Այս հոդվածում դուք կգտնեք եռանկյան կիսաչափի և միջնագծի հատկությունները, որոնք կարող են օգտակար լինել խնդիրների լուծման համար:

Բիսեկտորներ.

1. Եռանկյան կիսադիրների հատման կետը եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։

Ապացույց.

Իսկապես, անկյան կիսագծի վրա ընկած կետերը հավասար են անկյան կողմերից: Հետևաբար, կիսատների հատման կետը եռանկյան բոլոր կողմերից հավասար է, այսինքն՝ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։

2. Եռանկյան կիսադիրը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ հատվածների.

Ապացույց.

Կատարենք լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ։ Գծեք գիծ դրան զուգահեռ կետի միջով

Գծի և ուղիղի հատման կետ.

∠1=∠2, քանի որ ∠-ի կիսորդն է

∠2=∠3 ինչպես պառկած է, այնպես էլ կառուցված:

Հետևաբար, ∠1=∠3 և եռանկյունը հավասարաչափ է, և .

հետևաբար,

3. Բիսեկտորի երկարությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

Ապացուցենք երկրորդ բանաձեւը.

Ներկայացնենք նշումը.

Հավասարեցրեք եռանկյան մակերեսի արտահայտությունները.

4. Թող O լինի ներգծված շրջանագծի կենտրոնը, լինի եռանկյան անկյան կիսորդը.

Այնուհետև կապը կատարվում է.

Ապացույց:

Դիտարկենք եռանկյուն.

Անկյան կիսաչափ, հետևաբար՝ եռանկյունի կիսաչափ հատկությամբ

Թող ուրեմն

Եկեք արտահայտենք. Ըստ եռանկյան կիսադիրի հատկության.

Այստեղից

Որոշ խնդիրներում հարմար է եռանկյան կիսաչափը երկարացնել մինչև շրջագծված շրջանագծի հատումը:

Շամրոկի լեմման.

Տրվում է եռանկյուն: Կետ - անկյան կիսադիրի հատման կետը եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի հետ: Թող լինի եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը: Հետո

Ապացույց.

Հավասար աղեղները հատող ներգծված անկյունները հավասար են: Նշեք հավասար ներգծված անկյունները.

Այստեղից։

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը, անկյան կիսորդը նույնպես:

Եռանկյունից

Հետո եռանկյունից

Ստացել է .

Այսինքն՝ եռանկյունը հավասարաչափ է։

Այստեղից։

Դա ապացուցեց

Եկեք ապացուցենք բանաձևը (1) 3-րդ կետից.

Ապացույց:

Շարունակում ենք կիսադիրը մինչև շրջագծով հատվող շրջանը։ Դիտարկենք եռանկյունները և . Նշեք հավասար անկյունները.

Եռանկյունը նման է երկու անկյան տակ գտնվող եռանկյունին: Այստեղից.

Հատվող ակորդների հատվածների հատկությամբ

Փոխարինեք (3)-ը (2)-ով և օգտագործեք (4).

Մենք արտահայտում ենք այն հատվածների երկարությունները, որոնց մեջ կիսորդը բաժանում է եռանկյան կողմը եռանկյան կողմերի երկարությունների չափով։ Ներկայացնենք նշումը.

Մենք ստանում ենք համակարգը.

Մեդիաններ.

1. Եռանկյան միջինները բաժանվում են հատման կետով 2:1 հարաբերությամբ՝ վերևից հաշվելով.

2. Եռանկյան ներսում թողնենք այնպիսի կետ, որ կապը կատարվի. , ապա - եռանկյան միջինների հատման կետը.

Ապացույց.

Եկեք ապացուցենք օժանդակ թեորեմ.

Լեմմա.

Եռանկյան ներսում կամայական կետի համար գործում է հետևյալ կապը.

Եկեք կետերից և ուղղահայացներից իջնենք դեպի :

Եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք.

Եթե ​​դիտարկենք եռանկյուններ և ընդհանուր հիմքով , ապա մենք ստանում ենք հարաբերակցությունը.

