Referentni podaci za tangens (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangensa i kotangenata, derivacije, integrali, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Tangenta ( tgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutni trokut, jednak omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .

Kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| .

Tangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Graf funkcije tangensa, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također je usvojena sljedeća oznaka:
;
;
.

Graf kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangensa i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x su periodične s periodom π.

Paritet

Funkcije tangens i kotangens su neparne.

Područja definiranja i vrijednosti, uzlazno, silazno

Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane na svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Opseg i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazni		-
Silazni	-
Krajnosti	-	-
Nule, y= 0
Točke presjeka s osi y, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi pomoću sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens i kotangens zbroja i razlike

Ostale formule lako je nabaviti, na primjer

Umnožak tangenti

Formula za zbroj i razliku tangenti

Ova tablica prikazuje vrijednosti tangensa i kotangenata za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>>

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili ekspanziju tangente u potencije od x, morate uzeti nekoliko članova ekspanzije u niz potencija za funkcije grijeh x i cos x i podijeliti te polinome jedan na drugi, . To rezultira sljedećim formulama.

U .

u .
gdje B n- Bernoullijevi brojevi. Oni se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangensu i kotangensu su arktangens i arkotangens.

Arktangens, arctg

, gdje n- cijeli.

Arkus tangenta, arcctg

, gdje n- cijeli.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za istraživače i inženjere, 2012.

U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tablicu, au nastavku donosimo izvođenje ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je vrlo jednostavno: jednakosti se dobivaju iz osnovne trigonometrijski identitet nakon dijeljenja oba njegova dijela s i, odnosno, i jednakosti i slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.

Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.

Prije nego dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dat ćemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi u transformacija trigonometrijski izrazi . Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta oblika i neposredno proizlaze iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog te očitosti identiteta i često se definicije tangensa i kotangensa ne daju kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.

Za kraj ovog odjeljka, treba napomenuti da su identiteti i vrijede za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za sve osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje s nulom), a formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.

Odnos tangensa i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od dva prethodna je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da se to događa za sve kutove osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao provesti i na malo drugačiji način. Od i , onda .

Dakle, tangens i kotangens jednog kuta, u kojem imaju smisla, je.

- sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne voli jer mora natrpati ogromnu količinu teških formula koje vrve sinusima, kosinusima, tangensima i kotangensima. Stranica je već jednom dala savjet kako zapamtiti zaboravljenu formulu, na primjeru Eulerove i Peelove formule.

I u ovom ćemo članku pokušati pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet najjednostavnijih trigonometrijske formule, a o ostalom imati Generalna ideja i vadite ih dok idete. To je kao s DNK: potpuni crteži gotovog živog bića nisu pohranjeni u molekuli. Sadrži, naime, upute kako ga sastaviti od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavajući neka opća načela, dobit ćemo sve potrebne formule iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Oslonit ćemo se na sljedeće formule:

Iz formula za sinus i kosinus zbroja, znajući da je kosinusna funkcija parna, a sinusna neparna, zamjenom -b s b, dobivamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. razlika kosinusa: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući \u003d b u iste formule, dobivamo formule za sinus i kosinus dvostrukih kutova:

1. Sinus dvostruki kut : grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog kuta: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2a-grijeh2a

Formule za druge višestruke kutove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog kuta: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2a-grijeh2a)grijeha = 2grijehacos2a+grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog kuta: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2a-grijeh2a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3a- grijeh2acosa-2grijeh2acosa = cos 3a-3 grijeh2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Prije nego krenemo dalje, razmotrimo jedan problem.
Zadano: kut je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje jednog učenika:
Jer , onda grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangensa povezuje ovu funkciju sa sinusom i kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja daje vezu tangente samo s kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo osnovni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga s cos 2 a. Dobivamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je kut oštar, kod vađenja korijena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna koju je teško zapamtiti. Izbacimo to ovako:

odmah izlaz i

Iz formule kosinusa za dvostruki kut možete dobiti formule sinusa i kosinusa za polukut. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodajemo jedinicu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbroj kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2a-grijeh2a+cos2a+grijeh2a
2cos 2 a = cos2 a+1
izražavajući cosa kroz cos2 a i vršeći promjenu varijabli, dobivamo:

Predznak se uzima ovisno o kvadrantu.

