ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Числовые ряды

Лекция. Числовые ряды

1. Определение числового ряда. Сходимость

2. Основные свойства числовых рядов

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

5. Знакопеременные ряды

Вопросы для самопроверки

Литература

Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Определение числового ряда. Сходимость.

2. Основные свойства числовых рядов.

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

5. Знакопеременные ряды.

1. Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

, , …, , …

Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

. (1.1) называются членами ряда , – общим или n – м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента

вычисления -го члена ряда по его номеру

Пример 1.1 . Пусть

. Ряд (1.2)

называется гармоническим рядом .

Пример 1.2 . Пусть

, Ряд (1.3)

называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при

получается гармонический ряд.

Пример 1.3 . Пусть

= . Ряд (1.4)

называется рядом геометрической прогрессии .

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где

– сумма первых членов ряда, которая называется n -й частичной суммой , т. е. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Числовая последовательность

при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число

называется суммой ряда (1.1) и пишется .

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела .

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

сходится, и найти его сумму.

Найдем n - ю частичную сумму данного ряда

.

Общий член

ряда представим в виде .

Отсюда имеем:

. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд

(1.6)

Для этого ряда

. Следовательно, данный ряд расходится.

Замечание. При

ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд

(1.7)

Для этого ряда

В этом случае предел последовательности частичных сумм

не существует, и ряд расходится.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):

Нетрудно показать, что n -я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при

задается формулой .

Рассмотрим случаи:

Тогда и .

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна

1 свойство .

Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.

РассмотримиПусть

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и рядсходится

2 свойство .

Если рядсходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

Пустьтогда

3 свойство .

Если рядысходятся и имеют суммысоответственно, то рядсходится и имеет сумму

1. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения сходимости положительных рядов. Положительные ряды

Если a n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ...), то рядa 1 +a 2 +a 3 + ... называетсяположительным . В том случае, когда при всехn оказываетсяa n > 0, будем называть рядстрого положительным .

Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

Легко видеть, что частичная сумма S n =a 1 +a 2 + ... +a n положительного рядавозрастает (может быть, не строго) с увеличениемn . Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм {S n }. Таким образом, имеет место

Теорема 1 . Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

Доказанная теорема сводит вопрос о сходимости положительного ряда к более простому вопросу об ограниченности множества его частичных сумм.

Рассмотрим, например, ряд (24)

в котором α > 1. Суммуэтого ряда можно записать так:

Так как сумма содержит 2 k слагаемых, а самое большое из них есть первое, то эта сумма не превосходит числа

Поэтому

Стоящая здесь справа сумма есть частичная сумма геометрической прогрессии

Как было доказано ранее эта прогрессия сходится (т. к. α > 1), и сумма ее равна

Так как прогрессия (25) также является рядом положительным, то ее частичные суммы не превосходят ее суммы (26). Тем более

Это неравенство установлено для любого m . Но для всякогоn можно найти такоеm , что 2 m - 1 >n .

Поэтому при всяком n оказываетсяи ряд (24) сходится.

Следует, однако, заметить, что непосредственное применение теоремы 1 встречается сравнительно редко.

Обычно применяют основанные на ней, но более удобные признаки сходимости рядов. Простейший из них - это так называемый признак сравнения рядов

Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантным по отношению к первому.

Иначе говоря, ряд b 1 +b 2 +b 3 + ... является мажорантным по отношению к рядуa 1 +a 2 +a 3 + ..., если при всехn будетa n ≤b n .

Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

Теорема 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

Рассмотрим, например, ряд (27)

предполагая α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

Первый признак сравнения рядов. Пустьи- два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенстводля всехk = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени егоk-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателяk-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть, разность показателей степени числителя и знаменателя равна2 – 3 = -1 , поэтому, для сравнения выбираем ряд сk-ым членом, то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.Пример. Установить сходимость или расходимость ряда.Решение. Так как предел общего члена ряда равен нулю, то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Несложно заметить, что справедливо неравенстводля всех натуральныхk . Мы знаем, что гармонический рядрасходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.Пример. Исследуйте числовой рядна сходимость.Решение. Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как. Очевидно выполнение неравенствадля любого натурального значенияk . Рядсходится, так как обобщенно гармонический рядявляется сходящимся дляs > 1 . Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.Пример. Определите сходимость или расходимость числового ряда.Решение. , следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд, а чтобы определиться сs , внимательно исследуем числовую последовательность. Члены числовой последовательностивозрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номераN (а именно, сN = 1619 ), члены этой последовательности будут больше2 . Начиная с этого номераN , справедливо неравенство. Числовой рядсходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося рядаотбрасыванием первыхN – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд, а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд.Второй признак сравнения. Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если, то из сходимости рядаследует сходимость. Если, то из расходимости числового рядаследует расходимость.Следствие. Еслии, то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем рядна сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве рядавозьмем сходящийся ряд. Найдем предел отношенияk-ых членов числовых рядов:Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового рядаследует сходимость исходного ряда.