Նմանապես, մենք ստանում ենք

Այս հավասարությունները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

Մենք օգտագործում ենք այս լեմման 2-րդ պնդումն ապացուցելու համար:

Եթե ​​հավասարությունը (1), ապա հավասարությունը (2) և լեմմայից հետևում է, որ (2) հավասարության դեպքում յուրաքանչյուր կոտորակ հավասար է .

Փաստենք, որ այս դեպքում հատվածները մեդիաններ են։

Եթե , ապա մենք ստանում ենք . Եկեք ուղիղ գծեր գծենք կետի միջով, զուգահեռ և դիտարկենք երկու զույգ նման եռանկյուններ.

Այստեղից մենք ստանում ենք

Եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք, այսինքն՝ կետը հատվածի միջնամասն է։ Այստեղից։

Հետևաբար, եռանկյան միջինն է:

3. Եռանկյան միջնամասերը, հատվելով, բաժանիր այն 6 հավասար եռանկյունների։

Ապացույց.

Ապացուցենք դա

որովհետեւ ,

որովհետեւ ,

Հետևաբար,

Բարձրություններ.

1. Եռանկյան բարձրությունները պարունակող ուղիղները հատվում են մի կետում։ Սուր եռանկյունու դեպքում բարձրություններն իրենք հատվում են մի կետում։

2. Եռանկյան բարձրությունների հատման կետն ունի հետևյալ հատկությունը՝ եռանկյան գագաթից և հակառակ կողմի քառակուսու հեռավորության քառակուսու գումարը նույնն է ցանկացած գագաթի համար.

Ապացույց.

Փաստենք հավասարության առաջին մասը.

Եկեք այն վերաշարադրենք ձևով.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ (եռանկյուններից և )

(եռանկյունից)

(եռանկյունից)

Փոխարինելով այս արտահայտությունները (1-ում), մենք ստանում ենք.

Ընդլայնելով փակագծերը՝ ստանում ենք.

Մենք ինքնություն ստացանք։ Նմանապես ապացուցված է հավասարության երկրորդ մասը։

3. Եթե ​​նկարագրենք շրջանագիծ եռանկյան շուրջը և եռանկյան բարձրությունները երկարացնենք մինչև այս շրջանագծի հատումը,

ապա եռանկյան ցանկացած բարձրության համար բարձրության հիմքից մինչև շրջանագծի հետ բարձրության շարունակության կետը հավասար է բարձրության հիմքից մինչև բարձունքների հատման կետի հեռավորությանը.

Կամ այսպես. Եռանկյան բարձրությունների հատման կետին սիմետրիկ կետերը եռանկյան կողմերի նկատմամբ գտնվում են եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի վրա:

Ապացույց.

Եկեք ապացուցենք դա։

Դա անելու համար հաշվի առեք եռանկյունները և , և ապացուցեք դա :

Օգտագործենք կողմի և հարակից երկու անկյունների եռանկյունների հավասարության նշանը։ - ընդհանուր կողմը. Եկեք ապացուցենք երկու անկյունների հավասարությունը։

Ապացուցենք, որ ∠ ∠

Թող ∠, ապա եռանկյունից ստանում ենք դա

∠. Հետևաբար, եռանկյունից մենք ստանում ենք դա

Բայց ∠ և ∠-ը հիմնված են նույն աղեղի վրա, հետևաբար՝ ∠ ∠ ∠

Նմանապես, մենք ստանում ենք, որ ∠ ∠

4. Եռանկյան մեջ կետերը և գագաթներից գծված բարձրությունների հիմքերն են և. Ապացուցեք, որ եռանկյունը նման է եռանկյունին, իսկ նմանության գործակիցը .

Ապացույց:

Ուղղանկյուն եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է հիպոթենուսի միջին կետում . Բանն այս շրջանի վրա է, քանի որ - Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզա.

Որպես մեկ աղեղի վրա հիմնված ներգծված անկյուններ:

եռանկյունից:

Այստեղից։ Անկյուն - եռանկյունների ընդհանուր անկյուն և . Հետևաբար, եռանկյունը նման է եռանկյունին: Նմանության գործակիցը հավասար է միանման կողմերի հարաբերակցությանը, այսինքն՝ կողմերի, որոնք գտնվում են հակառակ հավասար անկյուններով.