Slično, oduzimajući jedan od lijeve strane jednakosti, a zbroj kvadrata sinusa i kosinusa od desne strane, dobivamo:
cos2a-1 = cos2a-grijeh2a-cos2a-grijeh2a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I konačno, za pretvaranje zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožak koristimo sljedeći trik. Pretpostavimo da zbroj sinusa trebamo prikazati kao umnožak grijeha+grijehb. Uvedimo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Zatim
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos g. Izrazimo sada x i y kroz a i b.

Kako je a = x+y, b = x-y, tada je . Zato

Možete se odmah povući

1. Particijska formula produkti sinusa i kosinusa u iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučamo da uvježbate i izvedete formule za pretvaranje umnoška razlike sinusa i zbroja i razlike kosinusa u umnožak, kao i za rastavljanje umnožaka sinusa i kosinusa u zbroj. Izvođenjem ovih vježbi temeljito ćete svladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežoj kontroli, olimpijadi ili testiranju.

Nastavljamo razgovor o formulama koje se najčešće koriste u trigonometriji. Najvažnije od njih su adicijske formule.

Definicija 1

Formule zbrajanja omogućuju vam da izrazite funkcije razlike ili zbroja dvaju kutova pomoću trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Za početak ćemo predstaviti puni popis adicijskih formula, zatim ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne adicijske formule u trigonometriji

Postoji osam osnovnih formula: sinus zbroja i sinus razlike dvaju kutova, kosinus zbroja i razlike, tangens i kotangens zbroja i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i izračuni.

1. Sinus zbroja dvaju kutova može se dobiti na sljedeći način:

Izračunavamo umnožak sinusa prvog kuta s kosinusom drugog kuta;

Pomnožite kosinus prvog kuta sa sinusom prvog kuta;

Zbrojite dobivene vrijednosti.

Grafički zapis formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinus razlike izračunava se gotovo na isti način, samo se dobiveni produkti ne smiju zbrajati, već međusobno oduzimati. Dakle, izračunavamo umnoške sinusa prvog kuta s kosinusom drugog i kosinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta i nalazimo njihovu razliku. Formula se piše ovako: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosinus zbroja. Za njega pronalazimo umnoške kosinusa prvog kuta s kosinusom drugog i sinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta i nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Razlika kosinusa: izračunavamo umnoške sinusa i kosinusa zadanih kutova, kao i prije, te ih zbrajamo. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens zbroja. Ova se formula izražava razlomkom u čijem je brojniku zbroj tangensa traženih kutova, a u nazivniku jedinica od koje se oduzima umnožak tangensa traženih kutova. Iz njenog grafičkog zapisa sve je jasno: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangens razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i umnoška tangenti tih kutova i postupamo s njima na sličan način. U nazivniku zbrajamo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens zbroja. Za izračune pomoću ove formule potreban nam je umnožak i zbroj kotangenata ovih kutova, s kojim postupamo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali u brojniku i nazivniku - minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Vjerojatno ste primijetili da su ove formule u paru slične. Koristeći znakove ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), možemo ih grupirati radi lakšeg označavanja:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Prema tome, imamo jednu formulu za snimanje zbroja i razlike svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.

Definicija 2

Možemo uzeti bilo koje kutove α i β, a formule zbrajanja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangensa i kotangensa ovih kutova, tada će za njih vrijediti i formule zbrajanja za tangens i kotangens.

Kao i većina pojmova u algebri, formule zbrajanja mogu se dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Iz toga možete lako zaključiti ostatak dokaza.

