей , то тройка объектов О / ,h / и l / называется флагом (О / ,h / ,l /).
III 4 Пусть даны Ðhk и флаг (О / ,h / ,l /). Тогда в полуплоскости l / существует единственный луч k / , исходящий из точки О / , такой что Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Пусть А,В и С - три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А / В / , АС=А / С / , ÐВ / А / С / = ÐВАС, то ÐАВС = ÐА / В / С / .
1. Точка В / в III 1 единственная на данном луче (самост.)
2. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.
3. В равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. (По III 5).
4. Признаки равенства треугольников.
5. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов. (Доклад)
6. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним.
7. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
8. Любой отрезок имеет одну и только одну середину
9. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису
Можно ввести следующие понятия:
Опр4 Угол равный своему смежному называется прямым .
Можно определить вертикальные углы, перпендикуляр и наклонные и т.д
Можно доказать единственность ^. Можно ввести понятия > и < для отрезков и углов:
Опр5 Если даны отрезки АВ и А / В / и $ т.С, т. что А / -С-В / и А / С=АВ, то А / В / >АВ.
Опр6 Если даны два угла Ðhk и Ðh / k / , и если через внутреннюю область Ðhk и его вершину можно провести луч l такой, что Ðh / k / = Ðhl, то Ðhk > Ðh / k / .
И самое интересное, это, то что при помощи аксиом групп I-III можно ввести понятие движения(наложения).
Делается это примерно так:
Пусть даны два множества точек p и p / .Предположим, что между точками этих множеств установлено взаимно однозначное соответствие. Каждая пара точек М и N множества p определяет отрезок МN. Ппусть М / и N / точки множества p / , соответствующие точкам МN. Отрезок М / N / условимся называть соответствующим отрезку МN.
Опр7 Если $ соответствие между p и p / такое, что соответствующие отрезки всегда оказывается взаимно конгруэнтными, то и множества p и p / называется конгруэнтными . При этом говорят также, что каждое из множеств p и p / получено движением из другого или, что одно из этих множеств может быть наложено на другое. Соответствующие точки множества p и p / называется совмещающимся при наложении.
Утв1: Точки лежащие на прямой, при движении переходят в точки, также лежащие на некоторой прямой.
Утв2 Угол, между двумя отрезками, соединяющими какую-нибудь точку множества с двумя другими его точками, конгруэнтен углу между соответствующими отрезками конгруэнтного множества.
Можно ввести понятие вращения, сдвига, композиции движений и т.д
ГРУППА IV. Аксиомы непрерывност и.
IV 1 (Аксиома Архимеда). Пусть АВ и СD какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А 1 , А 2 , …, А n , таких что выполняются условия:
1. А-А 1 -А 2 , А 1 -А 2 -А 3 , …, A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-A n
IV2 (Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А1В1, А2В2,… из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка СD найдется натуральное число n, такое, что АnВn < СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