Սևայի թեորեմը

Թողեք եռանկյունի մեջ

Սեգմենտները հատվում են մի կետում, եթե և միայն եթե

Ապացույց.

Ապացուցենք, որ եթե հատվածները հատվում են մի կետում, ապա (1) կապը բավարարված է։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ եթե, ապա

Եկեք կիրառենք այս համամասնության հատկությունը.

Նմանապես.

Սևայի թեորեմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Եթե ​​հատվածները հատվում են մի կետում, ապա կապը կատարվում է.

Ապացուցել Սևայի թեորեմը սինուսների տեսքով, բավական է փոխարինել յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսի բանաձևը հավասարության երկրորդ մասում (2)՝ եռանկյունների մակերեսների փոխարեն։ .

Աղախանով Նազար Խանգելդևիչի և Վլադիմիր Վիկտորովիչ Տրուշկովի դասախոսություններից, CPC MIPT.

Հատկություններ

• Եռանկյան միջնամասերը հատվում են մի կետում, որը կոչվում է կենտրոն, և այս կետով բաժանվում են երկու մասի 2:1 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով վերևից:
• Եռանկյունը երեք միջանկյալներով բաժանվում է հավասար մակերեսով վեց եռանկյունների:
• Եռանկյան ավելի երկար կողմը համապատասխանում է ավելի փոքր միջինին:
• Միջնագիծը կազմող վեկտորներից կարող եք կազմել եռանկյուն:
• Աֆինային փոխակերպումների դեպքում մեդիանը գնում է դեպի մեդիան:
• Եռանկյան միջնագիծը այն բաժանում է երկու հավասար մասերի։

Բանաձևեր

• Կողմերի միջով մեդիանայի բանաձևը (ստացվում է Ստյուարտի թեորեմի միջոցով կամ լրացնելով այն զուգահեռագծին և օգտագործելով կողմերի քառակուսիների գումարի զուգահեռագծի և անկյունագծերի քառակուսիների գումարի հավասարությունը).

, որտեղ m c-ը c կողմի միջինն է; a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, ուստի կամայական եռանկյան միջինների քառակուսիների գումարը միշտ 4/3 անգամ փոքր է նրա կողմերի քառակուսիների գումարից:

• Կողմնակի բանաձևը միջինների առումով.

, որտեղ եռանկյան համապատասխան կողմերի միջինները եռանկյան կողմերն են:

Եթե ​​երկու միջնագիծն ուղղահայաց են, ապա այն կողմերի քառակուսիների գումարը, որոնց վրա դրանք իջել են, 5 անգամ մեծ է երրորդ կողմի քառակուսու վրա:

Մնեմոնիկ կանոն

միջին կապիկ,
ով ունի սուր աչք
ցատկել հենց մեջտեղում
կողմերը վերևում,
որտեղ է հիմա.

Նշումներ

տես նաեւ

Հղումներ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ .

Տեսեք, թե ինչ է «եռանկյունի մեդիանը» այլ բառարաններում.

Մեդիան. Պլանաչափության մեջ եռանկյան մեդիանը, վիճակագրության մեջ եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետի հետ կապող հատվածը, մեդիանն այն պոպուլյացիայի արժեքն է, որը դասակարգված տվյալների շարքը բաժանում է միջինի կիսով չափ (վիճակագրություն) ... . .. Վիքիպեդիա

Միջին. Եռանկյան միջնագիծը պլանաչափության մեջ, եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետին միացնող հատվածը Միջին (վիճակագրություն) քվանտիլ 0,5 Միջին (հետք) աջ և ձախ գծված հետքի միջին գիծը ... Վիքիպեդիա

Եռանկյունը և դրա միջնամասերը: Եռանկյան միջնագիծը եռանկյան ներսում գտնվող հատվածն է, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետին, ինչպես նաև այս հատվածը պարունակող ուղիղ գիծը։ Բովանդակություն 1 Հատկություններ 2 Բանաձևեր ... Վիքիպեդիա