Pojasnimo osnovne pojmove. Trebamo jedinični krug. Ispostavit će se ako uzmemo određenu točku A i zakrenemo oko središta (točke O) kutove α i β. Tada će kut između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π z ili 2 π - (α - β) + 2 π z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori tvore kut koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β) , ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj potpunih okretaja. Pogledajte sliku:

Koristili smo formule redukcije i dobili sljedeće rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Donja crta: kosinus kuta između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu kuta α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Podsjetimo se na definicije sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta jednaka omjeru kraka suprotnog kuta i hipotenuze, kosinus je sinus dodatnog kuta. Stoga, bodovi A 1 i A2 imaju koordinate (cos α , sin α) i (cos β , sin β) .

Dobivamo sljedeće:

O A 1 → = (cos α , sin α) i O A 2 → = (cos β , sin β)

Ako nije jasno, pogledajte koordinate točaka koje se nalaze na početku i kraju vektora.

Duljine vektora su jednake 1, jer imamo jedan krug.

Analizirajmo sada skalarni produkt vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Iz ovoga možemo izvesti jednakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Time je formula za kosinus razlike dokazana.

Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus zbroja. To je lakše jer možemo koristiti prethodne izračune. Uzmimo reprezentaciju α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ovo je dokaz formule za kosinus zbroja. Posljednji redak koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih kutova.

Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu redukcije za ovo:

oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Tako
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A evo i dokaza formule za sinus razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na upotrebu svojstava sinusa i kosinusa suprotnih kutova u zadnjem izračunu.

Zatim, trebamo dokaze adicijskih formula za tangens i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangens je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens obrnuto) i uzmimo već unaprijed izvedene formule. Uspjeli smo:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa cos α cos β, s obzirom da je cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, dobivamo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Sada reduciramo razlomke i dobijemo formulu sljedećeg oblika: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Ovo je dokaz formule zbrajanja tangente.

Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula razlike tangensa. Sve je jasno prikazano u proračunima:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens dokazuju se na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Unaprijediti:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

U ovom članku ćemo govoriti o univerzalna trigonometrijska supstitucija. Uključuje izražavanje sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa bilo kojeg kuta kroz tangens polukuta. Štoviše, takva se zamjena provodi racionalno, to jest bez korijena.

Prvo pišemo formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens u smislu tangensa polukuta. Zatim ćemo prikazati izvođenje ovih formula. I na kraju, pogledajmo nekoliko primjera korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije.

Navigacija po stranici.

Sinus, kosinus, tangens i kotangens kroz tangens polukuta

Prvo, zapišimo četiri formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta u smislu tangensa polukuta.

Ove formule vrijede za sve kutove pod kojima su definirani tangensi i kotangensi uključeni u njih:

Izvođenje formula

Analizirajmo izvođenje formula koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta kroz tangens polukuta. Počnimo s formulama za sinus i kosinus.

Sinus i kosinus predstavljamo pomoću formule dvostrukog kuta kao i odnosno. Sada izrazi i zapiši kao razlomke s nazivnikom 1 kao i . Nadalje, na temelju glavnog trigonometrijskog identiteta, jedinice u nazivniku zamijenimo zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa, nakon čega dobijemo i . Na kraju dijelimo brojnik i nazivnik dobivenih razlomaka s (njegova vrijednost je različita od nule, pod uvjetom da ). Kao rezultat toga, cijeli lanac radnji izgleda ovako:


i

Ovime je završeno izvođenje formula koje izražavaju sinus i kosinus kroz tangens polukuta.

Preostaje izvesti formule za tangens i kotangens. Sada, uzimajući u obzir gore dobivene formule i formule i , odmah dobivamo formule koje izražavaju tangens i kotangens kroz tangens polukuta:

Dakle, izveli smo sve formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju.

Primjeri korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije

Prvo, razmotrimo primjer korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije pri pretvorbi izraza.

Primjer.

Daj izraz na izraz koji sadrži samo jedan trigonometrijska funkcija.

Riješenje.

Odgovor:

.

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: ilustr.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. - M.: Prosvjetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.