Пример. Исследовать на сходимость числовой ряд.Решение. Проверим необходимое условие сходимости ряда. Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд. Найдем предел отношенияk-ых членов:Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения. Для информации приведем третий признак сравнения рядов.Третий признак сравнения. Пустьи- знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номераN выполняется условие, то из сходимости рядаследует сходимость, а из расходимости рядаследует расходимость.

1.Числовые ряды: основные понятия, необходимые условия сходимости ряда. Остаток ряда.

2.Ряды с положительными членами и признаки их сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

1. Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Определение 1.1 . Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

. (1.1)

Числа называютсячленами ряда , –общим или n–м членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру

Пример 1.1 . Пусть . Ряд

(1.2)

называется гармоническим рядом .

Пример 1.2 . Пусть ,Ряд

(1.3)

называется обобщенным гармоническим рядом . В частном случае при получается гармонический ряд.

Пример 1.3 . Пусть =. Ряд

называется рядом геометрической прогрессии .

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – суммапервых членов ряда, которая называетсяn -й частичной суммой , т. е.

…………………………….

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номераможет:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2 . Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называетсясуммой ряда (1.1) и пишется

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

сходится, и найти его сумму.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .

Общий член ряда представим в виде.

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

Пример 1.5 . Исследовать на сходимость ряд

Для этого ряда

. Следовательно, данный ряд расходится.

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

2. Основные свойства числовых рядов

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман* , меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S – сумма ряда (1.1), то

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2)однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда не стремится к нулю при, то этот ряд расходится.

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

.

Для этого ряда

Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости.Для ряда (1.6) пределдля ряда (1.7) пределне существует.

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

сходятся,

сходится и его сумма равна т. е.

.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

1. Если сходится а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=, то сходится и ряд а m+1 +а m+2 +а m+3 +…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2 . Если ряд а 1 +а 2 +а 3 +… сходится и его сумма равна S, то ряд Са 1 +Са 2 +…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а 1 +а 2 +… и b 1 +b 2 +… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а 1 +b 1)+(а 2 +b 2)+(а 3 +b 3)+… и (а 1 -b 1)+(а 2 -b 2)+(а 3 -b 3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).

- необходимый признак (условие) сходимости ряда .

б). Если
то ряд расходящийся –достаточное условие расходимости ряда .

-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.

Знакоположительные ряды.

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=(1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…=(2).

Если члены ряда (1) не больше b n и ряд (2) сходится , то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а n b n и ряд (2) расходится , то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда (а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=) существует
(1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>

4. Признак Коши радикальный.

Если для знакоположительного ряда существует предел
(2), то ряд сходится, еслиq<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный.

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел
. Это есть несобственный интеграл и обозначается
.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=- знакоположительный ряд.

Обозначим a n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды
-ряд Дерихле . Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

1. Основные понятия. Пусть дана бесконечная последовательность чисел

Определение. Выражение

где - общий член ряда.

Пример 7.1

Рассмотрим ряд . Здесь - общий член ряда.

Рассмотрим суммы, составленные из конечного числа членов ряда (7.1): , , , ..., , . . . Такие суммы называются частичны­ми суммами ряда. называется -ой частичной суммой ряда. Таким образом, частичная сумма это сумма (конечного числа) слагаемых:

.

(7.3)

Последовательность , , , ..., , ... или .называется последовательностью частичных сумм ряда (7.1).

Определение. Если существует конечный предел , то ряд (1.1) называется сходящимся, а число - суммой этого ряда. В этом случае пишут ­

Если последовательность не имеет предела, то ряд (7.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Пример 7.2

Решение

Общий член ряда можно представить в виде

, (n = 1, 2, 3, . . .).

Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример 7.3 (геометрическая прогрессия)

Рассмотрим последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается в результате умножения предыдущего члена на одно и то же число:

Иногда сам ряд (7.5) называют геометрической прогрессией.

Частичная сумма ряда (7.5) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и

вычисляется по формуле

.

(7.6)

Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) сходится. Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) расходится. Если , тогда (7.5) превращается в ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . Для такого ряда и

Следовательно, при ряд (7.5) расходится.