Ուղղագիծ, որը միացնում է եռանկյան գագաթը նրա հիմքի միջնակետի հետ։ Ռուսերենում գործածված օտար բառերի ամբողջական բառարան: Պոպով Մ., 1907. մեդիան (լատ. mediana միջին) 1) գեոլ. հատված, որը միացնում է եռանկյան գագաթը ... ... Ռուսաց լեզվի օտար բառերի բառարան

Միջին (լատիներեն mediana միջինից) երկրաչափության մեջ՝ եռանկյան գագաթներից մեկը հակառակ կողմի միջնակետին միացնող հատված։ Երեք M. եռանկյուններ հատվում են մի կետում, որը երբեմն կոչվում է եռանկյան «ծանրության կենտրոն», ուստի ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Եռանկյունը ուղիղ գիծ է (կամ դրա հատվածը եռանկյան ներսում), որը կապում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետի հետ։ Երեք M. եռանկյուններ հատվում են մի կետում, դեպի դրախտ կոչվում է եռանկյան ծանրության կենտրոն, կենտրոնաձև կամ ... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

- (լատ. mediana միջինից) եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատված ... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

ՄԵԴԻԱՆ, մեդիաններ, կանայք։ (լատ. mediana, լիտ. միջին): 1. Ուղիղ գիծ, ​​որը գծված է եռանկյան գագաթից մինչև հակառակ կողմի կեսը (մատ.): 2. Վիճակագրության մեջ բազմաթիվ տվյալների շարքի համար մի մեծություն, որն ունի այն հատկությունը, որ տվյալների թիվը, ... ... Ուշակովի բացատրական բառարան

MEDIAN, s, իգական Մաթեմատիկայում՝ ուղիղ գծի հատված, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի միջնակետին։ Օժեգովի բացատրական բառարան. Ս.Ի. Օժեգով, Ն.Յու. Շվեդովա. 1949 1992 ... Օժեգովի բացատրական բառարան

ՄԵԴԻԱՆ (լատ. mediana միջինից), եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի կեսի հետ կապող հատված ... Հանրագիտարանային բառարան

ակորդի հատկությունները

1. Լարին ուղղահայաց տրամագիծը (շառավղը) կիսում է այս ակորդը և նրա կողմից սեղմված երկու աղեղները: Ճիշտ է նաև հակառակ թեորեմը՝ եթե տրամագիծը (շառավիղը) կիսում է ակորդը, ապա այն ուղղահայաց է այս ակորդին։

2. Զուգահեռ ակորդների միջև պարփակված կամարները հավասար են։

3. Եթե շրջանագծի երկու ակորդ, ԱԲԵվ CDհատվում են մի կետում Մ, ապա մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս ակորդի հատվածների արտադրյալին. AM MB = CM MD:

Շրջանակի հատկությունները

1. Ուղիղ գիծը չի կարող ունենալ ընդհանուր կետեր շրջանագծի հետ; ունեն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ ( շոշափող); երկու ընդհանուր կետ ունի դրա հետ ( հատված).

2. Երեք կետերի միջոցով, որոնք չեն ընկած մեկ ուղիղ գծի վրա, կարելի է շրջանագիծ գծել, ընդ որում՝ միայն մեկը։

3. Երկու շրջանագծերի շփման կետն ընկած է նրանց կենտրոնները միացնող գծի վրա։

Շոշափող և սեկանտային թեորեմ

Եթե ​​շոշափողն ու հատվածը գծված են շրջանագծից դուրս գտնվող կետից, ապա շոշափողի երկարության քառակուսին հավասար է նրա արտաքին մասի կտրվածքի արտադրյալին. MC 2 = MA ՄԲ.

Սեկանտային թեորեմ

Եթե ​​շրջանագծից դուրս ընկած կետից գծված են երկու հատվածներ, ապա դրա արտաքին մասով մի հատվածի արտադրյալը հավասար է իր արտաքին մասի մյուս հատվածի արտադրյալին: MA MB = MC MD.

Անկյունները շրջանագծի մեջ

ԿենտրոնականՇրջանակի անկյունը հարթ անկյուն է, որի կենտրոնում գագաթն է:

Այն անկյունը, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, և որի կողմերը հատում են շրջանագիծը, կոչվում է մակագրված անկյուն.

Շրջանակի վրա գտնվող ցանկացած երկու կետ այն բաժանում է երկու մասի։ Այս մասերից յուրաքանչյուրը կոչվում է աղեղշրջանակներ. Աղեղի չափը կարող է լինել դրա համապատասխան կենտրոնական անկյան չափը:

Աղեղը կոչվում է կիսաշրջան,եթե դրա ծայրերը միացնող հատվածը տրամագիծ է.

Շրջանի հետ կապված անկյունների հատկությունները

1. Ներգրված անկյունը կամ հավասար է իր համապատասխան կենտրոնական անկյան կեսին, կամ լրացնում է այս անկյան կեսը մինչև 180°:

2. Մի շրջանով գրված և նույն աղեղի վրա հիմնված անկյունները հավասար են։

3. Տրամագծի հիման վրա գրված անկյունը 90° է։

5. Շրջանակին շոշափողից և շոշափող կետով գծված անկյունը հավասար է նրա կողմերի միջև պարփակված աղեղի կեսին:

Երկարություններ և տարածքներ

1. Շրջագիծ Գշառավիղը Ռհաշվարկվում է բանաձևով. C= 2 Ռ.

2. Տարածք Սշրջանագծի շառավիղը Ռհաշվարկվում է բանաձևով. S = R2.

3. Շրջանակի աղեղի երկարությունը Լշառավիղը Ռկենտրոնական անկյունով, որը չափվում է ռադիաններով, հաշվարկվում է բանաձևով. L=R .

4. Քառակուսի Սշառավղային հատվածներ Ռկենտրոնական անկյունով ռադիաններով հաշվարկվում է բանաձևով. S = R2 .

Արձանագրված և շրջագծված շրջանակներ

Շրջան և եռանկյուն

ներգծված շրջանագծի կենտրոնը եռանկյան կիսորդների հատման կետն է, նրա շառավիղը. rհաշվարկվում է բանաձևով.

r=, Որտեղ Սեռանկյան մակերեսն է, և - կիսաշրջագծային;

Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը միջանկյալ ուղղահայացների հատման կետն է, նրա R շառավիղը հաշվարկվում է բանաձևով.

R= R =;

Ուղղանկյուն եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է հիպոթենուսի մեջտեղում.

Եռանկյան շրջագծված և ներգծված շրջանակների կենտրոնը համընկնում է միայն այն դեպքում, եթե այս եռանկյունը կանոնավոր է:

Շրջանագիծ և քառանկյուն

Շրջանակը կարելի է շրջագծել ուռուցիկ քառանկյունի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ներքին հակադիր անկյունների գումարը 180° է.

180 °;

Շրջանագիծը կարելի է մակագրել քառանկյունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հակառակ կողմերի գումարները հավասար են ա + գ = բ + դ;

շրջանագիծը կարող է շրջագծվել զուգահեռագծի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն ուղղանկյուն է.

· trapezoid-ի մասին կարելի է շրջանագիծ նկարագրել, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս տրապեզը հավասարաչափ է. շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է տրապեզիայի համաչափության առանցքի խաչմերուկում կողային կողմին ուղղահայաց միջինի հետ.

Շրջանակը կարելի է մակագրել զուգահեռագծին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն ռոմբ է:

եռանկյուններ

Եռանկյունի միջին հատկությունները

1. Միջինը եռանկյունը բաժանում է նույն տարածքի երկու եռանկյունների:

2. Եռանկյան միջնամասերը հատվում են մի կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով վերևից: Այս կետը կոչվում է ծանրության կենտրոնեռանկյուն.

3. Ամբողջ եռանկյունը իր միջիններով բաժանված է վեց հավասար եռանկյունների:

Եռանկյունի բիսեկտորի հատկությունները

1. Անկյան կիսադիրը այս անկյան կողմերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղն է:

2. Եռանկյան ներքին անկյան կիսադիրը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ հատվածների.