При рассмотрении рядов, важным является вопрос о сходимости (расходимости). Для решения этого вопроса в примерах 7.1 и 7.2 использовалось определение сходимости. Чаще для этого используются определенные свойства ряда, которые называются признаками сходимости ряда.

Теорема 7.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд (7.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т. е.

Ряд (7.8) называется гармоническим рядом.

Для этого ряда . Однако, никакого вывода о сходимости ряда (7.8) пока сделать нельзя, так как утверждение, обратное теореме 7.1, не является верным.

Покажем, что ряд (7.8) расходится. Это можно установить рассуждениями от противного. Предположим, что ряд (7.8) сходится, и его сумма равна S .Тогда = –

– , что противоречит неравенству

Следовательно, гармонический ряд расходится.

Необходимым признаком можно воспользоваться для установления факта расходимости ряда. Действительно, из теоремы 7.1 следует, что если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 7.5

Рассмотрим ряд .

Здесь , . Предел не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

Таким образом, если выполняется условие (7.7), вопрос о сходимости ряда (7.1) остается открытым. Ряд может расходиться, а может и сходиться. Для решения этого вопроса могут

быть использованы свойства ряда, из которых следует сходимость этого ряда. Такие свойства называются достаточными признаками сходимости рядов.

Ряды с положительными членами. Рассмотри достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 7.2 .(Признак Даламбера).

положительны :

1) если , ряд (7.1) сходится;

2) если , ряд (7.1) сходится;

Примечание. Ряд (7.1) будет расходиться и в том случае, когда , так как тогда, начиная с некоторого номера N, будет и, значит, не стремится к нулю при .

Пример 7.6

Исследовать на сходимость ряд .

Решение . , , тогда =

Найденный предел меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 7.7

Исследовать на сходимость ряд .

Решение . , , тогда =

= = = = = = = .

Найденный предел больше единицы. Следовательно, данный ряд расходится.

Теорема 7.3 .(Радикальный признак Коши).

Пусть дан ряд (7.1), все члены которого положительны :

и существует предел

,

(7.11)

(где обозначение найденного предела). Тогда:

1) если , ряд (7.1) сходится;

2) если , ряд (7.1) сходится;

3) если , рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство признака можно найти в .

Пример 7.8

Исследовать на сходимость ряд .

Решение .

Найдем предел (7.11):

Найденный предел больше единицы. Следовательно, данный ряд расходится (теорема 7.3).

Обобщенный гармонический ряд. Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида

Теорема 7.3 . (теорема Лейбница). Если для ряда (7.13) выполняются два условия:

1) члены ряда по абсо­лютной величине монотонно убывают :

2) общий член ряда стремится к нулю :

то ряд (7.13) сходится.

Доказательство признака можно найти, например, в .

Пример 7.9.

Рассмотрим знакочередующийся ряд

(7.14)

Для этого ряда условия теоремы (7.13) выполнены:

Следовательно, ряд (7.12) сходится.

Следствие из теоремы 7.3. Остаток знакочередующегося ряда (7.13), удов­летворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Пример 7.10. Вычислить с точностью до 0,1 сумму сходящегося ряда

В качестве приближенного значения суммы ряда мы должны взять ту частичную сумму , для которой . Согласно следствию, . Следовательно, достаточно положить , т. е. , тогда

Отсюда с точностью до 0,1.

Абсолютная и условная сходимость . Рассмотрим ряд, члены которого имеют произвольные знаки

Отметим, что ряд (7.16) является рядом с положительными членами и для него применимы соответствующие теоремы, приведенные выше.

Теорема 7.4 (Признак абсолютной сходимости). Если сходится ряд (7.16) , то сходится и ряд (7.15).

(Доказательство теоремы можно найти, например, в ).

Определение.

Если сходится ряд (7.16), то соответствующий ряд (7.15) называется абсолютно сходящимся абсолютно сходящим ся.

Может оказаться, что ряд (7.16) расходится, а ряд (7.15) сходится. В этом случае ряд (7.15) называется условно сходящимся .

Отметим, что знакочередующийся ряд (7.13) является частным случаем ряда, члены которого имеют произвольные знаки. Поэтому для исследования знакочередующегося ряда также можно применить теорему 7.5.

Пример 7.11

Решение

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда . Этот ряд сходится, т. к. это обобщенный гармонический ряд (7.12) со значением Следовательно, по признаку абсолютной сходимости (теорема 7.5) исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 7.12

Ряд исследовать на сходимость.

Решение

по теореме Лейбница сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится (это гармонический ряд). Следовательно, исходный ряд сходится условно.