3. Եռանկյան կիսանկյունների հատման կետը այս եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է:

Եռանկյունի բարձրության հատկությունները

1. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ աջ անկյան գագաթից գծված բարձրությունը այն բաժանում է սկզբնականին նման երկու եռանկյունների։

2. Սուր եռանկյունում նրա երկու բարձրությունները նրանից կտրում են նմանատիպ եռանկյունները:

Տեսություն կա, որ Եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում, և այդ կետը բաժանում է յուրաքանչյուր միջնագիծ 2։1 հարաբերությամբ։, որտեղ 2-ը համապատասխանում է այն գագաթի հատվածին, որից մեդիանը գծված է մինչև միջնամասերի հատման կետը, և 1-ը համապատասխանում է հատվածին միջնորների հատման կետից մինչև այն կողմի կեսը, որի միջնամասը գտնվում է. նկարված.

Այս թեորեմն ապացուցելու համար դիտարկենք ABC եռանկյունը՝ AE, BF, CD միջնորդներով: Այսինքն՝ D, E, F կետերը կիսում են համապատասխանաբար AB, BC, CA կողմերը։
Մենք չգիտենք, թե արդյոք բոլոր մեդիանները հատվում են մեկ կետում (սա դեռ պետք է ապացուցվի): Այնուամենայնիվ, ցանկացած երկու միջնաչափ կհատվեն մի կետում, քանի որ դրանք չեն կարող զուգահեռ լինել: Թող միջնագծերը AE և BF հատվեն O կետում:

Միջին BF-ը մեդիանային AE-ն բաժանում է երկու հատվածի՝ AO և EO: BF-ին զուգահեռ E կետով ուղիղ գծենք: Այս ուղիղը L ինչ-որ կետում կհատի AC կողմը: Մենք նաև BF-ին զուգահեռ մեկ այլ ուղիղ գծում ենք AB հատվածի միջնակետով (կետ D): Այն կհատվի AC կետում Կ.

Համաձայն Թալեսի թեորեմի, եթե անկյան մի կողմում նրա գագաթից հաջորդաբար հավասար հատվածներ առանձնացվեն, և այդ հատվածների ծայրերով զուգահեռ գծեր անցկացվեն՝ հատելով անկյան մյուս կողմը, ապա այս զուգահեռ ուղիղները կկտրեն հատվածները։ հավասար են միմյանց անկյան երկրորդ կողմում:

Դիտարկենք այս եռանկյունու BCA անկյունը: BE և EC հատվածները հավասար են միմյանց, BF և EL ուղիղները զուգահեռ են միմյանց: Այնուհետեւ, ըստ Թալեսի թեորեմի, CL = LF:
Բայց եթե նայենք BAC անկյունին, քանի որ AD = BD և DK || BF, ապա AK = KF:

Քանի որ AF և CF հատվածները հավասար են միմյանց (քանի որ դրանք ձևավորվում են միջինով), և նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանված է երկու հավասար հատվածի, ապա AC կողմի բոլոր չորս հատվածները հավասար են միմյանց. AK = KF = FL: = LC.

Դիտարկենք EAC անկյունը: AC կողմի երեք հավասար հատվածների ծայրերով զուգահեռ ուղիղ գծեր են գծվում: Հետևաբար, նրանք կտրում են միմյանց հավասար հատվածներ կողային AE-ի վրա: AO հատվածը պարունակում է երկու այդպիսի հատված, իսկ EO-ն միայն մեկը: Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ եռանկյան առնվազն մեկ միջնագիծը մեկ այլ միջինի հետ հատման կետով բաժանվում է երկու հատվածի, որոնց երկարությունները կապված են 2:1:

Այժմ դիտարկենք միջնադարյան AE-ի հատումը միջին CD-ի հետ: Թող հատվեն P կետում։

Ինչպես նախորդը, ապացուցված է, որ FM, CD, EN զուգահեռ ուղիղները AB կողմը բաժանում են հավասար հատվածների։ Իր հերթին, նրանք նույնպես բաժանում են AE-ն երեք հավասար հատվածների: Ընդ որում, A գագաթից մինչև մեդիանների հատման կետը կա երկու այդպիսի հատված, իսկ հետո՝ մեկը։

Միևնույն հատվածը չի կարող բաժանվել երեք հավասար մասերի, որպեսզի բաժանման մի տարբերակով լինեն նույն չափի, իսկ մյուսի հետ՝ մյուսի։ Հետեւաբար, O և P կետերը պետք է համընկնեն: Սա նշանակում է, որ եռանկյան բոլոր երեք միջինները հատվում են մեկ կետում:

Ապացուցելու համար, որ մյուս երկու միջինները կիսում են հատման կետը 2:1 հարաբերությամբ, մենք կարող ենք զուգահեռ գծեր գծել AB և BC կողմերին նույն կերպ, ինչ նախորդը:

Միջինը եռանկյան հիմնական գծերից մեկն է։ Այս հատվածը և այն գիծը, որի վրա այն ընկած է, կապում են եռանկյան անկյունի գլխի կետը նույն պատկերի հակառակ կողմի միջնակետի հետ: Հավասարակողմ եռանկյան մեջ միջնագիծը նաև կիսանկյունն է և բարձրությունը:

Մեդիանի հատկությունը, որը մեծապես կհեշտացնի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը, հետևյալն է. եթե յուրաքանչյուր անկյունից գծեք միջնագիծ եռանկյունու մեջ, ապա բոլորը, հատվելով մի կետում, կբաժանվեն 2 հարաբերությամբ. 1. Հարաբերակցությունը պետք է հաշվել անկյունի վերևից:

Միջինն ունի ամեն ինչ հավասարապես բաժանելու հատկություն։ Օրինակ, ցանկացած միջնագիծ եռանկյունը բաժանում է երկու մյուսների՝ մակերեսով հավասար: Եվ եթե գծեք բոլոր երեք միջնագիծը, ապա մեծ եռանկյունու վրա կստանաք 6 փոքր՝ նույնպես հավասար մակերեսով։ Նման թվերը (նույն մակերեսով) կոչվում են հավասար։

Բիսեկտոր

Բիսեկտորը ճառագայթ է, որը սկսվում է անկյան գագաթից և կիսում է նույն անկյունը: Տվյալ ճառագայթի վրա ընկած կետերը հավասար են անկյան կողմերից: Եռանկյունների հետ կապված խնդիրների լուծման գործում լավ օգնում են կիսանդրի հատկությունները։

Եռանկյան մեջ կիսանկյունը մի հատված է, որն ընկած է անկյան կիսաչափի ճառագայթի վրա և միացնում է գագաթը հակառակ կողմին։ Կողքի հետ հատման կետը այն բաժանում է հատվածների, որոնց հարաբերակցությունը հավասար է նրանց հարակից կողմերի հարաբերությանը։

Եթե ​​շրջանագիծը մակագրված է եռանկյան մեջ, ապա դրա կենտրոնը կհամընկնի այս եռանկյան բոլոր կիսատների հատման կետի հետ։ Այս հատկությունն արտացոլվում է նաև ստերեոմետրիայում՝ այնտեղ բուրգը խաղում է եռանկյունու դեր, իսկ գնդակը՝ շրջանագծի դեր։

Բարձրություն

Ինչպես միջինն ու կիսորդը, այնպես էլ եռանկյան բարձրությունը հիմնականում կապում է անկյան գագաթն ու հակառակ կողմը։ Այս կապը հանգեցնում է հետևյալին. բարձրությունը ուղղահայաց է, որը գծված է գագաթից դեպի հակառակ կողմը պարունակող գիծը:

Եթե ​​բարձրությունը գծված է ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ, ապա, դիպչելով հակառակ կողմին, այն ամբողջ եռանկյունը բաժանում է երկու ուրիշների, որոնք իրենց հերթին նման են առաջինին։

Հաճախ ուղղահայաց հասկացությունն օգտագործվում է ստերեոմետրիայում՝ տարբեր հարթություններում գծերի հարաբերական դիրքերը և նրանց միջև հեռավորությունը որոշելու համար։ Այս դեպքում այն ​​հատվածը, որը կատարում է ուղղահայաց ֆունկցիա, պետք է ունենա ուղիղ անկյուն երկու ուղիղների հետ: Այնուհետև այս հատվածի թվային արժեքը ցույց կտա երկու թվերի միջև եղած հեռավորությունը: